\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\setlength{\voffset}{-2,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Concours d'entrée techniciens de l'aéronautique}, pdftitle = {2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Concours d'entrée à l'ENAC} \lfoot{\small{Techniciens de l'aéronautique}} \rfoot{\small{juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Concours d'entrée à l'ENAC juin 2018~\decofourright\\[4pt]Techniciens de l'aéronautique}} \vspace{0,25cm} \end{center} Cette épreuve comporte 25 questions obligatoires, certaines, de numéros consécutifs, peuvent être liées. La liste de ces questions est donnée en première page du sujet. \begin{center} \textbf{Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.}\end{center} À chaque question numérotée entre 1 et 25, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 26 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. \medskip Pour chaque ligne numérotée de 1 à 40, vous vous trouvez en face de 4 possibilités: $\triangleright$ soit vous décidez de ne pas traiter cette question, la ligne correspondante doit rester vierge. $\triangleright$ soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse: vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D. $\triangleright$ soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes: vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement. $\triangleright$ soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne: vous devez alors noircir la case E. \medskip \textbf{Attention, toute réponse fausse peut entraîner pour la question correspondante une pénalité dans la note.} \bigskip \begin{center} \textbf{Questions liées} \medskip 3 et 4 5 et 6 8 à 12 13 à 15 16 à 20 21 à 25 \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{PARTIE I}\end{center} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Dans cette partie, i désigne le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$ et $\C$ représente l'ensemble des nombres complexes et $\Z$ l'ensemble des nombres entiers relatifs.\\ Pour tout $z \in \C$ avec $z = x + \text{i}y,\: (x~;~y) \in \R^2$,\: $\overline{z} = x - \text{i}y$.\\ Pour $z \in \C$ convenablement choisi, on note $z' = \dfrac{2\overline{z}}{\overline{z} + \text{i}}$.\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 1 :} $z'$ est un nombre réel si et seulement si : \begin{enumerate} \item $z$ est imaginaire pur différent de i. \item $z$ est imaginaire pur. \item $z$ est réel différent de 1. \item $z$ est réel. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 2 :} on montre que: \begin{enumerate} \item Pour $z \ne -\text{i}$,\: $\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{|z + \text{i}|}$. \item Pour $z \ne \text{i}$,\:$\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{\left|\overline{z} + \text{i}\right|}$ \item Pour $z \ne \text{i}$, $\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{|z - \text{i}|}$ \item Pour $z \ne -\text{i}$, $\left|z'- 2\right| = \dfrac{2}{\left|\overline{z} - \text{i}\right|}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 3:} arg $\left(z'- 2\right)$ existe pour tout : \begin{enumerate} \item $z \in \C$ \item $z \in \C/\{\text{i}\}$ \item $z \in \C/\{\text{i},~2\}$ \item $z \in \C/\{\text{i},~2,~- \text{i}\}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 4 :} lorsque les arguments en question sont définis, on montre que: \begin{enumerate} \item arg$\left(z'- 2\right) = \dfrac{\pi}{2} - \text{arg}(z - \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$ \item arg$\left(z'- 2\right) = \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z- \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$ \item arg$\left(z'- 2\right) = - \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z + \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$ \item arg$\left(z'- 2\right) = - \dfrac{\pi}{2} + \text{arg}(z - \text{i}) + 2k\pi,\: k \in \Z$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 5:} une écriture exponentielle du nombre complexe $\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{1 - \text{i}}$ est: \begin{enumerate} \item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{12}}$ \item $2\text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{12}}$ \item $2\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{12}}$ \item $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 6:} la forme algébrique de $\left(\dfrac{\sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}}{1 - \text{i}}\right)^{\np{2024}}$ est : \begin{enumerate} \item $2^{\np{2024}} \left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$ \item $2^{\np{2024}}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$ \item $2^{\np{2023}}\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)$ \item $2^{\np{2023}}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 7:} on considère les points A, B et C d'affixes respectives \[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad z_{\text{A}} = -1 - \text{i}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = - \left(2 + \sqrt{3}\right) + \text{i}.