%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{enumitem} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \def\i{\text{i}} \renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {L'année 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2016~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2016}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 22 avril 2016} \dotfill \pageref{Pondichery} \\ \hyperlink{Liban}{Liban 31 mai 2016} \dotfill \pageref{Liban} \\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers 8 juin 2016} \dotfill \pageref{Centresetrangers} \\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 10 juin 2016} \dotfill \pageref{Polynesie} \\ \hyperlink{Metropole}{Métropole 20 juin 2016} \dotfill \pageref{Metropole} \\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane 20 juin 2016} \dotfill \pageref{Antilles} \\ \hyperlink{Asie}{Asie 23 juin 2016} \dotfill \pageref{Asie} \\ \hyperlink{Metropolesep}{Métropole 12 septembre 2016} \dotfill \pageref{Metropolesep} \\ %\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 9 septembre 2016} \dotfill \pageref{} \\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane septembre 2016} \dotfill \pageref{Antillessep} \\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016} \dotfill \pageref{Caledonienov} \\ \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud 24 novembre 2016} \dotfill \pageref{AmeriSud} \\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2017} \dotfill \pageref{Caledoniemars} \end{tabularx} \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%% Pondichéry 22 avril 2016 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Baccalauréat S} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{22 avril 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les deux parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées de façon indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $\mu = 13,9$ et d'écart type $\sigma$.\index{loi normale} La fonction densité de probabilité de $T$ est représentée ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3) %\psgrid \psline(-1.5,0)(30,0) \multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)} \def\m{13.9}% moyenne \def\s{4.1}% écart type \def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.5}{30}{\f} \uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9} \psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On sait que $p(T \geqslant 22) = 0,023$. En exploitant cette information : \begin{enumerate} \item hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l'aire est égale à $0,023$ ; \item déterminer $P(5,8 \leqslant T \leqslant 22)$. Justifier le résultat. Montrer qu'une valeur approchée de $\sigma$ au dixième est $4,1$. \end{enumerate} \item On choisit un jeune en France au hasard. Déterminer la probabilité qu'il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième. La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole $(\mathcal{P})$ suivant : \begin{tabularx}{\linewidth}{|X} On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.\\ Pour chaque jeune de cet échantillon : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l'enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ; \item[$\bullet~~$] l'enquêteur pose la question : \og Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? \fg{} ; \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}\\ \begin{tabular}{|m{11cm}|}\hline $\blacksquare$~~si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à la question par \og Oui \fg{} ou \og Non\fg{} de façon sincère ;\\ $\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 1 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Oui \fg{} ;\\ $\blacksquare$~~ si le résultat du lancer est \og 3 ou 5 \fg{} alors le jeune doit répondre \og Non \fg.\\ \hline \end{tabular}\\ \end{tabularx} \medskip Grâce à ce protocole, l'enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères. \medskip On note $p$ la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. \bigskip \begin{enumerate} \item \emph{Calculs de probabilités} On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole $(\mathcal{P})$.\index{probabilités} On note : $R$ l'évènement \og le résultat du lancer est pair\fg, $O$ l'évènement \og le jeune a répondu Oui \fg. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :\index{arbre de probabilité} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$R$~}} {\TR{$O$} \TR{$\overline{O}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{R}$~}} {\TR{$O$} \TR{$\overline{O}$} } } \end{center} \smallskip En déduire que la probabilité $q$ de l'évènement \og le jeune a répondu Oui\fg{} est : \[q = \dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}.\] \item \emph{Intervalle de confiance} \medskip \begin{enumerate} \item À la demande de l'Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole $(\mathcal{P})$. Sur un échantillon de taille \np{1500}, il dénombre $625$ réponses \og Oui \fg. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $q$ de jeunes qui répondent \og Oui \fg{} à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.\index{intervalle de confiance} \item Que peut-on en conclure sur la proportion $p$ de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier. \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$. On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur; \item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}}\hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1) \pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $B$ d'affixe $- 1$ et $J$ d'affixe $\dfrac{\text{i}}{2}$.\index{complexes} Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe le segment $[BJ]$ en un point $K$. Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$. \item \begin{enumerate} \item Donner sous forme exponentielle l'affixe du point $A_2$. Justifier brièvement. \item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. \item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline 1&cos (4*pi/5)\\ &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline \end{tabularx} \og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg \end{center} En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$. \end{enumerate} \item Dans le repère \Ouv{} donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %\newpage \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \parbox{0.58\linewidth}{ABCDEFGH désigne un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].}\hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(8,7.8) \psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF \psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF \psline(7.2,7.2)(5,5) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD \uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} \uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} \uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} \psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) \end{pspicture} } \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{Dans cette partie, on ne demande aucune justification} \medskip On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.\index{géométrie dans l'espace} Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le point L ; \item[$\bullet~~$] l'intersection $\mathcal{D}$ des plans (IJK) et (CDH) ; \item[$\bullet~~$] la section du cube par le plan (IJK). \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (IJK). \item En déduire une équation cartésienne du plan (IJK). \end{enumerate} \item On désigne par $M$ un point du segment [AG] et $t$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AG}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $M\text{I}^2 = 3t^2 - 3t + \dfrac{5}{4}$. \item Démontrer que la distance $M$I est minimale pour le point N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que pour ce point N$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$ : \begin{enumerate} \item N appartient au plan (IJK). \item La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.\index{matrices} Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$. Ainsi det$(M) = 3a - 5b$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$. Justifier que $N$ est l'inverse de $M$. \item On considère l'équation $(E) :\quad \text{det}(M) = 3$. On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$. \item Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a - 6) = 5(b - 3)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$. \item \emph{Codage avec la matrice } $Q$ Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après : \textbf{Étape 1 :} On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Étape 2 :} La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$. \textbf{Étape 3 :} La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26. \textbf{Étape 4 :} À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1. \[\text{Exemple : } \text{JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}.\] Le mot JE est codé en le mot OF. Coder le mot DO. \item \emph{Procédure de décodage} On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\left\{\begin{array}{l c r} 3x_1&\equiv&3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2&\equiv&-5r_1 + 6r_2 \quad [26] \end{array}\right.$ \item En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\left\{\begin{array}{l c r} x_1&\equiv& r_1 - r_2 \quad [26]\\ x_2&\equiv& 7r_1 + 2r_2 \quad [26] \end{array}\right.$ \item Décoder le mot SG.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur ]0~;~14] par \[f(x) = 2 - \ln\left(\dfrac{x}{2}\right).\] La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,6.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,6.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{14}{2 x 2 div ln sub} \uput[u](13,0.2){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=0.4pt](1.7,0)(1.7,2.163)(0,2.163) \uput[dl](1.7,0){$P$}\uput[ur](1.7,2.163){$M$}\uput[ul](0,2.163){$Q$} \uput[dl](0,0){$O$} \end{pspicture} \end{center} À tout point $M$ appartenant à $\mathcal{C}_f$ on associe le point $P$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses, et le point $Q$ projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées. \medskip \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ est-elle constante quelle que soit la position du point $M$ sur $\mathcal{C}_f$ ? \item[$\bullet~~$] L'aire du rectangle O$PMQ$ peut-elle être maximale ? Si oui, préciser les coordonnées du point $M$ correspondant. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Justifier les réponses.\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante $T_0 = 25$\,\degres C et on la place dans un four à température constante $T_F = 100$\,\degres C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85\,\degres C. \smallskip \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A : Modélisation discrète} \medskip Pour $n$ entier naturel, on note $T_n$ la température en degré Celsius de la boîte au bout de $n$ minutes. On a donc $T_0 = 25$. Pour $n$ non nul, la valeur $T_n$ est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Initialisation : &$T$ prend la valeur 25\\ \hline Traitement : & Demander la valeur de $n$\\ &Pour $i$ allant de 1 à $n$ faire\\ &\hspace{0,5cm}$T$ prend la valeur $0,85 \times T + 15$\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie : &Afficher $T$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes. Arrondir à l'unité. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 100 - 75 \times 0,85^n$. \item Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Modélisation continue} \medskip Dans cette partie, $t$ désigne un réel positif. On suppose désormais qu'à l'instant $t$ (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par $f(t)$ (exprimée en degré Celsius) avec : \[f(t) = 100 - 75\text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}.\]\index{fonction avec exponentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \item Justifier que si $t \geqslant 10$ alors $f(t) \geqslant 85$. \end{enumerate} \item Soit $\theta$ un réel supérieur ou égal à 10. On note $\mathcal{A}(\theta)$ le domaine délimité par les droites d'équation $t = 10,\: t = \theta,\:$ $y = 85$ et la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps $\theta$, si l'aire, exprimée en unité d'aire du domaine $\mathcal{A}(\theta)$ est supérieure à $80$.\index{intégrale} \begin{center} \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(0,0)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput*[u](29,0){\small temps (en minutes)} \uput*[r](0,110){\small température (en degré Celsius)} \uput[u](2,46){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput*[d](27.5,85){$y = 85$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier, à l'aide du graphique donné en annexe, que l'on a $\mathcal{A}(25) > 80$. \item Justifier que, pour $\theta \geqslant 10$, on a $\mathcal{A}(\theta) = 15(\theta - 10) - 75 \displaystyle\int_{10}^{\theta} \text{e}^{- \frac{\ln 5}{10}t}\:\text{d}t$. \item La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1 à compléter et à remettre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1}\end{flushleft} \psset{xunit=0.3cm,yunit=1.3cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1.5,-0.1)(30,3) %\psgrid \psline(-1.5,0)(30,0) \multido{\n=-1+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,-0.05)} \def\m{13.9}% moyenne \def\s{4.1}% écart type \def\f{30/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-1.5}{30}{\f} \uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[d](10,0){10}\uput[d](13.9,0){13,9} \psline[linestyle=dashed](13.9,0)(13.9,2.9) \end{pspicture} \vspace{1cm} \vfill \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2}\end{flushleft} \psset{unit=3.5cm} \begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 2 à compléter et à remettre avec la copie} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 3}\end{flushleft} \vfill \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(8,7.8) \psframe(0.5,0.5)(5,5)%BCGF \psline(5,0.5)(7.2,2.7)(7.2,7.2)(2.7,7.2)(0.5,5)%CDHEF \psline(7.2,7.2)(5,5) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.7,2.7)(2.7,7.2)%BAE \psline[linestyle=dashed](2.7,2.7)(7.2,2.7)%AD \uput[l](2.7,2.7){A} \uput[d](0.5,0.5){B} \uput[d](5,0.5){C} \uput[r](7.2,2.7){D} \uput[u](2.7,7.2){E} \uput[l](0.5,5){F} \uput[r](5,5){G} \uput[u](7.2,7.2){H} \uput[l](0.5,2.75){I} \uput[d](2.75,0.5){J} \uput[dr](6.1,1.6){K} \psdots(0.5,2.75)(2.75,0.5)(6.1,1.6) \end{pspicture} %\vspace{1cm} \vfill \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 5}\end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=0.35cm,yunit=0.075cm} \begin{pspicture}(-0.5,-5)(32,110) \multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,110)} \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(32,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-5)(32,110) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{32}{100 2.71828 5 ln 10 div x mul neg exp 75 mul sub} \uput*[u](28,0){\small temps (en minutes)} \uput*[r](0,110){\small température (en degré Celsius)} \uput[u](2,48){\blue $\mathcal{C}_f$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,85)(32,85) \uput*[d](27.5,86){$y = 85$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry 22 avril 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Liban 31 mai 2016 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{31 mai 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 31 mai 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est donnée \textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.\index{géométrie dans l'espace} L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AK}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points I, E et F. \item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABE). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE). \end{enumerate} \item On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB]. \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles. \item Déterminer l'intersection des plans (EMN) et (FDC). \item Construire sur l'\textbf{annexe (à rendre avec la copie)} la section du solide ADECBF par le plan (EMN).\index{section plane}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité. \medskip \emph{Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?\index{probabilités} \item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?\index{intervalle de confiance} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit \og liftées \fg{} soit \og coupées \fg. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ; \item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$. \end{itemize} \medskip Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à droite ?\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.\]\index{fonction exponentielle} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1]. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$ (on rappelle que $\text{e} = \text{e}^1$). \item Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) + 1 - \ln (1 + \text{e})$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par: \[f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère la suite de terme général\index{suite} \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$. \item Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$. \item Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? Démontrer cette conjecture. \item La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.\index{loi normale} \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=8cm,algebraic=true} \def\xmin {13.8} \def\xmax {26} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=2, Dy=0.1]% (0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,0) \def\m{20}% moyenne \def\s{1.5}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot{13.8}{26}{\f} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot{20}{21.6}{\f} \psline(21.6,0)(20,0) } \psline(20,0)(20,0.268) \rput(20.75,0.125){0,34} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Affirmation 1 :} La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l'intervalle $[23,2~;~+ \infty[$ vaut environ $0,046$. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $z$ un nombre complexe différent de 2. On pose : \[Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}.\] \textbf{Affirmation 2 :} L'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point A(1~;~0).\index{complexes} \textbf{Affirmation 3 :} $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel. \medskip \item[$\bullet~~$] Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction exponentielle} \textbf{Affirmation 4 :} L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$. \textbf{Affirmation 5 :} L' algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.\index{algorithme} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline Variables : &$X$ et $Y$ sont des réels\\ Initialisation :&$X$ prend la valeur 0\\ &$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$\\ Traitement : &Tant que $Y < 0,5$\\ &\hspace{0.4cm}$X$ prend la valeur $X + 0,01$\\ &\hspace{0.4cm}$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}}$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : & Afficher $X$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{itemize}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] On considère le système $\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 1 \quad [5]\\ n &\equiv & 3 \quad[4] \end{array}\right.$ d'inconnue $n$ entier relatif.\index{arithmétique} \textbf{Affirmation 1 :} Si $n$ est solution de ce système alors $n - 11$ est divisible par 4 et par 5. \textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier relatif $k$, l'entier $11 + 20k$ est solution du système. \textbf{Affirmation 3 :} Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$. \item[$\bullet~~$] Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état A après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B après $n$ secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,1)(7,3.1) \cnodeput(1,2){A}{A} \cnodeput(6,2){B}{B} \nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,3} \nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,2} \ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,7} \ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,8} \end{pspicture} \end{center} On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline Variables: &$a$ et $b$ sont des réels\\ Initialisation: & $a$ prend la valeur 0\\ &$b$ prend la valeur 1\\ Traitement: &Pour $k$ allant de 1 à 10\\ &\hspace{0.4cm}$a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$\\ &\hspace{0.4cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\ &Fin Pour\\ Sortie: &Afficher $a$\\ &Afficher $b$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Affirmation 4 :} En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$. \textbf{Affirmation 3 :} Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état $A$ que d'être dans l'état $B$.\hyperlink{Index}{*} \end{itemize} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :\index{complexes} \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0 & =& 0\\ z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5 \end{array}\right.\] Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$.\index{suite de complexes} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\] \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \textbf{\large Exercice 1} \medskip \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(12,7) \psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0) \psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7) \psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8) \pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA \psline(6.7,0)(5,-4)%BF \psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC \psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE \psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB \psline(5,5.35)(10,1.3)%EC \psdots(5,0.65)(0,6.7)%I \uput[ul](0,0){A} \uput[ur](6.7,0){B} \uput[r](10,1.3){C} \uput[ul](3.3,1.3){D} \uput[u](5,5.35){E} \uput[d](5,-4){F} \uput[u](5,0.65){I} \uput[l](0,6.7){K} \end{pspicture} \bigskip \textbf{\large Exercice 3} \bigskip \psset{unit=7cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.2) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,griddots=5,gridwidth=1.5pt](0,0)(1.2,1) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.25,1.19) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div} \uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$} \uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$} \uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Liban 31 mai 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016 \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 1\up{er} juin 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016 ~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm. \smallskip \emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]96\,\% de la production journalière est vendable. \item[$\bullet~~$]La machine A fournit 60\,\% de la production journalière. \item[$\bullet~~$]La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98\,\%. \end{itemize} \smallskip On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On définit les évènements suivants : $A$ : \og la bille a été fabriquée par la machine A \fg{} ; $B$ : \og la bille a été fabriquée par la machine B \fg{} ; $V$ : \og la bille est vendable \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.\index{probabilités} \item Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B. \item Un technicien affirme que 70\,\% des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B. \medskip \begin{enumerate} \item Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma = 0,055$.\index{loi normale} Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près. \item De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l'aide d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement positif. Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \item Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ? \end{enumerate} \item Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99\,\%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]elle doit être située à deux mètres de sa maison; \item[$\bullet~~$]la profondeur maximale doit être de deux mètres; \item[$\bullet~~$]elle doit mesurer cinq mètres de long; \item[$\bullet~~$]elle doit épouser la pente naturelle du terrain. \end{itemize} Cette cuve est schématisée ci-contre.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(7,5) %\psgrid \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} %\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.437}{x 2 add 5.437 sub} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](0.75,3.35){5 m} \end{pspicture} } La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2 \text{e}]$ définie par: \[f(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - x + 2.\]\index{fonction logarithme} La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé \textbf{d'unité 1~m} et constitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A(2~;~2), I(2~;~0) et B(2e~;~2). \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6.1,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5) \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}\psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}\psline(5.437,2)(6,2) \psline(6,0)(2,0)} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)\psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){A}\uput[u](5.437,2){B}\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){I}\uput[dr](3.437,0){D} \rput(1,1){Terrain}\rput(3.2,1.2){Cuve}\rput(4.7,0.5){Terrain} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2) \end{pspicture*} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point I. \item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B, et D le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite$\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de D. \item On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\text{e}$. $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ? \index{intégrale} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle [2~;~2e], la fonction $G$ définie par \[G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}\] est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)$. \item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~2e]. \item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m$^3$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Pour tout réel $x$ compris entre 2 et 2e, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~2e], \[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,3.5) %\psgrid \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){\psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.2)(0.35,2.05)(0.35,0.9) %\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.1,2.3)(4.15,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(4.75,1.45) \psline(4.15,1.45)(2,1.2) } \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.75,0.22)(4.75,1.45)(0,1.12) \uput[d](4.75,0.2){$x$}\uput[l](0,1.12){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} %\psline[linecolor=green](4.15,1)(2.5,1.85) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.1,2.3)(4.75,1.45)(2,1.2)(0.35,2.05) \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.2) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.05) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ? \item On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre.\index{algorithme} Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline Variables : &$a$ est un réel\\ &$b$ est un réel\\ Traitement :& $a$ prend la valeur 2\\ &$b$ prend la valeur 2 e\\ &Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\ Si $v(c) < V/2$, alors :\\ \hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $a$ prend la valeur c\\ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l} $b$ prend la valeur $c$\\ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $f(c)$\\ \hline \end{tabularx}}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 3 points} \textbf{Commun à  tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.\index{complexes} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle. \item Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier $n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(15,9) %\psgrid \pspolygon(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)%ABCDBCA \psline{->}(6.95,0)(6.95,8.8)%verticaleOS \psline(6.95,7.4)(0.9,1.4)(4.5,0)(6.95,7.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(6.95,7.4)%SDASBCS \psdots(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(6.95,7.4)(6.95,1.1)(6.95,4.4) \psline{->}(12.8,0.8)(14.7,0.6) \psline{->}(9.4,2.2)(10.2,2.6) \uput[ur](6.95,7.4){S} \uput[dr](4.5,0){A} \uput[ur](12.8,0.8){B} \uput[ur](9.3,2.2){C} \uput[ul](0.9,1.4){D} \uput[ur](6.9,1.1){O} \uput[r](6.95,4.4){I} \end{pspicture} \end{center}\index{géométrie dans l'espace} Le point O est le centre de la base ABCD avec OB $= 1$. On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ est orthonormé. Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$. \item On définit le point K par la relation $\vect{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{SD}}$ et on note I le milieu du segment [SO]. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point K. \item En déduire que les points B, I et K sont alignés. \item On note L le point d'intersection de l'arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles. \item Déterminer les coordonnées du point L. \end{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BCI). \item Montrer que les vecteurs $\vect{n},\: \vect{\text{AS}}$ et $\vect{\text{DS}}$ sont coplanaires. \item Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l'urne U à la fin du $n$-ième tirage. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :\index{probabilités} \[P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)\:\: \text{et}\:\: P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right).\] \item Exprimer $P\left(X_{n+1} = 1\right)$ en fonction de $P\left(X_n = 0\right),\: P\left(X_n = 1\right)$ et $P\left(X_n = 2\right)$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par :\index{matrices} \[R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n = 0\right)& P\left(X_n = 1\right)& P\left(X_n = 2\right)\end{pmatrix}\] et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$. On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$. On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n,\: R_{n+1} = R_n \times M$. Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n,\: R_n = R_0 \times M^n$. \item On admet que $M = P \times D \times P^{- 1}$ avec : \[P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\- 1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, \: \: D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\:\:\text{et}\:\: P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&- 1\\1&4&1\end{pmatrix}.\] Établir que, pour tout entier naturel $n,\: M^n = P \times D^n \times P^{-1}$. On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: D^n = \begin{pmatrix} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$. \item Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&- \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right),\: \displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$. Interpréter ces résultats.