\documentclass[a4paper,11pt]{article} % papier A4 \usepackage[utf8]{inputenc} % accents dans le source \usepackage[francais]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage{eurosym} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{amsfonts,amssymb,amsmath} \usepackage{mathrsfs} \DeclareSymbolFont{calletters}{OMS}{cmsy}{m}{n} \DeclareSymbolFontAlphabet{\mathcall}{calletters} \usepackage[x11names]{pstricks} \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl} \usepackage{pst-func,pst-grad} \usepackage{color} \usepackage{fancybox,fancyvrb} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{tabularx} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{geometry} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage{titlesec} % \usepackage{longtable} \titlelabel{\thetitle.\quad} % ajout d'un point après les n\degres des titres \geometry{a4paper,body={180mm,240mm},left=10mm,top=23mm,headheight=10mm,headsep=5mm,footskip=8mm} \newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{i},\vec{j}\right)}} \newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{i}, \vec{j},\vec{k}\right)}} \newcommand{\Ouv}{\ensuremath{\left(O~;~\vec{u},\vec{v}\right)}} \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} % Réels \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} % Naturels \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}} % {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}} % {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\x}{\ensuremath{\times}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small{Baccalauréat ES obligatoire}} \rhead{\small{Fonctions}} \lfoot{\small \jobname} \rfoot{\small{Guillaume Seguin}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt}% \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \textbf{\huge \gray \decofourleft~Baccalauréat ES \decofourright \\ \vspace*{10mm} Index des exercices avec des fonctions de 2013 à 2016} Tapuscrit : \textsc{Guillaume Seguin} \end{center} % \hyperlink{toto}{affichage} % \hypertarget{toto}{affichage} \newcounter{Gui}[Gui] \setcounter{Gui}{0} % \newpage \hypertarget{top}{} % \hspace*{-1cm} {\footnotesize \begin{tabular}{|c||l|*{9}{c|}} \hline N\textsuperscript{o} & Lieu et date&\og Xcas \fg &lect graph.&exp &ln &TVI &convexe &integrale &val moy &divers \\ \hline\hline % Contenu du tableau % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & &&&\\ \hline % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant16}{Antilles juin 2016} & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie16}{Asie 2016} & &$\x$ &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&&qcm\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi16}{Pondichery avril 2016} & & &$\x$ & &$\x$ & &&&fct annexe\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{lib16}{Liban 2016} & & &$\x$ & & & &$\x$&$\x$&applic eco\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polyjuin16}{Polynésie juin 2016} & & &$\x$ & & & &&&pb ouvert\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin16}{Métropole juin 2016} & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etr16}{Centres etrangers 2016} &$\x$ & &$\x$ & & &$\x$ &&&apllicat\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord16}{Amerique du nord 2016} & & & &$\x$ & &$\x$ &$\x$&&applic éco\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov15}{Amérique du sud nov 2015} & & & &$\x$ & &$\x$ &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov15}{Nouvelle Calédonie nov 2015} & & &$\x$ & &$\x$ & &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept15}{Antilles sept 2015} & &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&aires\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept15ex4}{Métropole sept 2015 ex4} & & & &$\x$ & & &&&tangente\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept15}{Métropole sept 2015} & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept15ex4}{Polynésie sept 2015 ex4} &$\x$ &$\x$ &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept15}{Polynésie sept 2015} & &$\x$ & & & & &$\x$&&Gini + \%\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie15-4}{Asie 2015 ex4} & &$\x$ & & & & &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie15}{Asie 2015} &$\x$ & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{fr15-4}{Métropole 2015 ex4} & & & &$\x$ & & &&&position tgte\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{fr15}{Métropole 2015} &$\x$ &$\x$ &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&&système\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal15-3}{Nouvelle Calédonie mars 2015} & &$\x$ & &$\x$ & & &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal15}{Nouvelle Calédonie mars 2015} & & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &&&algo\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal14-4}{Nouvelle Calédonie nov 2014 ex4} &$\x$ & & &$\x$ & &$\x$ &&&algo\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal14}{Nouvelle Calédonie nov 2014} & &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsud14}{Amérique du sud nov 2014} & & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept14ex4}{Métropole sept 2014 ex4} & & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frsept14}{Métropole sept 2014} & &$\x$ & & & &$\x$ &&&graphe de $f''$\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept14}{Antilles sept 2014} & &$\x$ & & & &$\x$ &&&confiance, deg4\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi14}{Pondichery 2014} & & & &$\x$ &$\x$ & &$\x$&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly14}{Polynésie juin 2014} & &$\x$ & &$\x$ & & &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly14}{Polynésie juin 2014} & &$\x$ & & & & &&&coût marg\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin14}{Métropole juin 2014} &$\x$ &$\x$ &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban14}{Liban 2014} & &$\x$ &$\x$ & &$\x$ & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger14}{Centres Etrangers 2014} & & &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&&Gini\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie14}{Asie 2014} & & & &$\x$ &$\x$ & &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant14}{Antilles