\] Le triangle ABC est : \begin{enumerate} \item Rectangle isocèle en A. \item Isocèle en C. \item Équilatéral. \item Rectangle isocèle en B. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE II} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline Dans cette partie, $\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.\\ Dans le cadre des questions 8 à 12, on définit la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ par l'expression :\\ \hspace{5cm}$\forall n \in \N,\quad \ln \left(2^n u_n\right) = n.$\\ On prendra comme approximation : $\text{e} \approx 2,718$.\\ Dans le cadre des questions 13 à 15, on considère le nombre réel suivant: $v = 9,999 \ldots$ qui s'écrit dans le système décimal de position à l'aide d'un 9, d'une virgule et d'une infinité de 9 après la virgule.\\ On note $v_0 = 9$,\: $v_1 = 0,9$,\: $v_2 = 0,09$,\:$v_3 = 0,009$, etc.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 8 :} $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique : \begin{enumerate} \item de raison e et premier terme 2. \item de raison $2$e et premier terme 1. \item de raison $\dfrac{\text{e}}{2}$ et premier terme 2 . \item de raison e et premier terme 1. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 9 :} on en déduit que: \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = - \infty$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = + \infty$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = \dfrac{2}{1 - \text{e}}$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} = 0$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 10 :} on note : $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. On montre alors que : \begin{enumerate} \item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$ \item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \left(2^n - \text{e}\right)$ \item $S_n = \dfrac{1}{2^{n1}} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$ \item $S_n = \dfrac{1}{2^n} \times \dfrac{2^{n+1} - \text{e}^{n+1}}{2 - \text{e}}$ \end{enumerate} \textbf{Question 11 :} on en déduit que: \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = - \infty$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{2}{1 - \text{e}}$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{2}{\text{e} - 1}$ \item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n = + \infty$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 12 :} on montre que: \begin{enumerate} \item $u_n \geqslant 10^3 \iff n \leqslant \dfrac{3\ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$ \item $u_n \geqslant 10^3 \iff n \geqslant \dfrac{3\ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$ \item $u_n \geqslant 10^3 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 3 + \ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$ \item $u_n \geqslant 10^3 \iff n \leqslant \dfrac{\ln 3 + \ln 10}{\ln \text{e} - \ln 2}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 13 :} la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique : \begin{enumerate} \item De raison $\dfrac{1}{10}$ et de premier terme $v_0 = 9$. \item De raison $\dfrac{9}{10}$ et de premier terme $v_0 = 9$. \item De raison $0,1$ et de premier terme $v_0 = 9$. \item De raison $0,9$ et de premier terme $v_0 = 9$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 14 :} on déduit alors que : \begin{enumerate} \item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = \dfrac{9}{10^n}$ \item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 1 - \dfrac{1}{10^{n-1}}$ \item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 9 - \dfrac{1}{10^{n+1}}$ \item $v_0 + v_1 + \ldots + v_n = 10 - \dfrac{1}{10^{n+1}}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 15 :} et ainsi: \begin{enumerate} \item $v = 9$ \item $v = 0$ \item $v = 10$ \item $v = 1$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE III} \medskip \textbf{Question 16 :} on donne le polynôme $P(X) = 2X^3 + 11X^2 - 20X + 7$. On démontre que : \begin{enumerate} \item $P(X) = (X + 1)\left(2X^2 + 13X - 7\right)$ \item $P(X) = (X + 1)\left(2X^2 - 13X - 7\right)$ \item $P(X) = (X - 1)\left(2X^2 - 13X - 7\right)$ \item $P(X) = (X - 1)\left(2X^2 + 13X - 7\right)$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 