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers 10 juin 2016 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small 10 juin 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\section*{{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016~\decofourright }}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. une absence de réponse n'est pas pénalisée.\index{Vrai--Faux} \medskip \begin{enumerate} \item Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production. On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en gramme, suit la loi normale d'espérance $200$ et d'écart-type $10$. \bigskip \textbf{Affirmation 1} La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à $187$~g est supérieure à $0,9$. \smallskip \item \textbf{Affirmation 2} L'équation $x-\cos x=0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$. \end{enumerate} \bigskip \emph{Dans les questions $3$. et $4$., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ qui admettent pour représentations paramétriques respectives :} \[\begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=\phantom{1 + }4t\end{cases},\: t\in\mathbb{R}\hspace{1cm}\text{et}\hspace{1cm}\begin{cases}x=-5t'+3\\y=\phantom{-}2t'\\z=\phantom{-5}t'+4\end{cases},\: t' \in \mathbb{R}\] \begin{enumerate}[resume] \item \textbf{Affirmation 3} Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont sécantes. \item \textbf{Affirmation 4} La droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan d'équation $x + 2y + z - 3 = 0$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~1]$, continue et positive sur cet intervalle, et $a$ une réel tel que $0 < a < 1$. On note : \begin{itemize} \item $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal : \item $\mathscr{A}_1$ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d'une part, les droites d'équations $x=0$ et $x=a$ d'autre part.\index{intégrale} \item $\mathscr{A}_2$ l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$ d'une part, les droites d'équations $x = a $ et $x = 1$ d'autre part. \end{itemize}}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{xunit=5cm,yunit=6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.1)(1.5,1.1) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(1.5,1.1) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscurve(0.,0.4)(0.07,0.4)(0.2,0.6)(0.3,0.5)(0.49,0.68)(0.6,0.8)(0.75,0.85)(1.,1.) \psline[linestyle=dashed](0.4,0)(0.4,0.55) \psline(1,0)(1,1) \uput[u](0.2,0.2){$\mathscr{A}_1$} \uput[u](0.7,0.2){$\mathscr{A}_2$} \uput[d](0.4,0){$a$} \uput[u](0.49,0.68){$\mathscr{C}$} \uput[u](1.3,0){$x$} \end{pspicture*}} \bigskip Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions $f$, une valeur du réel $a$ vérifiant la condition (E) : \og{}les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$ sont égales\fg{}. On admet l'existence d'un tel réel $a$ pour chacune des fonctions considérées. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de quelques exemples} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel $a$ et déterminer sa valeur. \begin{enumerate} \item $f$ est une fonction constante strictement positive. \item $f$ est définie sur $[0~;~1]$ par $f(x) = x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'intégrales, exprimer, en unités d'aires, les aires $\mathscr{A}_1$ et $\mathscr{A}_2$. \item On note $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. Démontrer que si le réel $a$ satisfait la condition (E), alors $F(a)=\dfrac{F(0)+F(1)}{2}$. La réciproque est-elle vraie ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières. \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}$. Vérifier que la condition (E) est vérifiée pour un unique réel $a$ et donner sa valeur. \item La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $\left[0~;~1\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$. Vérifier que la valeur $a = \dfrac{2}{5}$ convient. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Utilisation d'une suite pour déterminer une valeur approchée de $a$} \bigskip Dans cette partie, on considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $f(x)=4-3x^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E), alors $a$ est solution de l'équation : \[x=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}.\] Dans la suite de l'exercice, on admettra que cette équation a une unique solution dans l'intervalle $[0~;~1]$. On note $a$ cette solution. \item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de $[0~;~1]$ par $g(x)=\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3}{8}$ et la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.\index{suite} \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~1]$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$. \item Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. À l'aide des opérations sur les limites, prouver que la limite est $a$. \item On admet que le réel $a$ vérifie l'inégalité $0< a-u_{10}<10^{-9}$. Calculer $u_{10}$ à $10^{-8}$ près.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d'aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l'on pose une question à chaque personne. \bigskip \emph{Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A : Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage} \bigskip On admet dans cette partie que la probabilité qu'une personne interrogée accepte de répondre à la question est égale à 0,6. \medskip \begin{enumerate} \item L'institut de sondage interroge 700 personnes. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes interrogées qui acceptent de répondre à la question posée.\index{probabilités} \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse. \item Quelle est la meilleure approximation de $P(X\geqslant 400)$ parmi les nombres suivants ? \[0,92\hspace{2cm} 0,93\hspace{2cm}0,94\hspace{2cm}0,95.\] \end{enumerate} \item Combien de personnes l'institut doit-il interroger au minimum pour garantir, avec une probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400.\index{intervalle de confiance} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Proportion de personnes favorables au projet dans la population} \bigskip Dans cette partie, on suppose que $n$ personnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taille $n$ (où $n$ est un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29\:\% sont favorables au projet d'aménagement. \medskip \begin{enumerate} \item Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, de la proportion de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale. \item Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Correction due à l'insincérité de certaines réponses} \medskip Dans cette partie, on suppose que, parmi les personnes sondées qui ont accepté de répondre à la question posée, 29\:\% affirment qu'elles sont favorables au projet. L'institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les personnes interrogées, certaines d'entre elles ne sont pas sincères et répondent le contraire de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut : \begin{itemize} \item soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. \item soit être en réalité défavorable au projet si elle n'est pas sincère. \end{itemize} Par expérience, l'institut estime à 15\:\% le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée. Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes favorables au projet, à l'aide d'un modèle probabiliste. On prélève au hasard la fiche d'une personne ayant répondu, et on définit : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $F$ l'évènement \og{}la personne est en réalité favorable au projet\fg{} ; \item[$\bullet$] $\overline{F}$ l'évènement \og{}la personne est en réalité défavorable au projet\fg{} ; \item[$\bullet$] $A$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est favorable au projet\fg{}; \item[$\bullet$] $\overline{A}$ l'évènement \og{}la personne affirme qu'elle est défavorable au projet\fg{}. \end{itemize} Ainsi, d'après les données, on a $p(A) = 0,29$. \begin{enumerate} \item En interprétant les données de l'énoncé, indiquer les valeurs de $P_F(A)$ et $P_{\overline{F}}(A)$. \item On pose $x = P(F)$. \parbox{6cm}{ \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.\index{arbre de probabilité} \item En déduire une égalité vérifiée par $x$ \end{enumerate}}\hfill\parbox{6cm}{%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesepA=0pt,levelsep=25mm,treesep=10mm,nodesepB=3pt} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\TR{$F$}\taput{ $x$}} { \TR{$A$}\taput{ $$} \TR{$\overline{A}$}\tbput{ $$} } \pstree {\TR{$\overline{F}$}\tbput{$1 - x$}} { \TR{$A$}\taput{$$} \TR{$\overline{A}$}\tbput{$$} } } } \medskip \item Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles qui sont réellement favorables au projet.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidat/e/s n'ayant pas choisi la spécialité mathématique} \medskip On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale. On s'intéresse à l'aire délimitée par cette ligne. \bigskip On munit le plan d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout entier $k$ allant de 0 à $n$, on définit les nombres complexes $z_k=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{n}}$ et on note $M_k$ le point d'affixe $z_k$.\index{complexes} Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points $M_k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$. Par exemple, pour les entiers $n=6$, $n=10$ et $n=20$, on obtient les figures ci-dessous. \begin{tabular}{ccc} $n=6$&$n=10$&$n=20$\\ \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.9214cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-4.)(9.,4.) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.583333333333,1.01036297108)(-0.666666666667,1.15470053838)(-1.5,0.)(-0.833333333333,-1.44337567297)(0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.) \psline(0,0)(1.,0.) \psline(0,0)(0.583333333333,1.01036297108) \psline(0,0)(-0.666666666667,1.15470053838) \psline(0,0)(-1.5,0.) \psline(0,0)(-0.833333333333,-1.44337567297) (0.916666666667,-1.58771324027)(2.,0.) \end{pspicture*}& \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.9214cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1.,0.)(0.889918693812,0.646563777522)(0.37082039325,1.14126781955)(-0.401722092687,1.23637347118)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.5,0.)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.) \psline(0,0)(1.,0.) \psline(0,0)(0.889918693812,0.646563777522) \psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955) \psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118) \psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209) \psline(0,0)(-1.5,0.) \psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668) \psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777) \psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933) \psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936)(2.,0.) \end{pspicture*} & \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.9214cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.9)(2.5,1.5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-6.62)(16.9,6.3) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](1,0)(0.99860934211,0.324467844094)(0.889918693812,0.646563777522)(0.675953040136,0.930369543531)(0.37082039325,1.14126781955)(0,1.25)(-0.401722092687,1.23637347118)(-0.793510090595,1.09217294241)(-1.13262379212,0.822899353209)(-1.37903194863,0.448074641844)(-1.5,0)(-1.47413760026,-0.478976341281)(-1.294427191,-0.940456403668)(-0.969845666283,-1.33487804072)(-0.525328890437,-1.6167960777)(0,-1.75)(0.556230589875,-1.71190172933)(1.08740271674,-1.49668143959)(1.53713228931,-1.11679197936)(1.85456020678,-0.602583139032)(2,0) \psline(0,0)(1,0) \psline(0,0)(0.99860934211,0.324467844094) \psline(0.889918693812,0.646563777522) \psline(0,0)(0.675953040136,0.930369543531) \psline(0,0)(0.37082039325,1.14126781955) \psline(0,0)(0,1.25) \psline(0,0)(-0.401722092687,1.23637347118) \psline(0,0)(-0.793510090595,1.09217294241) \psline(0,0)(-1.13262379212,0.822899353209) \psline(0,0)(-1.37903194863,0.448074641844) \psline(0,0)(-1.5,0) \psline(0,0)(-1.47413760026,-0.478976341281) \psline(0,0)(-1.294427191,-0.940456403668) \psline(0,0)(-0.969845666283,-1.33487804072) \psline(0,0)(-0.525328890437,-1.6167960777) \psline(0,0)(0,-1.75) \psline(0,0)(0.556230589875,-1.71190172933) \psline(0,0)(1.08740271674,-1.49668143959) \psline(0,0)(1.53713228931,-1.11679197936) \psline(0,0)(1.85456020678,-0.602583139032) \psline(0,0)(2,0) \psline(0,0) %\multido{\n=0.00+0.05,\na=\n+1,\nb=0+18}{20}{\psline[linecolor=red](\na;\nb)} \end{pspicture*}\\ \end{tabular} \bigskip \textbf{Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points} \bigskip Dans cette partie, on suppose que $n=6$. Ainsi, pour $0\leqslant k\leqslant 6$, on a $z_k=\left(1+\dfrac{k}{6}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{6}}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la forme algébrique de $z_1$. \item Vérifier que $z_0$ et $z_6$ sont des entiers que l'on déterminera. \item Calculer la longueur de la hauteur issue de $M_1$ dans le triangle $OM_0M_1$ puis établir que l'aire de ce triangle est égale à $\dfrac{7\sqrt{3}}{24}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Ligne brisée formée à partir de \boldmath$n+1$\unboldmath\: points} Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$, déterminer la longueur $OM_k$. \item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, déterminer une mesure des angles $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OM_k}\right)$ et $\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OM_k}~;~\overrightarrow{OM_{k+1}}\right)$. \item Pour $k$ entier tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$, démontrer que la longueur de la hauteur issue de $M_{k+1}$ dans le triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)\times \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$. \item On admet que l'aire du triangle $OM_kM_{k+1}$ est égale à $a_k=\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$ et que l'aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à $A_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_{n-1}$. L'algorithme suivant permet de calculer l'aire $A_n$ lorsqu'on entre l'entier $n$ :\index{algorithme} \begin{center} \fbox{\begin{tabular}{ll} VARIABLES&$A$ est un nombre réel\\ &$k$ est un entier\\ &$n$ est un entier\\ TRAITEMENT&Lire la valeur de $n$\\ &$A$ prend la valeur 0\\ &Pour $k$ allant de $0$ à $n-1$\\ &\hspace{0,5cm} $A$ prend la valeur $A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\ &Fin Pour\\ SORTIE&Afficher $A$ \end{tabular}} \end{center} On entre dans l'algorithme $n = 10$ Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l'algorithme. \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $k$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline $A$&0,323 &0,711 &1,170 &1,705 &2,322 &3,027 &3,826 &4,726 & &\\ \hline \end{tabularx} \item On admet que $A_2=0$ et que la suite $\left(A_n\right)$ converge et que $\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=\dfrac{7\pi}{3}\approx 7,3$. Recopier et compléter les lignes $L6$ et $L13$ de l'algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $A_n\geqslant 7,2$. On ne demande pas de déterminer $n$.