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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Concours d'entrée à l'ENAC} 
\lfoot{\small{Techniciens de l'aéronautique}}
\rfoot{\small{juin 2017}}   
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Concours d'entrée à l'ENAC juin 
2017~\decofourright\\[4pt]Techniciens de l'aéronautique}} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{PARTIE 1}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Dans cette partie, i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$
et $\C$ représente l'ensemble des nombres complexes.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est : $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{2}}$.
\item une écriture exponentielle du nombre complexe $-5$ est : $- 5\text{e}^{-\text{i}pi}$
\item une écriture exponentielle du nombre complexe 2i est: $- 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}$
\item une écriture exponentielle du nombre complexe $- 5$ est : $- 5\text{e}^{\text{i}\pi}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item une écriture exponentielle du nombre complexe $0$ est : $0\text{e}^{\text{i}\theta}$,\:$\theta$  étant un nombre réel.
\item $0$ n'admet pas d'écriture exponentielle.
\item une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \dfrac{\pi}{5} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{5}$  est : $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$
\item une écriture exponentielle du nombre complexe $\cos \dfrac{\pi}{5} - \text{i}\sin \dfrac{\pi}{5}$ est : $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{5}}$
\end{enumerate}

\medskip


\textbf{Question 3 : }une écriture exponentielle du nombre complexe $2\sin \dfrac{\pi}{7} + 2\text{i} \cos \dfrac{\pi}{7}$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $2\text{e}^{\text{i}\frac{9\pi}{14}}$
\item $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{14}}$
\item $2\text{e}^{\text{i}\frac{6\pi}{7}}$
\item $2\text{e}^{\text{i}\frac{8\pi}{7}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4 :} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{- 2\sqrt{3} + 2\text{i}}{(1 + \text{i})^4}$ est : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item  $\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$
\item  $\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item  $\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 5 :} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\text{i}(1 + \text{i})^3}{\sqrt{3} - \text{i})^5}$ est : 

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{32}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{16}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6 :} on note $z_1 = 1 + \text{i}$ et $z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$. La forme algébrique de $z_1 \times z_2$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$
\item $1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$
\item $1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$
\item $1 + \sqrt{3} - \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 7 :} une écriture exponentielle $z_1 \times z_2$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$
\item $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{12}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 8 :} on déduit que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
\item $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
\item $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
\item $\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2-}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE II}\end{center}

\textbf{Question 9 :} l'équation différentielle $y'- 2y = 0$, notée $(E)$, admet pour ensemble de solutions :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $S_{(E)} = \left\{f : \:x \longmapsto k \times \text{e}^{2x},\:k \in \R\right\}$
\item $S_{(E)} = \left\{f : \:x \longmapsto \text{e}^{2x}\right\}$
\item $S_{(E)} = \left\{f : \:x \longmapsto k \times \text{e}^{-2x},\:k \in \R\right\}$
\item $S_{(E)} = \left\{f : \:x \longmapsto k \times \text{e}^{\frac{1}{2}x},\:k \in \R\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 10 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x) = 2\text{e}^{2x-2}$
\item $f(x) = - 2\text{e}^{2x+2}$
\item $f(x) = 2\text{e}^{2x+2}$
\item $f(x) = - 2\text{e}^{2 - 2x}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 11 :} la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative $C$ dans un repère donné passe par le point A$(1~;~- 2)$ :

\medskip

\begin{enumerate}
\item est strictement croissante sur $\R$
\item est strictement décroissante sur $\R$
\item sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $- \infty$.
\item sa courbe représentative $C$ admet l'axe des abscisses comme asymptote en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 12 :} la solution $g$ de l'équation différentielle : $y'=2y + 4$, notée $\left(E'\right)$, dont la courbe représentative $\Gamma$ possède une tangente parallèle à la droite d'équation $y = x$ en son point d'abscisse 1 est:

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $S_{\left(E'\right)} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x-2} -  4\right\}$
\item $S_{\left(E'\right)} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x+2} -  2\right\}$
\item $S_{\left(E'\right)} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x+2} -  4\right\}$
\item $S_{\left(E'\right)} = \left\{g : x \longmapsto \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x-2} -  2\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 13 :} les deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\varphi : x \longmapsto  ax + b + \ln x$ soit une solution particulière de l'équation différentielle : $y' = 2y + 4x + 6 + \dfrac{1}{x} -2 \ln x$, notée $\left(E''\right)$, sont :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $a = 2$ et $b = - 4$
\item $a = 2$ et $b = - 1$
\item $a = - 2$ et $b = 4$
\item $a = - 2$ et $b = - 4$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 14 : } on admet qu'une fonction $h$ est solution de $\left(E''\right)$ si et seulement si la fonction $h - \varphi$ est solution de $(E)$. On en déduit que l'ensemble des solutions de $\left(E''\right)$ est :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $S_{\left(E''\right)} = \left\{h : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\:k \in \R\right\}$
\item $S_{\left(E''\right)} = \left\{h : x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{-2x},\:k \in \R\right\}$
\item $S_{\left(E''\right)} = \left\{h : x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + k\text{e}^{2x},\:k \in \R\right\}$
\item $S_{\left(E''\right)} = \left\{h : x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + k\text{e}^{- 2x},\:k \in \R\right\}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 15 :} la solution $\Psi$ de l'équation différentielle $\left(E''\right)$ dont la courbe représentative dans un repère donné passe par le point A$(1~;~-2)$ est :