17 :} l'égalité est vraie: \begin{enumerate} \item $13^2 = 10^2 + 3^2$ \item $13^2 = 10^2 + 60 + 3^2$ \item $15^2 = 225$ \item $15^2 = 125$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 18 :} dans $\R$, ensemble des nombres réels, l'ensemble $S_1$ des solutions de l'équation \[\left(E_1\right)\qquad 2x^3 + 11x^2 - 20x + 7 = 0\: \text{ est }\: :\] \begin{enumerate} \item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~- 1~;~-7\right\}$ \item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~1~;~-7\right\}$ \item $S_1 = \left\{\dfrac{1}{2}~;~1~;~7\right\}$ \item $S_1 = \left\{-\dfrac{1}{2}~;~1~;~7\right\}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 19 :} dans $\R^{*}_{+}$, ensemble des nombres réels strictement positifs, l'ensemble $S_2$ des solutions de l'équation \[\left(E_2\right)\qquad 2(\ln x)^3 + 11(\ln x)^2 - 20 \ln x + 7 = 0\: \text{ est } :\] \begin{enumerate} \item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^{-7}~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$ \item $S_2 = \left\{\text{e}^{- 1}~;~\text{e}^{-7}~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$ \item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^7~;~\sqrt{\text{e}}\right\}$ \item $S_2 = \left\{\text{e}~;~\text{e}^7~;~\text{e}^{- \frac{1}{2}}\right\}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 20 :} dans $\R$, ensemble des nombres réels, l'ensemble $S_3$ des solutions de l'équation \[\left(E_3\right)\qquad 2\text{e}^{3x} + 11\text{e}^{2x} - 20\text{e}^x + 7 = 0 \: \text{ est } :\] \begin{enumerate} \item $S_3 = \left\{0~;~- \ln 2~;~\text{e}^{-7}\right\}$ \item $S_3 = \left\{- \ln 2\right\}$ \item $S_3 = \left\{ 0~;~- \ln 2\right\}$ \item $S_3 = \left\{0~;~- \ln 2~;~- \ln 7\right\}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE IV} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline On donne les équations différentielles $(F)$, $(G)$ et $\left(G_0\right)$ suivantes :\\ \[(F)\: y'' + 4y = 0.\quad (G)\: y'+ y = 2\text{e}^{-x}\quad \text{et}\quad \left(G_0\right)\: y' + y = 0\: \text{où} :\]\\ $y$ , $y'$ et $y''$ désignent respectivement une fonction, sa dérivée première et sa dérivée seconde.\\ On \textbf{admet} que l'ensemble des solutions de l'équation $(G)$ est l'ensemble des fonctions $h$ qui s'écrivent sous la forme $h = g + g_0$ où $g$ désigne une solution particulière de l'équation $(G)$ et $g_0$ la forme générale des solutions de l'équation $\left(G_0\right)$.\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Question 21:} la fonction $f$ solution d'équation différentielle $(F)$ satisfaisant aux conditions initiales $f(0) = \sqrt{3}$ et $f'(0) = 2$ est définie par l'expression : \medskip \begin{enumerate} \item $f(x) = \sqrt{3}\cos (2x)+ \sin (2x)$ \item $f(x) = \sqrt{3}\cos (4x)+ \sin (4x)$ \item $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos (2x) + \dfrac{1}{2}\sin (2x)$ \item $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos (4x)+ \dfrac{1}{2}\sin (4x)$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 22 :} pour tout nombre réel $x$, nous avons: \begin{enumerate} \item $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ \item $f(x) = 2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ \item $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ \item $f(x) = 2\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 23 :} pour $x \in [0~;~2\pi[$, l'équation $f(x) = 0$ admet pour ensemble de solutions : \begin{enumerate} \item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{6}~;~ \dfrac{11\pi}{6}\right\}$ \item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{11\pi}{6}\right\}$ \item $S = \left\{\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}~;~\dfrac{11\pi}{6}\right\}$ \item $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{4\pi}{3}\right\}$ \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 24 :} \begin{enumerate} \item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$. \item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$. \item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$. \item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x\text{e}^{-x}$ est solution de l'équation $(G)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Question 25 :} la solution $h$ de l'équation $(G)$ qui vérifie la condition initiale $h(0) = - 1$ s'écrit: \begin{enumerate} \item $h(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$ \item $h(x) = 2x\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}$ \item $h(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$ \item $h(x) = 2x\text{e}^{-x} - \text{e}^{x}$ \end{enumerate} \end{document}