\index{algorithme} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{llX} $L1$&VARIABLES :&$A$ est un nombre réel\\ $L2$&&$k$ est un entier\\ $L3$&&$n$ est un entier\\ $L4$&TRAITEMENT :&$n$ prend la valeur 2\\ $L5$&&$A$ prend la valeur 0\\ $\textbf{L6}$&&\textbf{Tant que}\dots\dots\dots\dots\\ $L7$&&\hspace{0,8cm}$n$ prend la valeur $n+1$\\ $L8$&&\hspace{0,8cm}$A$ prend la valeur 0\\ $L9$&&\hspace{0,8cm}Pour $k$ allant de 0 à $n-1$\\ $L10$&&\hspace{1.6cm}$A$ prend la valeur \hspace{1.6cm}$A+\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\times \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$\\ &&\hspace{0,8cm}Fin Pour\\ $L12$&&Fin Tant que\\ $\textbf{L13}$&\textbf{SORTIE :}&\textbf{Afficher} \dots\\ \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \label{fin} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématique} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice $A$, connue uniquement de l'émetteur et du destinataire. Dans tout l'exercice, on note $A$ la matrice définie par : $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$.\index{matrices} \bigskip \textbf{Partie A -- Chiffrement de Hill} \medskip Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline Étape 1&On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes.\\ \hline Étape 2&On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers $x_1$ et $x_2$ tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant : \begin{tabular}{|*{13}{c|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabular} \\ \hline Étape 3& On transforme la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ vérifiant $Y = A X$.\\ \hline Étape 4&On transforme la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$, où $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ celui de la division euclidienne de $y_2$ par 26.\\ \hline Étape 5&On associe aux entiers $r_1$ et $r_2$ les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape 2.\index{arithmétique} Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question :} utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot \og HILL \fg. \bigskip \textbf{Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $a$ un entier relatif premier avec 26. Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $u \times a \equiv 1 \:\text{modulo}\: 26$. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline VARIABLES : &$a, u$, et $r$ sont des nombres ($a$ est naturel et premier avec 26)\\ TRAITEMENT :&Lire $a$\\ &$u$ prend la valeur 0, et $r$ prend la valeur 0\\ &Tant que $r \ne 1$\\ &\hspace{0,8cm}$u$ prend la valeur $u + 1$\\ &$\hspace{0,8cm}r$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $u \times a$ par 26 \\ &Fin du Tant que\\ SORTIE &Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On entre la valeur $a = 21$ dans cet algorithme. \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\hline $u$&0&1&2&\ldots\\ \hline $r$&0&21&\ldots&\ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En déduire que $5 \times 21 \equiv 1 \:\:\text{modulo}\:\: 26$. \end{enumerate} \item On rappelle que $A$ est la matrice $A = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}$ et on note $I$ la matrice : $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Calculer la matrice $12A - A^2$. \item En déduire la matrice $B$ telle que $BA = 21I$. \item Démontrer que si $A X = Y$, alors $21 X = B Y$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Déchiffrement} \medskip On veut déchiffrer le mot VLUP. On note $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ la matrice définie par l'égalité : $Y = A X = \begin{pmatrix}5&2\\7&7\end{pmatrix}X$. Si $r_1$ et $r_2$ sont les restes respectifs de $y_1$ et $y_2$ dans la division euclidienne par 26, le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l} 21x_1 &=& \phantom{-}7y_1 - 2y_2\\ 21x_2 &=&- 7y_1 + 5 y_2 \end{array}\right.$ \item En utilisant la question B .2., établir que: $\left\{\begin{array}{l c l r} x_1 &\equiv&9r_1 + 16r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26\\ x_2 &\equiv&17r_1 + 25r_2 \:\:&\text{modulo}\: 26 \end{array}\right.$ \item Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices $\begin{pmatrix}21\\11\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}20\\15\end{pmatrix}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 8 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie 10 juin 2016 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{10 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2016~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} Voici deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ qui donnent pour deux personnes $P_1$ et $P_2$ de corpulences différentes la concentration $C$ d'alcool dans le sang (taux d'alcoolémie) en fonction du temps $t$ après ingestion de la même quantité d'alcool. L'instant $t = 0$ correspond au moment où les deux individus ingèrent l'alcool. $C$ est exprimée en gramme par litre et $t$ en heure. \emph{Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps} \begin{center} \psset{unit=1.75cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(6.5,1.75) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(6.5,1.75) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2 x mul 2.71828 x exp div} \uput[u](1.5,1){$\mathcal{C}_1$} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}\uput[u](1.5,0.65){\blue $\mathcal{C}_2$} \uput[u](6.25,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$C$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item La fonction $C$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $C'$ sa fonction dérivée. À un instant $t$ positif ou nul, la vitesse d'apparition d'alcool dans le sang est donnée par $C'(t)$. À quel instant cette vitesse est-elle maximale ? \emph{On dit souvent qu'une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l'alcool.} \item Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué. \item Une personne à jeun absorbe de l'alcool. On admet que la concentration $C$ d'alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = A t\text{e}^{-t}\]\index{fonction exponentielle} où $A$ est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d'alcool absorbée. \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(0)$. \item L'affirmation suivante est-elle vraie ? \og À quantité d'alcool absorbée égale, plus $A$ est grand, plus la personne est corpulente. \fg \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Un cas particulier} \medskip Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration $C$ d'alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en heure, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(t) = 2 t\text{e}^{-t}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item À quel instant la concentration d'alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à $10^{-2}$ près. \item Rappeler la limite de $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et en déduire celle de $f(t)$ en $+ \infty$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d'alcool dans le sang de $0,2$~g.L$^{-1}$ pour un jeune conducteur. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right) = f\left(t_2\right) = 0,2$. \item Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ? Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche. \end{enumerate} \item La concentration minimale d'alcool détectable dans le sang est estimée à $5 \times 10^{-3}$~g.L$^{-1}$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe un instant $T$ à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable. \item On donne l'algorithme suivant où $f$ est la fonction définie par $f(t) = 2 t\text{e}^{-t}$.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Initialisation} : & $t$ prend la valeur $3,5$\\ &$p$ prend la valeur $0,25$\\ &$C$ prend la valeur $0,21$\\ \textbf{Traitement} : & Tant que $C > 5 \times 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} $t$ prend la valeur $t + p$\\ $C$ prend la valeur $f(t)$ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}: &Afficher $t$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à $10^{-2}$ près. \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Initialisation &Étape 1& Étape 2\\ \hline $p$ &0,25 & &\\ \hline $t$ &3,5 & &\\ \hline $C$ &0,21 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par \index{suite}\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\] On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\] \begin{enumerate} \item Voici un extrait de feuille de tableur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &$n$&$u$&$v$\\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline 8 & & &\\ \hline 9 & & &\\ \hline 10 & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ? \item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un astronome responsable d'un club d'astronomie a observé le ciel un soir d'août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d'attente entre deux apparitions d'étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d'attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. En exploitant les données obtenues, il a établi que $\lambda = 0,2$.\index{loi exponentielle} Il prévoit d'emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d'août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu'il sera dans des conditions d'observation analogues à celles d'août 2015. L'astronome veut s'assurer que le groupe ne s'ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion. \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu'il attende moins de $3$~minutes pour voir l'étoile filante suivante est environ $0,451$. \item Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à $0,95$ ? Arrondir ce temps à la minute près. \item L'astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d'observations d'étoiles filantes lors de cette sortie. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtient les informations suivantes : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 64\,\% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ; \item[$\bullet~~$] 27\,\% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ; \item[$\bullet~~$] 65\,\% des nouveaux adhérents n'ont pas de télescope personnel. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On choisit un adhérent au hasard.\index{probabilités} Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est $0,494$. \item On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent? Arrondir à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Pour des raisons pratiques, l'astronome responsable du club souhaiterait installer un site d'observation sur les hauteurs d'une petite ville de \np{2500}~habitants. Mais la pollution lumineuse due à l'éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l'éclairage nocturne pendant les nuits d'observation, l'astronome réalise un sondage aléatoire auprès de $100$~habitants et obtient $54$ avis favorables à la coupure de l'éclairage nocturne. L'astronome fait l'hypothèse que $50$\,\% de la population du village est favorable à la coupure de l'éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l'amène-t-il à changer d'avis ?\index{intervalle de confiance}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1 }: Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + 3\text{i},\: z_{\text{B}} = 1 + \text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$ ne sont pas alignés.\index{complexes} \item \textbf{Proposition 2 } : Il n'existe pas d'entier naturel $n$ non nul tel que $\left[\text{i}(1 + \text{i})\right]^{2n}$ soit un réel strictement positif. \item ABCDEFGH est un cube de côté 1. Le point L est tel que $\vect{\text{EL}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{EF}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,5) \psframe(0.4,0.4)(3.5,3.5)%BCGF %\psframe(1.4,1.5)(4.5,4.6)%ADHE \psline(3.5,0.4)(4.5,1.5)(4.5,4.6)(3.5,3.5)%CDHG \psline(4.5,4.6)(1.4,4.6)(0.4,3.5)%HEF \psline[linestyle=dotted](0.4,0.4)(1.4,1.5)(4.5,1.5)%BAD \psline[linestyle=dotted](1.4,1.5)(1.4,4.6)%AE \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.1,4.3) \uput[ur](1.4,1.5){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[dr](3.5,0.4){C} \uput[r](4.5,1.5){D} \uput[u](1.4,4.6){E} \uput[l](0.4,3.5){F} \uput[r](3.5,3.5){G} \uput[u](4.5,4.6){H} \uput[ul](1.1,4.3){L} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Proposition 3 } La section du cube par le plan (BDL) est un triangle.\index{géométrie dans l'espace} \textbf{Proposition 4 } Le triangle DBL est rectangle en B. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~5] et dont on connaît le tableau de variations donné ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,2.5) \psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5) \uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.15,1.9){$2$} \uput[u](4,1.9){$3$} \uput[u](6,1.9){$4$} \uput[u](7.85,1.9){$5$} \rput(1,1.3){Variations}\rput(1,0.7){de $f$} \uput[d](2.15,2){3} \uput[u](4,0){0}\rput(6,1){1} \uput[d](7.85,2){2} \psline{->}(2.4,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(6.5,1.1)(7.5,1.5)\psline(4.3,0.3)(5.5,0.8) \end{pspicture} \end{center} \textbf{Proposition 5 } : L'intégrale $\displaystyle\int_2^5 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $1,5$ et $6$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Proposition 1} Pour tout entier naturel $n$, le chiffre des unités de $n^2 + n$ n'est jamais égal à 4. \item On considère la suite $u$ définie, pour $n \geqslant 1$, par \[u_n = \dfrac{1}{n} \text{pgcd}(20~;~n).\]\index{arithmétique} \textbf{Proposition 2} La suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item \textbf{Proposition 3} Pour toutes matrices $A$ et $B$ carrées de dimension 2, on a $A \times B = B \times A$.\index{matrices} \item Un mobile peut occuper deux positions $A$ et $B$. À chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer. Pour tout entier naturel $n$, on note : \begin{itemize} \item $A_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $A$ à l'étape $n$ \fg{} et $a_n$ sa probabilité. \item $B_n$ l'évènement \og le mobile se trouve dans la position $B$ à l'étape $n$\fg{} et $b_n$ sa probabilité. \item $X_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$. \end{itemize} On admet que, pour tout entier nature $n,\: X_{n+1} = M \times X_n$ avec $M = \begin{pmatrix}0,55&0,3\\ 0,45&0,7\end{pmatrix}$. \textbf{Proposition 4} La probabilité $P_{A_n} \left(B_{n+1}\right)$ vaut 0,45. \textbf{Proposition 5} Il existe un état initial $X_0 = \begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}$ tel que la probabilité d'être en $B$ à l'étape 1 est trois fois plus grande que celle d'être en $A$ à l'étape 1, autrement dit tel que $b_1 = 3a_1$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Polynésie 10 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole La Réunion 20 juin 2016 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \rfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \lfoot{\small{20 juin 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 20 juin 2016~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40\,\% des composants et la chaîne B produit le reste.\index{probabilités} \smallskip Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20\,\% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5\,\%. \smallskip On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne A \fg \item[ ] $B$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne B \fg \item[ ] $S$ l'évènement \og le composant est sans défaut \fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,89$. \item Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut. \smallskip Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$.\index{intervalle de confiance} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95\,\%. \item Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif).\index{loi exponentielle} On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item pour tout nombre réel $x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$. \item pour tout nombre réel $a \geqslant 0,\: P(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,6.