\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsfonts,mathrsfs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{mathtools} \usepackage{pstricks-add,pst-math,pst-eucl} \usepackage[hmargin=2cm, vmargin=2cm]{geometry} \usepackage{enumitem} %Pour bien gérer les espaces dans les tableaux \usepackage{cellspace} \usepackage{tabularx} \cellspacetoplimit=4pt \cellspacebottomlimit=4pt %pour centrer les colonnes avec tabularx \addparagraphcolumntypes{X} \usepackage{fancyhdr,lastpage} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Xavier TISSERAND}, % author } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Intervalle %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\inter}[4] {\mathchoice {\left#1#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\right#4}% mode \displaystyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \textstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode \scriptstyle {\mathopen{#1}#2\mathclose{}\mathpunct{};#3\mathclose{#4}}% mode %\scriptscriptstyle } \newcommand{\interff }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{]}}} %ferme ferme \newcommand{\interof }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{]}}} %ouvert ferme \newcommand{\interfo }[2]{\ensuremath{\inter{[}{#1}{#2}{[}}} %ferme ouvert \newcommand{\interoo }[2]{\ensuremath{\inter{]}{#1}{#2}{[}}} %ouvert ouvert %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grands crochets %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\cro}[1]{\left[#1\right]} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% grandes parenthèses %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pa}[1]{\left(#1\right)} %e de l'exponentielle \newcommand{\e}{\mathrm{e}} %d droit de l'integrale \newcommand{\dd}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}} %signe inferieur ou egal francais \renewcommand{\leq}{\leqslant} %signe superieur ou egal francais \renewcommand{\geq}{\geqslant} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement exercice avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{num} \newcommand{\exo}% {% \setcounter{Partie}{0}% raz compteur partie \addtocounter{num}{1}% {% \par % commence à une nouvelle ligne \noindent\textbf{Exercice~\arabic{num}~:~}% }% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Définit un environnement partie avec un compteur%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{Partie} \newcommand{\Partie}[1]% {% \goodbreak% Evite au tant que possible un titre en bas %de page tout seul \addtocounter{Partie}{1} \noindent\textbf{Partie \Alph{Partie} : #1}% \par% }% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% fonction de C^k %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\classe}[1]{\mathcal{C}^{#1}} \newcommand{\R}{\mathbf{R}} % lettres grecques à la française \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} %echelon unité \newcommand{\U}{\mathscr{U}} %transformée en Z (Z#1)(z) \newcommand{\ztrans}[1]{\pa{\mathcal{Z}#1}\pa{z}} %loi normale N \newcommand{\normale}[2]{\mathscr{N}\pa{#1\mathpunct{};#2}} %coefficient bonomial \newcommand{\coeff}[2]{\operatorname{C}_{#1}^{#2}} \newcommand{\cad}{c'est-à-dire } \everymath{\displaystyle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % document tapé sous linux %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{\decofourleft~BTS Groupement A -- Mathématiques~\decofourright} \author{Éléments de correction} \date{Session 2011} \headheight 15.0 pt \fancyhead[L]{BTS} \fancyhead[C]{Éléments de correction du BTS groupement