\begin{enumerate}
\item $\Psi$: \:$x \longmapsto - 2x -4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$
\item $\Psi$: \:$x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$
\item $\Psi$: \:$x \longmapsto - 2x - 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$
\item $\Psi$: \:$x \longmapsto - 2x + 4 + \ln x + 4\text{e}^{2x-2}$
\end{enumerate}

\textbf{Question 16 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général

\[u_n = 2n^2 - 13n + 1.\]

\begin{enumerate}
\item est strictement croissante.
\item est strictement décroissante.
\item pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante.
\item pour $n \geqslant 2$, est strictement décroissante.
\end{enumerate}

\medskip


\textbf{Question 17 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général: 

\[v_n = (2n + 1) \text{e}^n\]


\begin{enumerate}
\item est strictement croissante.
\item est strictement décroissante.
\item pour $n \geqslant 2$, est strictement croissante.
\item pour $n \geqslant 2$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 18 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général

\[w_n = n - \ln \left(1 + n^2\right)\]


\begin{enumerate}
\item n'est pas strictement monotone.
\item n'est pas monotone.
\item est strictement croissante.
\item est strictement décroissante,
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 19 :} pour $n$ nombre entier naturel non nul, la suite définie par le terme général

\[x_n =(-1)^n \ln n\]

\begin{enumerate}
\item n'est pas strictement monotone.
\item n'est pas monotone.
\item est strictement croissante.
\item est strictement décroissante.
\end{enumerate}

\textbf{Question 20 :} pour $n$ nombre entier naturel, la suite définie par le terme général 

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
y_0& =& 2\\
y_{n+1}& =&\text{e}^{y_n - 2}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item n'est pas strictement monotone,
\item n'est pas monotone.
\item est strictement croissante.
\item est strictement décroissante.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 21 :} soit la fonction $f :\: x \longmapsto x + \sin (2\pi x)$ et $n$ nombre entier naturel,

\medskip

\begin{enumerate}
\item la suite définie par le terme général : $u_n = f(n)$ est décroissante.
\item la suite définie par le terme général : $u_n = f(n)$ est croissante.
\item la fonction $f$ est décroissante.
\item la fonction $f$ est croissante.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{PARTIE IV}\end{center}

\textbf{Question 22 :} soit $f$ une fonction réelle à variable réelle définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
f(x)&=&ax + \dfrac{1}{5}&\text{si{}}\: x \in [0~~4]\\]
f(x)&=&0 				&\text{si{}} \:x \notin [0~;~4]
\end{array}\right.\]

Pour que $f$ définisse une loi à densité sur l'intervalle [0~;~4],
il faut et il suffit que le nombre réel $a$ soit égal:

\medskip

\begin{enumerate}
\item 1/10
\item 1/40
\item 4/5
\item 1
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 23 :} nous notons $X$ la variable aléatoire définie sur l'intervalle [0~;~4] dont la loi de probabilité a pour densité la fonction $f$ précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $P[X \leqslant 1)  = \dfrac{19}{80}$
\item $P[X \leqslant 1)  = \dfrac{1}{4}$
\item $P[X \leqslant 1)  = \dfrac{3}{5}$
\item $P[X \leqslant 1)  = \dfrac{7}{10}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 24 :}

\begin{enumerate}
\item $P(X \geqslant 2) =  \dfrac{5}{32}$
\item $P(X \geqslant 2) =  \dfrac{1}{5}$
\item $P(X \geqslant 2) =  \dfrac{11}{20}$
\item $P(X \geqslant 2) =  \dfrac{5}{26}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 25 :} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P\left(\dfrac{1}{2} \leqslant X \leqslant 3\right) =  \dfrac{41}{80}$
\item $P\left(\dfrac{1}{2} \leqslant X \leqslant 3\right) =  \dfrac{43}{80}$
\item $P\left(\dfrac{1}{2} \leqslant X \leqslant 3\right) =  \dfrac{38}{64}$
\item $P\left(\dfrac{1}{2} \leqslant X \leqslant 3\right) =  \dfrac{39}{64}$
\end{enumerate}
\end{document}