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(8,7) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(0,0)(7.5,6.5)[$x$,-110][$y$,200] \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1) \psline(3.4,-0.1)(3.4,0.1) \uput[d](3.4,0){$a$} \uput[dl](0.6,3.5){\blue $\mathcal{C}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 2.71828 0.510826 x mul exp div} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement $P(T \leqslant a)$ où $a > 0$. \item Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1$. \end{enumerate} \item On suppose que $P(T \leqslant 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près. \item Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans. \item On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans. \item Donner l'espérance mathématique E($T$) de la variable aléatoire $T$ à l'unité près. Interpréter ce résultat.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk{} on donne les points : \[\text{A}(1~;~2~;~3), \text{B}(3~;~0~;~1), \text{C}(-1~;~0~;~1), \text{D}(2~;~1~;~-1), \text{E}(-1~;~-2~;~3) \:\text{et }\: \text{F}(- 2~;~-3~;~4).\] Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\index{Vrai--Faux} \medskip \textbf{Affirmation 1 :} Les trois points A, B, et C sont alignés. \smallskip \textbf{Affirmation 2 :} Le vecteur $\vect{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \smallskip \textbf{Affirmation 3 :} La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC]. \smallskip \textbf{Affirmation 4 :} Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right).\]\index{fonction logarithme} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $R$ l'équation : $f(x) = x$. \item Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){+} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(2,0.3)(8,1.7) \end{pspicture} \end{center} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f(x)$ appartient à [0~;~1]. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Variables &$N$ et $A$ des entiers naturels ;\\ \hline Entrée &Saisir la valeur de $A$\\ \hline Traitement &$N$ prend la valeur $0$\\ &Tant que $N - \ln\left(N^2 + 1\right) < A$\\ &\hspace{0,6cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin tant que\\ \hline Sortie &Afficher $N$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Que fait cet algorithme ? \item Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est 100. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln \left(u_n^2 + 1\right)$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à [0~;~1]. \item Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$. En déduire la valeur de $\ell$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Le plan est muni d'un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.\index{arithmétique} \begin{enumerate} \item Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$. \item Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier. \end{enumerate} \textbf{Généralisation} \medskip On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$. Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. \item On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$. \item En déduire que $q$ divise $n$. \end{enumerate} \item Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$. \begin{enumerate} \item On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$. \item En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$. \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier. \item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}&$M, N, P, Q$ : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\:Q) = 1$\\ &$X$ : entier naturel\\ \textbf{Entrées :} &Saisir les valeurs de $M, N, P, Q$\\ \textbf{Traitement et sorties :}&\\ &Si $Q$ divise $N$ alors\\ &\begin{tabular}{|l} $X$ prend la valeur $0$\\ Tant que $\left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$\\ et $ \left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$ faire\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} $X$ prend la valeur $X + 1$ \end{tabular}\\ Fin tant que\\ Si $\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ est entier alors\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} Afficher $X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l} Afficher $-X, - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Sinon\\ &\begin{tabular}{|l} Afficher \og Pas de solution \fg \end{tabular}\\ &Fin Si\\\hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$. \item Que permet-il d'obtenir ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.}\hfill\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(11.6,8) \psframe(0.5,0)(10.8,7.3)\psline(5.65,0)(5.65,7.3) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM \uput[l](0.5,0.75){E}\uput[r](5.65,0.75){M} \uput[l](0.5,3.3){A}\uput[l](0.5,3.9){B}\uput[ur](2.8,0.75){T} \psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9) \rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}\rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain} \uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus} \psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)\psline(0.35,3.3)(0.65,3.3) \psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)\psline(10.65,3.3)(10.95,3.3) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)\uput[d](1.65,0.6){$x$} \end{pspicture} } \medskip Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible. \smallskip Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer. \medskip Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$.\index{trigonométrie} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$. La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. \item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$. \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b}$. Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$. \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0~;~50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 20 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 20 juin 2016 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \rfoot{\small{Antilles--Guyane}} \lfoot{\small{20 juin 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016~\decofourright} \vspace{0,25cm} } \end{center} %: EXERCICE 1 \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \emph{Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près}. \smallskip \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}\index{probabilités} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication: \begin{itemize} \item à la sortie de la machine A, 8~\% des ampoules présentent un défaut; \item à la sortie de la machine B, 5~\% des ampoules présentent un défaut. \end{itemize} On définit les événements suivants: \begin{itemize} \item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{}; \item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{}; \item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg{}. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée. \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré représentant la situation. \item Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}. \item L'ampoule tirée est sans défaut. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A. \end{enumerate} \item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise. Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $\displaystyle P(T\leqslant a)=\int\limits_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\text{d}x$.\index{loi exponentielle} \begin{enumerate} \item Montrer que $P(T\geqslant a)=\e^{-\lambda a}$. \item Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a \[ P_{T\geqslant t}(T\geqslant t+a)=P(T\geqslant a). \] \end{enumerate} \item Dans cette partie, la durée de vie en heures d'une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d'espérance \np{10000}. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi. \item Calculer la probabilité $P(T\geqslant \np{5000})$. \item Sachant qu'une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant \np{7000} heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse \np{12000} heures. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip L'entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu'il n'y a pas plus de 6~\% d'ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur \np{1000}. \begin{enumerate} \item Dans le cas où il y aurait exactement 6~\% d'ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95~\% de la fréquence d'ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille \np{1000}.\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \item A-t-on des raisons de remettre en cause l'affirmation de l'entreprise~?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %: EXERCICE 2 \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que $\left\vert z-2\right\vert=1$.\index{complexes} \begin{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon. \item Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=ax$. Déterminer le nombre de points d'intersection entre $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %: EXERCICE 3 \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par \[f(x) = x\e^{1-x^2}.\]\index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \emph{Indication : on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de }\:$0$, $f(x)=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$. \smallskip On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à 0. \item \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.\\ Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}.\] \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$. \begin{center} \newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.} \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0.25,comma=true} \begin{pspicture*}(-2.7,-1.6)(3.2,2.75) \multips(0,-1)(0,0.5){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.7,0)(3.2,0)} \multips(-2,0)(0.5,0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.7)(0,2.7)} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.7,-1.7)(3.2,2.75) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{x*EXP(1.0-x^(2.0))} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.7}{3.2}{EXP(1.0-x)} \begin{scriptsize} \uput[45](-1,-1){\qqwuqq{$C_f$}} \uput[-135](0.5,1.6487212707){\ccqqqq{$C_g$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \medskip Le but de cette partie est d'étudier la position relative de ces deux courbes. \medskip \begin{enumerate} \item Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre~? \item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~0]$, $f(x) 30$. En déduire la réponse au problème. \end{enumerate} \subsubsection*{Partie C: un contrôle de qualité} Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l'industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d'un point de vue commercial. \smallskip L'entreprise affirme que 80\,\% des bactéries produites sont de type A. \smallskip Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production. L'analyse montre que 146 d'entre elles sont de type A. L'affirmation de l'entreprise doit-elle être remise en cause ? \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de \og coin de cube\fg, les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vect{\text{OA}},\,\vect{\text{OB}},\,\vect{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l'exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites. \medskip \textbf{Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):} \begin{list}{\textbullet}{} \item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a~;~b~;~- c)$; \item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ; \item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ; \end{list} \begin{center} \begin{tabular}{|p{8cm}|} \hline Vue en perspective cavalière de la réflexion d'un rayon lumineux sur le plan (OAB)\\ \hline \psset{unit=1cm,arrowscale=1.5,dash=2pt 2pt} \def\xmin {-1} \def\xmax {7} \def\ymin {-2} \def\ymax {3} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid \psline(0,0)(\xmax,0) \psline(0,0)(-2,-2) \psline{->}(0,0)(1.5,0) \uput[d](1.5,0){B} \psline{->}(0,0)(0,1.5) \uput[ul](0,1.5){C} \psline{->}(0,0)(-0.7,-0.7) \uput[dr](-0.7,-0.7){A} \uput[dr](0,0){O} \psline[linestyle=dashed]{->}(1.9,0)(1.9,1.5) \psline{->}(3.7,-0.5)(3.7,1) \psline[linestyle=dashed]{<-}(5.5,-1)(5.5,0.5) \psline[linestyle=dashed]{->}(5.5,-1)(3.7,-0.5) \psline[linestyle=dashed]{->}(3.7,-0.5)(1.9,0) \psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.25](7.3,1.5)(3.7,-0.5) \psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.75](3.7,-0.5)(0.1,3.5) \psline(\xmin,-1.5)(6,-1.5)(7.5,0) \uput[r](3.7,0.8){\small $\vect{n}\,(0\,;\,0\,;\,1)$} \end{pspicture*}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item \emph{Propriété des catadioptres} En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial. \end{enumerate} Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vect{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vect{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \emph{Réflexion de $d_2$ sur le plan \emph{(OBC)}} \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$. \item Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan. \item Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$. Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$. \end{enumerate} \end{enumerate} On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vect{v_3}\,(2~;~-1~;~1)$ passant par le point I$_2\,(0~;~2~;~1)$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item \emph{Réflexion de $d_3$ sur le plan \emph{(OAC)}} Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC). On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$. \item \emph{\'Etude du trajet de la lumière} On donne le vecteur $\vect{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$. \item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan? \item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat/e/s ayant suivi l'enseignement de spécialité } \medskip L'objet du problème est l'étude d'une méthode de cryptage, dite \og chiffrement de Hill \fg, dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme $\begin{pmatrix}a&b\\c&s\end{pmatrix}$, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et 25, et tels que $ad -bc$ soit premier avec $26$. Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire. \begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} \textbf{Partie A : quelques résultats} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$. \item Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\] \item En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \Z.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux. \item En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \Z$, sont premiers avec $26$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : cryptage et décryptage} \medskip On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16&17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{|>{\centering \arraybackslash}m{6cm}|}{\textbf{Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres)}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Exemple : avec le mot MATH}}\\ \hline \textbf{1.} On regroupe les lettres par paires. &\multicolumn{2}{|c|}{MA\quad TH}\\ \hline \textbf{2.} On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. &$C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$&$C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$\\ \hline \textbf{3.} On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ & $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$& $AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}$\\ \hline \textbf{4.} On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26.&$108 = 4\times 26 + 4$ $84= 3 \times 26 + 6$ On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$\\ \hline \textbf{5.