A} \fancyhead[R]{2011} \fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ Xavier TISSERAND, Lycée Léonce Vieljeux, 2010-2011}}\\ \scriptsize\thepage/\pageref{LastPage} } \pagestyle{fancy} \begin{document} \maketitle \exo \begin{center} \textbf{Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL} \end{center} \Partie{QCM} Les bonnes réponses sont : \begin{enumerate} \item $f(t)=10\pa{\U(t)-\U(t-1)}$ \item $S(p)=\frac{1}{1+0,005p}V(p)$ \item $s(t)=k\e^{-200t}+2$ \end{enumerate} \Partie{Simulation numérique} \begin{enumerate} \item Comme $T_e=0,5.10^{-3}$ alors $\frac{0,005}{T_e}=10$, l'équation devient alors : \begin{align*} 10\pa{y(n)-y(n-1)}+y(n)&=x(n)\\ \Longleftrightarrow 11 y(n)-10y(n-1)&=x(n) \end{align*} \item \begin{enumerate} \item On a, sachant que $x(n)=2e(n)$, en prenant la transformée en $Z$ de l'équation précédente : \begin{align*} 11Y(z)-10\ztrans{y(n-1)}&=2\ztrans{e(n)}\\ 11 Y(z)-10z^{-1}Y(z)&=2\frac{z}{z-1}\\ \pa{11-\frac{10}{z}}Y(z)&=\frac{2z}{z-1}\\ 11\pa{z-\frac{10}{11}}\frac{Y(z)}{z}&=\frac{2z}{z-1} \end{align*} \[ \frac{Y(z)}{z}=\frac{2}{11}\times \frac{2z}{(z-1)\pa{z-\frac{10}{11}}} \] \item Une réduction au même dénominateur est nécessaire afin de montrer que \[ \frac{2}{11}\pa{\frac{11z}{z-1}-\frac{10z}{z-\frac{10}{11}}}=\frac{2}{11} \times \frac{z^2}{(z-1)\pa{z-\frac{10}{11}}}=Y(z) \] \item Par développement et simplification de l'expression précédente, on obtient : \[ Y(z)=2\times\frac{z}{z-1}-2\times\frac{10}{11}\times\frac{z}{z-\frac{10}{11}} \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture inverse de la table des transformées en $Z$, on obtient : \begin{align*} y(n)&=2e(n)-2\times\frac{10}{11}\times\pa{\frac{10}{11}}^n e(n)\\ &=2e(n)-2\times\pa{\frac{10}{11}}^{n+1} e(n) \end{align*} \item Comme $\pa{\frac{10}{11}}^{n+1}$ est une suite géométrique de raison $\frac{10}{11}\in\interoo{-1}{1}$ alors $\lim_{n\to +\infty} \pa{\frac{10}{11}}^{n+1} =0$ d'où \[ \lim_{n\to +\infty} y(n)=2 \] \end{enumerate} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item Voir table \ref{tab_a11} du document réponse numéro 1. \item Voir figure \ref{a11_iris_ex1} du document réponse numéro 1. \end{enumerate} \newpage \setcounter{num}{0} \exo \begin{center} \textbf{ Spécialités \'Electrotechnique -- Génie optique } \end{center} \Partie{} Les bonnes réponses sont : \begin{enumerate} \item La probabilité de l'événement $E_1$ est égale $0,01$. \item Si l'événement $E_2$ est réalisé, le signal reçu est $10$. \item La probabilité de l'événement $E_2$ est égale à $0,09$. \item La probabilité de l'événement $E_3$ est égale à $0,81$. \item La probabilité de l'événement $E_4$ est égale à $0,19$. \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$. \item On demande $p(X=1)$, \cad \begin{align*} p(X=1)&=\coeff{10}{1} 0,1^1 \times 0,9^9\\ &=10 \times 0,1^1 \times 0,9^9\\ &=0,9^9\\ &\approx 0,387 \end{align*} \item On demande $p(X\leq 1)$. \begin{align*} p(X \leq 1)&= p(X=0)+p(X=1)\\ &=\coeff{10}{0} 0,1^0 \times 0,9^{10}+p(X=1)\\ &=0,9^{10}+p(X=1)\\ &\approx 0,736\\ &\approx 0,74\text{ à } 0,01 \text{ près} \end{align*} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,002$. Par conséquent, par approximation de cette loi binomiale par une loi de Poisson, l'espérance est conservée. Pour une loi binomiale, l'espérance est égale à $np$, qui est égale au paramètre $\lambda$ de la loi de Poisson. On a alors ici : $\lambda=0,002 \times 1000=2$. \item On demande $p(Y\geq 1)$. \begin{align*} p(Y\geq 1)&=1-p(Y=0)\\ &\approx 1-0,135\\ &\approx 0,865\text{ à } 0,001 \text{ près} \end{align*} \end{enumerate} \end{enumerate} \Partie{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour avoir un chiffre $1$, il faut que $4+U\geq 2$, \cad $U\geq -2$. \item Comme $U$ suit la loi normale $\normale{0}{0,7}$ alors $T=\frac{U}{0,7}$ suit $\normale{0}{1}$. \begin{align*} p(U\geq -2)&=p\pa{T\geq - \frac{2}{0,7}}\\ &=p(T\geq -2,857)\\ &=p(T\leq 2,857)\\ &\approx 0,998 \end{align*} \end{enumerate} \item Comme $U$ suit la loi normale $\normale{0}{\sigma}$ alors $T=\frac{U}{\sigma}$ suit $\normale{0}{1}$. On a \begin{align*} p(U<-2)&=p\pa{T< -\frac{2}{\sigma}}\\ &=p\pa{T>\frac{2}{\sigma}}\\ &=1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}}\\ \end{align*} Il faut alors résoudre l'inéquation \begin{align*} p(U<-2)&<0,001\\ 1-p\pa{T< \frac{2}{\sigma}} &< 0,001\\ 0,999&
{\centering\arraybackslash $}S X <{$}|}} \hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline y(n)&0,18& 0,35& 0,50 &0,63& 0,76& 0,87&0,97 &1,07 &1,15& 1,23&1,30\\ \hline \end{tabularx} \caption{Tableau de valeur de la suite $y$} \label{tab_a11} \end{table} \begin{figure}[!h] % fichier de données \def\data {0 0.18 1 0.35 2 0.50 3 0.63 4 0.76 5 0.87 6 0.97 7 1.07 8 1.15 9 1.23 10 1.30 }% % Calcul sous forme postcript % \pstScalePoints(1,1){ }{ } \centering \psset{% xAxisLabel={},% yAxisLabel={},% llx=-1cm,% lly=-1cm,% urx=1cm,% ury=1cm,% labelsep=0.6cm,% comma% } \psset{xunit=1 cm, yunit=3,algebraic} \begin{pspicture}(-2,-.5)(11,3.5) \psaxes[ticksize=-2pt 0,Dy=.5]{-}(0,0)(-1.5,-0.2)(10.5,2.8) \psplot[linestyle=dashed]{0}{10.5}{2*(1-EXP(-.1*x))} \rput(.5,.25){$s$} \pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0} %\psline[linewidth=.08](2,0)(2,.5) %\psline[linewidth=.08](6,0)(6,.97) \listplot[ plotstyle=bar,% barwidth=0.1cm,% fillcolor=black,% fillstyle=solid,% ]{\data} \end{pspicture} \caption{Signal numérique $y$} \label{a11_iris_ex1} \end{figure} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse numéro 2 \label{doc_1c} à joindre à la copie} \end{center} \begin{figure}[!ht] \centering \psset{unit=1.5 cm} \begin{pspicture}(-4.1,-1.5)(4.1,3) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-2pt 0,Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2) \psline[linecolor=red]{-[}(-4,.5)(-3,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(-3,0)(-1,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(-1,0)(1,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(1,0)(3,1) \psline[linecolor=red]{]-}(3,0)(4,.5) \multido{\i=-3+2}{4} { \pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0.5){A} } \pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0} \end{pspicture} \caption{représentation graphique de la fonction $f$ } \label{fc_a11} \end{figure} \begin{figure}[h] \centering \psset{unit=1.5 cm} \begin{pspicture}(-4.1,-1.5)(4.1,3) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-2pt 0,Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2) \psline[linecolor=red]{-[}(-4,0)(-3,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(-3,-.5)(-1,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(-1,-.5)(1,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(1,-.5)(3,.5) \psline[linecolor=red]{]-}(3,-.5)(4,0) \multido{\i=-3+2}{4} { \pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0){A} } \pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0} \end{pspicture} \caption{représentation graphique de la fonction $g$} \label{gc_a11} \end{figure} \vspace{5cm} Suggestions ou remarques : \href{mailto:xavier.tisserand@ac-poitiers.fr}{xavier.tisserand@ac-poitiers.fr} \end{document}