} On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. &\multicolumn{2}{|c|}{EGRY}\\ \hline \end{tabularx} \psline{->}(2.5,6.8)(2.1,6.5)\psline{->}(3.9,6.8)(4.8,6.5) \psline{->}(2.8,1.6)(3.,1.4)\psline{->}(4.5,2.3)(3.4,1.4) \end{center} \begin{enumerate} \item En cryptant par cette méthode le mot \og PION \fg, on obtient \og LZWH \fg. En détaillant les étapes pour les lettres \og ES \fg, crypter le mot \og ESPION \fg. \item \textbf{Méthode de décryptage} \medskip \textbf{Notation :} lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation \og $\equiv$ \fg pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } \\26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\] Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x'$ et $y'$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x'$ modulo $26$ et $y \equiv y'$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by'$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \] \begin{enumerate} \item Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse. \item Décrypter le mot : XQGY. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Asie 23 juin 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole La Réunion 12 septembre 2016 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \rfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \lfoot{\small{12 septembre 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 12 septembre 2016~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} $ près. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On estime qu'en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1\,\% des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9\,\% en zone urbaine.\index{probabilités} En 2013, d'après la fédération internationale du diabète, 9,9\,\% de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4\,\% de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note : $R$ l'évènement : \og la personne choisie habite en zone rurale \fg, $D$ l'évènement: \og la personne choisie est atteinte de diabète \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.\index{arbre de probabilité} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique. \item La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu'elle habite en zone rurale ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60~mg.dL$^{-1}$ et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110~mg. dL$^{-1}$. La glycémie à jeun est considérée comme \og normale \fg{} si elle est comprise entre 70~mg.dL$^{-1}$ et 110 mg.dL$^{-1}$. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70~mg.dL$^{-1}$ ne font pas l'objet d'un suivi particulier. On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d'établir que la probabilité qu'il soit en hyperglycémie est $0,052$ à $10^{-3}$ près. Dans la suite on admettra que cette probabilité est égale à $0,052$. On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg.dL$^{-1}$, d'un adulte d'une population donnée, par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.\index{loi normale} On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire $X$. \begin{center} \psset{xunit=1cm, yunit=8cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true} \def\xmin {-5} \def\xmax {5} \def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.25} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\m{0} \def\s{2} \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot[plotpoints=1000]{-5}{5}{\f} %\def\inf{\xmin} \def\sup{1} %\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red] %{ %\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] %\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable ! %} \uput[d](-2,0){70}\uput[d](0,0){$\mu = 90$}\uput[d](2,0){110} \uput[d](4.4,0){mg.dL$^{-1}$} \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,0.199) \psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,0.12) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.12) \psaxes[ticksize=0pt 0pt, labels=none, comma](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0) \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun \og normale\fg{} ? \item Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie au dixième. \item Dans cette question, on prend $\sigma = 12$. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip Afin d'estimer la proportion, pour l'année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard \np{10000}~personnes. Dans l'échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\%, estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.\index{intervalle de confiance} \item Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l'on veut obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence : \[z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.\] /smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.\index{complexes} \item Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$. \item Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ? Prouver cette conjecture. \end{enumerate} \item Déterminer $z_{\np{2016}}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$. \item Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face. \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d'une pièce et 1 code le côté pile. Si $a$ code le côté de la pièce A à un instant donné, alors $1 - a$ code le côté de la pièce A après l'avoir retournée.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline \textbf{Variables :} & $a$, $b$, $d$, $s$ sont des entiers\\ &$i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 1\\ \textbf{Initialisation :}& $a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur 0\\ &Saisir $n$\\ \textbf{Traitement :} & Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire\\ &\begin{tabular}{|l} $d$ prend la valeur d'un entier aléatoire compris \\ entre 1 et 6\\ Si $d \leqslant 2$\\ \hspace{0.5cm} \begin{tabular}{|l} alors $a$ prend la valeur $1 - a$\\ sinon Si $d \leqslant 4$\\ \hspace{1.5cm}| alors $b$ prend la valeur $1 - b$\\ \hspace{1cm}FinSi\\ \end{tabular}\\ FinSi\\ $s$ prend la valeur $a + b$\\ \end{tabular}\\ &FinPour\\ \textbf{Sortie :}&Afficher $s$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme : \begin{center} \psset{xunit=1.4cm, yunit=0.6cm} \def\xmin {-2.5} \def\xmax {5} \def\ymin {0} \def\ymax {5} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \multido{\i=0+1}{6}{\psline(\xmin,\i)(\xmax,\i)} \multido{\i=0+1}{6}{\psline(\i,\ymin)(\i,\ymax)} \psline(\xmin,\ymin)(\xmin,\ymax) \uput[r](\xmin,0.5){\small 3\ieme{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,1.5){\small 2\ieme{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,2.5){\small 1\ier{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,3.5){\small initialisation} \uput[r](\xmin,4.5){\small variables} \uput[u](0.5,4){$i$} \uput[u](1.5,4){$d$} \uput[u](2.5,4){$a$} \uput[u](3.5,4){$b$} \uput[u](4.5,4){$s$} \psline(0,3)(1,4)(2,3) \psline(0,4)(1,3)(2,4) \psline(4,3)(5,4) \psline(4,4)(5,3) \end{pspicture} \end{center} \item Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note : $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté face\fg $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, une pièce est du côté pile et l'autre est du côté face\fg $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement : \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile\fg. De plus on note, $x_n = P\left(X_n\right)$ ; $y_n = P\left(Y_n\right)$ et $z_n = P\left(Z_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$ et $Z_n$. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités $x_0$ , $y_0$ et $z_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile. \item Justifier que $P_{X_n}\left(X_{n+1}\right) = \dfrac{1}{3}$. \item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :\index{arbre de probabilité} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,levelsep=4cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$X_n$}\taput{$x_n$}} { \TR{$X_{n+1}$} \TR{$Y_{n+1}$} \TR{$Z_{n+1}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Y_n$}\taput{$y_n$}} { \TR{$X_{n+1}$} \TR{$Y_{n+1}$} \TR{$Z_{n+1}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Z_n$}\taput{$z_n$}} { \TR{$X_{n+1}$} \TR{$Y_{n+1}$} \TR{$Z_{n+1}$} } } \end{center} \bigskip \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_{n+1} = - \dfrac{1}{3}y_n + \dfrac{2}{3}$.\index{suite} \item On pose, pour tout entier naturel $n$, $b_n = y_n - \dfrac{1}{2}$. Montrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $y_n = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\times \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n$. \item Calculer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} y_n$. Interpréter le résultat.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 3 pièces A, B et C ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C. Au début du jeu, les 3 pièces sont toutes du côté face. \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face et 1 code le côté pile. Si $a$ code un côté de la pièce A, alors $1 - a$ code l'autre côté de la pièce A.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline \textbf{Variables :} &$a$, $b$, $c$, $d$, $s$ sont des entiers naturels\\ &$i$, $n$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 1\\ \textbf{Initialisation :}&$a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur 0\\ &$c$ prend la valeur 0\\ &Saisir $n$\\ \textbf{Traitement :} & Pour $i$ allant de $1$ à $n$ faire\\ &\begin{tabular}{|l} $d$ prend la valeur d'un entier aléatoire compris\\ entre 1 et 6\\ Si $d \leqslant 2$\\ \hspace{0.5cm} \begin{tabular}{|l} alors $a$ prend la valeur $1 - a$\\ sinon Si $d \leqslant 4$\\ \hspace{1.5cm}\begin{tabular}{|l} alors $b$ prend la valeur $1 - b$\\ sinon $c$ prend la valeur $1 - c$ \end{tabular}\\ \hspace{1cm}FinSi\\ \end{tabular}\\ FinSi\\ $s$ prend la valeur $a + b + c$\\ \end{tabular}\\ &FinPour\\ \textbf{Sortie :}&Afficher $s$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On exécute cet algorithme en saisissant $n = 3$ et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour $d$ sont 1 ; 4 et 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme : \begin{center} \psset{xunit=1.2cm, yunit=0.6cm} \def\xmin {-3} \def\xmax {6} \def\ymin {0} \def\ymax {5} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] \multido{\i=0+1}{6}{\psline(\xmin,\i)(\xmax,\i)} \multido{\i=0+1}{7}{\psline(\i,\ymin)(\i,\ymax)} \psline(\xmin,\ymin)(\xmin,\ymax) \uput[r](\xmin,0.5){\small 3\ieme{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,1.5){\small 2\ieme{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,2.5){\small 1\ier{} passage boucle Pour} \uput[r](\xmin,3.5){\small initialisation} \uput[r](\xmin,4.5){\small variables} \uput[u](0.5,4){$i$} \uput[u](1.5,4){$d$} \uput[u](2.5,4){$a$} \uput[u](3.5,4){$b$} \uput[u](4.5,4){$c$} \uput[u](5.5,4){$s$} \psline(0,3)(1,4)(2,3) \psline(0,4)(1,3)(2,4) \psline(5,3)(6,4) \psline(5,4)(6,3) \end{pspicture} \end{center} \item Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de $n$ tirages, les trois pièces sont du côté pile ? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note : $\bullet~~$ $X_n$ l'évènement: \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté face \fg $\bullet~~$ $Y_n$ l'évènement: \og À l'issue de $n$ lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres sont du côté face\fg $\bullet~~$ $Z_n$ l'évènement: \og À l'issue de $n$ lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et l'autre est du côté face\fg $\bullet~~$ $T_n$ l'évènement: \og À l'issue de $n$ lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile \fg. De plus on note, $x_n = p\left(X_n\right)$ ; $y_n = p\left(Y_n\right)$ ; $z_n = p\left(Z_n\right)$ et $t_n = p\left(T_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $X_n$, $Y_n$, $Z_n$ et $T_n$. \begin{enumerate} \item Donner les probabilités $x_0$ ,$y_0$, $z_0$ et $t_0$ respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1, 2 ou 3 pièces du côté pile. \item Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :\index{arbre de probabilité} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,levelsep=4cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$X_n$}\taput{$x_n$}} { \TR{$Y_{n+1}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Y_n$}\taput{$y_n$}} { \TR{$X_{n+1}$} \TR{$Z_{n+1}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$Z_n$}\taput{$z_n$}} { \TR{$Y_{n+1}$} \TR{$T_{n+1}$} } \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$T_n$}\taput{$t_n$}} { \TR{$Z_{n+1}$} } } \end{center} \bigskip \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice ligne $\left(x_n y_n z_n t_n\right)$. \begin{enumerate} \item Donner la matrice $U_0$.\index{matrices} \item À l'aide de l'arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = U_n \times M$. \end{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $Un = U_0 \times M^n$. \item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} $x_n = \frac{(- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ ; &$y_n = \frac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n + 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n - (- 1)^n \times 3 + 3}{8}$\\[8pt] $z_n = \frac{- 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n + (- 1)^n\times 3 + 3}{8}$ ; &$t_n = \frac{- (- 1)^n + 3 \times \left(- \frac{1}{3}\right)^n - 3\times \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1}{8}$ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'au bout de 5 lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile. \item Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte $\bullet~~$ Première affirmation : \og À l'issue d'un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile \fg. $\bullet~~$ Deuxième affirmation: \og Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $\dfrac{1}{4}$ \fg. $\bullet~~$ Troisième affirmation: \og Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à $0,249$ \fg.\index{Vrai--Faux}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un hélicoptère est en vol stationnaire au-dessus d'une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d'un parachute. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Soit $v_1$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : \index{fonction exponentielle}\[v_1(t) = 5 \times \dfrac{\text{e}^{0,3t} - 1}{\text{e}^{0,3t} + 1}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $v_1$. \item On suppose, dans cette question, que le parachute fonctionne correctement. On admet que $t$ secondes après qu'il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m.s$^{-1}$) est égale, avant d'atteindre le sol, à $v_1(t)$. On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si sa vitesse à l'arrivée n'excède pas 6 m.s$^{-1}$. Le colis risque-t-il d'être endommagé lorsque le parachute s'ouvre correctement ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s'ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m.s$^{-1}$), $t$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : \[v_2(t) = 32,7 \left(1 - \text{e}^{- 0,3t}\right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la vitesse, exprimée en m.s$^{-1}$, atteinte par le colis au bout de 10 secondes ? Arrondir à 0,1 m.s$^{-1}$. \item Résoudre l'équation $v_2(t) = 30$ m.s$^{-1}$. Donner une interprétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice. \item On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l'hélicoptère du colis, $T$ secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par: \[d(T) = \displaystyle\int_0^T v_2(t)\:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $T$ de l'intervalle [0~;~20], $d(T) = 109\left(\text{e}^{- 0,3 T} + 0,3 T - 1\right)$. \item Déterminer une valeur approchée à 1~m près de la distance parcourue par le colis lorsqu'il atteint le sol. \end{enumerate} \item Déterminer un encadrement d'amplitude $0,1$~s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l'avait lâché d'une hauteur de $700$~mètres.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 12 septembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane septembre 2016 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \rfoot{\small{Antilles--Guyane}} \lfoot{\small{septembre 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (spécialité) Antilles-Guyane septembre 2016~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère \Oij. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\] \begin{center} \psset{unit=8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.2,-0.075)(1.22,0.8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.2,-0.02)(1.2,0.8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1.2,0.8) %\multido{\n=0+1}{5}{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 \n 1 sub x mul exp 1 2.71828 x exp add mul div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{2.71828 x exp 1 2.71828 x exp add div}\uput[r](0.3,0.625){\blue $\mathcal{C}_{0}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 1 2.71828 x exp add div}\uput[r](0.3,0.45){\blue $\mathcal{C}_{1}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.33){\blue $\mathcal{C}_{2}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 2 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.26){\blue $\mathcal{C}_{3}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 3 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.18){\blue $\mathcal{C}_{4}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 9 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.3,0.05){\blue $\mathcal{C}_{10}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{1.2}{1 2.71828 x 50 mul exp 1 2.71828 x exp add mul div}\uput[r](0.05,0.05){\blue $\mathcal{C}_{50}$} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A - Étude graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $u_n$.\index{lecture graphique} \item Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.\index{aire et intégrale} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude théorique} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.\index{primitive} \item Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$. \item On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$. \item Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{suite} \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\] \item En déduire la valeur de $\ell$. \item On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné.\index{algorithme} Recopier et compléter les quatre lignes de la partie \textbf{Traitement} de l'algorithme suivant. \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Entrée :} &$N$ est un entier naturel non nul\\ \textbf{Variables :} &$U$ est un nombre réel\\ &$K$ est un entier naturel\\ \textbf{Initialisation :}&Affecter 1 à $K$\\ &Affecter $1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$ à $U$\\ &Demander à l'utilisateur la valeur de $N$\\ \textbf{Traitement :} & Tant que $K < N$\\ &Affecter \ldots \ldots \ldots à $U$\\ &Affecter \ldots \ldots \ldots à $K$\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :} &Afficher $U$\\ \hline \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.\index{géométrie dans l'espace} \begin{center} \psset{unit=0.85cm} \begin{pspicture}(11,11) \psframe(3,0.5)(10,7.5)%DAEH \pspolygon(10,7.5)(8.2,9.3)(1.2,9.3)%EFG \pspolygon(3,7.5)(1.2,9.3)(3,0.5)%HGD \psline(1.2,9.3)(1.2,2.3)(3,0.5)(10,7.5)%GCDE \psline[linestyle=dashed](8.2,9.3)(8.2,2.3)(1.2,2.3)%FBC \psline[linestyle=dashed](8.2,2.3)(10,0.5)%BA \uput[dr](10,0.5){A}\uput[ur](8.2,2.3){B} \uput[l](1.2,2.3){C}\uput[dl](3,0.5){D} \uput[r](10,7.5){E}\uput[ur](8.2,9.3){F} \uput[ul](1.2,9.3){G}\uput[dr](3,7.5){H} \end{pspicture} \end{center} On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{BF}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Démontrer que la droite (BH) perpendiculaire au plan (DEG). \item Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).\index{equation de plan@équation de plan} \item On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH). Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P. \item Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \emph{Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}\index{Vrai--Faux} \medskip \begin{enumerate} \item On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ \[(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\] où $a$ désigne un nombre réel quelconque.\index{complexes} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\C$. \item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts. \item[$\bullet~~$] Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux. \item[$\bullet~~$] Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle. \end{itemize} \item Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est un réel positif. \item[$\bullet~~$] Le nombre $z$ est égal à 1. \item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\theta$. \item[$\bullet~~$] Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$. \end{itemize} \item Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par \[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\] \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$. \item[$\bullet~~$] Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.\index{dérivée} \item[$\bullet~~$] La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item[$\bullet~~$] Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.\index{primitive} \end{itemize} \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :\index{fonction exponentielle} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $P(X = 30)$ \item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 60)$ \item[$\bullet~~$] $P(X \leqslant 30)$ \item[$\bullet~~$] $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$\hyperlink{Index}{*} \end{itemize} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60\,\% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7\,\% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3\,\% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée. \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilité} \item Déterminer $a_1$ et $b_1$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.\index{suite} \item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$. \item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$. \item Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: \[X_{n+1} = DX_n + B.\] \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = X_n - 10B$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_{n+1} = DY_n$. \item On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$. \item Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane septembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie 17 novembre 2016 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{17 novembre 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\17 novembre 2016}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x} - 0,1.\] \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1]. \end{enumerate} \medskip On admet l'existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$. \smallskip On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses. \smallskip \textbf{L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.} \smallskip Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes. \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.3,-0.35)(4,0.4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=10](0,-0.35)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.3)(4,0.4) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(4,0.4) \uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,0.38){$y$} \uput[u](1.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.75,-0.2){\red $\mathcal{C}'$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub neg} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ par \[F(x) = -(x + 1)\text{e}^{- x} - 0,1x\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$.\index{primitive} \item Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et $\beta \approx 3,577$.\index{aire et intégrale} \item Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La société \og Bonne Mamie \fg{} utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes. Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre $P(X \leqslant 125 - t)$ et $P(X \geqslant 125 + t)$. \item On sait que 2,3\,\% des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer $P(121 \leqslant X \leqslant 129)$. \end{enumerate} \item Déterminer une valeur arrondie à l'unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$. \end{enumerate} \textbf{Dans la suite de l'exercice, on suppose que \boldmath$\sigma = 2$\unboldmath.} \begin{enumerate}[resume] \item On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près. \item On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$~grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme ? On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \item On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un pot de confiture soit conforme est $0,988$. On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont conformes. Au seuil de 95\,\% peut-on rejeter l'hypothèse suivante : \og La machine est bien réglée \fg{} ?\hyperlink{Index}{*}\index{intervalle de confiance} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv. Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par : \[f(z) = z + \dfrac{1}{z}.\] On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$. \medskip \begin{enumerate} \item On appelle A le point d'affixe $a = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $a$.\index{complexes} \item Déterminer la forme algébrique de $f(a)$. \end{enumerate} \item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 1$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1. \begin{enumerate} \item Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel. \item Montrer que $f(z)$ est un nombre réel. \end{enumerate} \item Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous. On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,7.5) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF].\index{section plane} \item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF). \item Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à \np{10000} le nombre de ses abeilles. Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre exprimé en dizaines de milliers. On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude. Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a \[u_0 = 1\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\]\index{suite} \textbf{Partie A} \medskip On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.\index{récurrence} \item Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse. Interpréter ces deux résultats. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}. On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$. \item Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} \textbf{Candidats avant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour. Au début de l'étude la colonie compte \np{5000} fourmis et au bout d'un jour elle compte \np{5100} fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$. On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10\:\% chaque jour. En d'autres termes. pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$. \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$. On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$. \item On pose $P = \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible. À l'aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$. En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = PD^nP^{-1}$. Pour tout entier naturel $n$, on admet que \[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times 0,9^{n+1} + 10& 10 \times 0,9^{n+1} - 9\\ - 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times 0,9^n - 9\end{pmatrix}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 6 - 0,9^n$. \end{enumerate} \item Calculer la taille de la colonie au bout du 10\up{e} jour. On arrondira le résultat à une fourmi près. \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \bigskip \textbf{ANNEXE de l'exercice 4} \bigskip \textbf{Exercice 4, question 1} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,8.25) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,3.7){K} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,3.7) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Exercice 4, question 2} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-0.5)(8,9.25) \psframe(0.5,0.5)(5,5) \psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5) \psline(5,5)(7,7.2)\psline(7,-0.5)(7,9.25) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7) \psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2) \uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} \uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} \uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,8.4){L} \psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,8.4) \uput[r](5,3.875){J} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 17 novembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud 22 novembre 2016 \hypertarget{AmeriSud}{} \label{AmeriSud} \lfoot{\small{Amérique du Sud }} \rfoot{\small{22 novembre 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère orthonormé \Oij, de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0~;~+ \infty[$. On considère les points A(0,5~;~1) et B$(0~;~-1)$ dans le repère \Oij. On sait que O appartient à $\mathcal{C}_f$ et que la droite (OA) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point O. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que la fonction $f$ s'écrit sous la forme $f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x^2}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Déterminer les valeurs exactes des réels $a$ et $b$, en détaillant la démarche.\index{fonction exponentielle} \end{enumerate} \textbf{Désormais, on considère que \boldmath$f(x) = 2x\text{e}^{- x^2}$ pour tout $x$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$\unboldmath} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item On admettra que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x}\times \dfrac{x^2}{\text{e}^{x^2}}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item La fonction $g$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ passe par le point B$(0~;~-1)$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.\index{primitive} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $g(x)$. \item Soit $m$ un réel strictement positif. Calculer $I_m = \displaystyle\int_0^{m} f(t)\:\text{d}t$ en fonction de $m$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} I_m$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est une fonction densité de probabilité sur $[0~;~+ \infty[$.\index{fonction densité} \item Soit $X$ une variable aléatoire continue qui admet la fonction $f$ comme densité de probabilité. Justifier que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\: $P(X \leqslant x) = g(x) + 1$. \item En déduire la valeur exacte du réel $\alpha$ tel que $P(X \leqslant \alpha) = 0,5$. \item Sans utiliser une valeur approchée de $\alpha$, construire dans le repère de l'annexe 1 le point de coordonnées $(\alpha~;~0)$ en laissant apparents les traits de construction. Hachurer ensuite la région du plan correspondant à $P(X \leqslant \alpha)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\index{Vrai--Faux} Il est attribué \textbf{un point par réponse exacte correctement justifiée}. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. \smallskip On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. \medskip \textbf{Proposition 1} \smallskip L'ensemble des points du plan d'affixe $z$ tels que $|z - 4| = |z + 2\text{i}|$ est une droite qui passe par le point A d'affixe 3i.\index{complexes} \medskip \textbf{Proposition 2} \smallskip Soit $(E)$ l'équation $(z -1)\left(z^2 - 8z + 25\right) = 0$ où $z$ appartient à l'ensemble $\C$ des nombres complexes. Les points du plan dont les affixes sont les solutions dans $\C$ de l'équation $(E)$ sont les sommets d'un triangle rectangle. \medskip \textbf{Proposition 3} \smallskip $\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $\left(- \sqrt{3} + \text{i}\right)^8$. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La suite $\left(u_n\right)$ est définie par :\index{suite} \[u_0 = 0 \quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \:u_{n+1} = \dfrac{1}{2 - u_n}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du calcul des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, conjecturer la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$. Démontrer cette conjecture. \item En déduire la valeur de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Compléter, dans l'annexe 2, l'algorithme permettant de déterminer la valeur du plus petit entier $n$ tel que $\left|u_{n+1} - u_n\right| \leqslant 10^{-3}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : un calcul de volume sans repère} \medskip \parbox{0.48\linewidth}{On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24~cm. On note O le centre du carré ABCD.\index{géométrie dans l'espace} On admettra que OS = OA.}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,6) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline[linestyle=dashed](4,1.2)(4,5)(4.5,1.9)%OSD \psline[linestyle=dashed](3.5,0.5)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%BDS \pspolygon[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \uput[l](0.5,1.2){A}\uput[d](3.5,0.5){B}\uput[dr](7.5,1.2){C} \uput[dr](4,1.2){O}\uput[ur](4.5,1.9){D}\uput[u](4,5){S} \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC). \item En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : dans un repère} On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, ~\vect{\text{OS}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS]. \begin{enumerate} \item Justifier que $\vect{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC). \item En déduire une équation cartésienne du plan (PQC). \end{enumerate} \item Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC). \begin{enumerate} \item Donner une représentation paramétrique de la droite (SH). \item Calculer les coordonnées du point H. \item Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$. \end{enumerate} \item On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : partage équitable} \medskip \parbox{0.56\linewidth}{Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24~cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : \og Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé \fg.} \hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8,6) %\psgrid \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,3.2)(4,5)(7.5,1.2)(4.5,1.9) \pspolygon(0.5,1.2)(3.5,0.5)(7.5,1.2)(4,5)%ABCSA \psline(3.5,0.5)(4,5)%BS \psline(2.4,3.2)(3.8,3)(7.5,1.2) \psline[linestyle=dashed](0.5,1.2)(4.5,1.9)(7.5,1.2)%ADC \psline[linestyle=dashed](2.4,3.2)(4.5,1.9) \end{pspicture}} \medskip Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à } \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath \medskip On étudie un modèle de climatiseur d'automobile composé d'un module mécanique et d'un module électronique. Si un module subit une panne, il est changé. \medskip \textbf{Partie A : Étude des pannes du module mécanique} \medskip Une enseigne d'entretien automobile a constaté, au moyen d'une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma$ :\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'arrondi à $10^{-4}$ de $\sigma$ sachant que le service statistique indique que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra }\boldmath$\sigma = 2,4$ \unboldmath. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre $45$ et $52$ mois. \item Déterminer la probabilité que le module mécanique d'un climatiseur ayant fonctionné depuis $48$ mois fonctionne encore au moins $6$ mois. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude des pannes d'origine électronique} \medskip Sur le même modèle de climatiseur, l'enseigne d'entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\index{loi exponentielle} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$, sachant que le service statistique indique que $P(0 \leqslant T \leqslant 24) = 0,03$. \end{enumerate} \textbf{Pour la suite de cet exercice, on prendra } \boldmath $\lambda = \np{0,00127}$\unboldmath. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre $24$ et $48$ mois. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous réels $t$ et $h$ positifs, on a : $P_{T \geqslant t}(T \geqslant t + h) = P(T \geqslant h)$, c'est-à-dire que la variable aléatoire $T$ est sans vieillissement.\index{loi sans vieillissement} \item Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis $36$ mois. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne encore les $12$ mois suivants. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Pannes d'origine mécanique et électronique} \medskip On admet que les évènements $(D \geqslant 48)$ et $(T \geqslant 48)$ sont indépendants. Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant $48$ mois. \bigskip \textbf{Partie D : Cas particulier d'un garage de l'enseigne} \medskip Un garage de l'enseigne a étudié les fiches d'entretien de $300$ climatiseurs de plus de $4$~ans. Il constate que $246$ d'entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis $4$ ans. Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l'enseigne, à savoir que $P(D \geqslant 48) = \np{0,7977}$ ? Justifier la réponse.\index{intervalle de confiance} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.\index{arithmétique} Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~: \renewcommand\arraystretch{0.7} \[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1 \end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\] \renewcommand\arraystretch{1} \vspace{-0.3cm} Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units. \bigskip \textbf{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5. \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3. \begin{enumerate} \item Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv 1 \:\:\text{mod } 3$. \item En déduire que $N_p \equiv p \:\:\text{mod } 3$. \item Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par 3. \end{enumerate} \item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$. \emph{On ne demande pas de justification.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $m$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $a$ & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$. \emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.} \item Justifier que, pour tout entier nature $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$. \item Démontrer que \og 7 divise $N_p$ \fg{} est équivalent à \og 7 divise $9N_p$ \fg. \item En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 10$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n \equiv \ldots \ \ [10]$& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$&&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou $n = 10m - 1$. \item Conclure que $n^2 \equiv 1 \:\: \text{mod}\: 20$. \end{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ? \item En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXES (à compléter et à remettre avec la copie)} \end{center} \bigskip \textbf{Annexe 1 (Exercice 1) :} \medskip \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(2.6,1.2) \multido{\nb=-1.0+0.5}{5}{ \multido{\n=-0.50+0.04,\na=-0.48+0.04}{80}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,\nb)(\na,\nb)}} \multido{\nb=-0.5+0.5}{7}{ \multido{\n=-1.00+0.04,\na=-0.98+0.04}{55}{\psline[linewidth=0.25pt](\nb,\n)(\nb,\na)}} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-1)(2.6,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[ul](0,0){O}\uput[d](0.55,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.55){$\vect{\jmath}$} \uput[ul](0.5,1){A}\uput[ul](0,-1){B}\uput[u](2.2,0.05){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[d](2.2,-0.03){\red $\mathcal{C}_g$} \psplot{-0.6}{0.6}{x 2 mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2.6}{2 x mul 2.71828 x dup mul exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.6}{1 2.71828 x dup mul exp div neg} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Annexe 2 (Exercice 3) :} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :} &$n, a$ et $b$ sont des nombres.\\ \textbf{Initialisation :} & $n$ prend la valeur $0$\\ &$a$ prend la valeur $0$\\ &$b$ prend la valeur $0,5$.\\ \textbf{Traitement :} & Tant que $|b - a|$\:\:\ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$n$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$a$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &\hspace{0.8cm}$b$ prend la valeur\:\: \ldots \ldots.\\ &Fin Tant que.\\ \textbf{Sortie :} &Afficher\:\: \ldots \ldots.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud novembre 2016 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{mars 2017}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \index{fonction exponentielle} \[f(x) = x\text{e}^{- x}\] et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(7,2.5) %\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5) %\psline(2,0)(2,2.5) %\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.1,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$1$} \uput[u](6.65,1.9){$+ \infty$} %\rput(1,1){$f(x)$} %\uput[u](2.1,0){$0$}\uput[d](4.5,1.9){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[u](6.85,0){$0$} %\psline{->}(2.4,0.4)(4.1,1.5) \psline{->}(4.9,1.5)(6.6,0.4) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ %\hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{\dfrac{1}{\text{e}}} \rule{0pt}{20pt} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par \[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\index{primitive} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$. On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme.\index{algorithme} \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=10cm} \begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(5,0.5) \psset{yMaxValue=0.5} %\psgrid \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,0.5) \uput[l](0,0.1){0,1} \uput[d](1,0){1} \uput[dr](2,0.4){$D_a$} \uput[u](4.8,0.02){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[u](1.61,0.33){$M$} \uput[l](0,0.368){$\frac{1}{\text{e}}$} \psline[linestyle=dashed](0,0.368)(1,0.368)(1,0) \def\f{x 2.71828 x exp div} \def\g{0.2 x mul} \pscustom[fillstyle=vlines] { \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.61}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.61}{0}{\g} \closepath } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{\f} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g} \psline(0,0.1)(0.05,0.1) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. \end{enumerate} On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse $x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. \item Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur ]0~;~1] par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur ]0~;~1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous. %\begin{center} %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(6,2.5) %\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2) %\psline(2,0)(2,2.5) %\psline(2.15,0)(2.15,2.5)\psline(2.1,0)(2.1,2.5) %\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.3,1.9){$0$} \uput[u](5.85,1.9){$1$} %\rput(1,1){$\mathcal{H}(x)$} %\uput[d](2.3,2){$1$}\uput[u](5.85,0){$0$} %\psline{->}(2.5,1.6)(5.5,0.4) %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| l *2{c}|} \hline x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 \\ % \hline %f'(x) & & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\:\vline \quad \Rnode{max}{1} & & \\ \mathcal{H}(x) &\vline\:\vline & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\:\vline & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max}{min} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. \item On considère l'algorithme présenté ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline VARIABLES : &$A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;\\ & $p$ est un entier naturel.\\ INITIALISATION : & Demander la valeur de $p$\\ & $A$ prend la valeur $0$\\ &$B$ prend la valeur 1\\ TRAITEMENT : & Tant que $B - A > 10^{-p}$\\ &\hspace{0.25cm} \begin{tabular}{|l} $C$ prend la valeur $(A + B)/2$\\ Si $\mathcal{H}(C) > 0,5$\\ \hspace{0.5cm} \begin{tabular}{|l} Alors $A$ prend la valeur de $C$\\ Sinon $B$ prend la valeur de $C$\\ \end{tabular}\\ Fin de la boucle Si \\ \end{tabular}\\ &Fin de la boucle Tant que\\ SORTIE : &Afficher $A$ et $B$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? \item Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\index{Vrai--Faux} \\ Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.} \medskip \begin{enumerate} \item La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. \item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : \og il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$30\,\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice ; \item[$\bullet~~$]$\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. \smallskip Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : \og Je n'ai pas du tout traité le thème A \fg. Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type $\sigma$ où $\sigma > 0$. La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. $\left(\text{On pourra, par exemple, intro\-duire la variable aléatoire }\: Z = \frac{T - 225}{\sigma}\right)$. \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par\index{suite} \[\left\{\begin{array}{r !{=} l} u_0&0\\ u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0. \end{array}\right.\] On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & &$u_n$ &$u_n$ \\ \hline 2 &$n$&(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline 3 &0 &0 &0\\ \hline 4 &1 &1/2 &0,5 \\ \hline 5 &2 &2/3 &\np{0,666666667}\\ \hline 6 &3 &3/4 &0,75 \\ \hline 7 &4 &4/5 &0,8 \\ \hline 8 &5 &5/6 &\np{0,833333333}\\ \hline 9 &6 &6/7 &\np{0,857142857} \\ \hline 10 &7 &7/8 &0,875 \\ \hline 11 &8 &8/9 &\np{0,888888889}\\ \hline 12 &9 &9/10 &0,9\\ \hline 13 &10 &10/11 &\np{0,909090909}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,~J,~K). \index{géométrie dans l'espace} On considère les points \[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan. \item Prouver que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).\index{vecteur normal} \item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). \index{équation de plan} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature du triangle ABC. \item Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. \item La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. Déterminer les coordonnées du point H. \end{enumerate} \item Déterminer le volume du tétraèdre SABC. \emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :} \[\dfrac{\text{\emph{Aire\: de\: la\: base}} \times \text{\emph{hauteur}} }{3}.\] \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie mars 2017 \hypertarget{Index}{} \printindex \end{document}