juin 2014} & &$\x$ &$\x$ & & & &&$\x$&inéq 2nd deg\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord14}{Amérique du Nord 2014} & &$\x$ & &$\x$ & & &&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calmars14}{Nouvelle Calédonie mars 2014} & & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &&&algo\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov13}{Amérique du sud nov 2013} &$\x$ & &$\x$ & &$\x$ &$\x$ &$\x$&&aire 2 courbes\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antillessept13}{Antilles sept 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov13}{Calédonie nov 2013} & & & &$\x$ &$\x$ & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francesept13}{Métropole sept 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept13}{Polynésie sept 2013} & & & &$\x$ & & &&&\% + loi normale\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord13}{Amerique du Nord mai 2013} & &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&&système\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asiejuin13}{Asie juin 2013} & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban13}{Liban mai 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &&&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frdev13}{Métropole dévoilé juin 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&$\x$&\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin13}{Métropole juin 2013} & & & & & & &&$\x$&fonct poly\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francejuin13}{Métropole juin 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &&&\\ \hline % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francejuin13}{Métropole juin 2013} & & & &$\x$ & & &&&V/F + formel\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly13}{Pondichery avril 2013} & & &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&&loi normale\\ \hline \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger13}{Centres Etrangers juin 2013} & & & &$\x$ & &$\x$ &$\x$&&\\ \hline \end{tabular} } \newpage % \hypertarget{}{} % \section{ \hrulefill} % \hyperlink{top}{retour au tableau} % \newpage \hypertarget{ant16}{} \section{Antilles juin 2016 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6]. ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2~;~0) et le point C a pour coordonnées (4~;~0). \begin{center} \psset{unit=1.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1,-1.2)(6.2,3.1) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{10 x mul 5 sub 2.71828 x exp div} \psline(4,0)(2,0)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.3pt](0,-2)(7,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-1.2)(6.2,3.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0.,0)(6.2,3.1) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{10 x mul 5 sub 2.71828 x exp div} \psdots(2,0)(4,0)(2,1.15)(4,1.15) \pspolygon(2,0)(4,0)(4,1.15)(2,1.15)%DCBA \uput[ur](4,0){C} \uput[ur](4,1.15){B} \uput[ul](2,1.15){A} \uput[ul](2,0){D} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A} Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d'une lecture graphique. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$. \item Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item Quel semble être le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle [2~;~ 6] ? Justifier. \item Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d'inflexion ? \item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = (10 x - 5)\text{e}^{- x}.\] Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier) : \[f'(x) = (- 10x + 15)\e^{-x} \quad \text{et} \quad f''(x) = (10x - 25)\e^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de $f$ en précisant la valeur de l'extremum et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition. \item Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par $F(x) = (- 10 x - 5)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. \item En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x$. \item On souhaiterait que l'aire du rectangle ABCD soit égale à l'aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer, à $0,01$ près, la hauteur AD de ce rectangle. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{asie16}{Asie 2016} \section{Asie 2016 \hrulefill} Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-1~;~5\right]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. La courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\,(0\,;\,1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1. La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C\,(2\,;\,3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{unit=1.8cm,comma=true} \def\xmin {-1.2} \def\xmax {5.2} \def\ymin {-0.3} \def\ymax {3.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}(-2,-1)(6,4) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=20, gridcolor=gray,] \psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){$O$} % \psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180] \def\f{x x 2 add mul 1 add 2.7183 -1 x mul exp mul}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000]{-1}{5}{\f}% f \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}% Tangente en A \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{1.47}% Tangente en B \psdot(0,1) \uput[dr](0,1){$A$} \psdot(1,1.47) \uput[ur](1,1.47){$B$} \psdot(2,3) \uput[ul](2,3){$C$} \uput[dr](1.5,2.5){$T_0$} \uput[u](4.5,1.5){$T_1$} \uput[ur](4.5,0.336){$\mathcal C_f$} \end{pspicture*} \end{center} \subsubsection*{\textsc{Partie A}} \emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.\\ Une bonne réponse rapporte $0,75$ point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.} \begin{enumerate} \item La valeur exacte de $f'(1)$ est: \begin{multicols}{4} \textbf{a.}~~0 \columnbreak \textbf{b.}~~1 \columnbreak \textbf{c.}~~1,6 \columnbreak \textbf{d.}~~autre réponse \end{multicols} \item La valeur exacte de $f'(0)$ est: \begin{multicols}{4} \textbf{a.}~~0 \columnbreak \textbf{b.}~~1 \columnbreak \textbf{c.}~~1,6 \columnbreak \textbf{d.}~~autre réponse \end{multicols} \item La valeur exacte de $f(1)$ est: \begin{multicols}{4} \textbf{a.}~~0 \columnbreak \textbf{b.}~~1 \columnbreak \textbf{c.}~~1,6 \columnbreak \textbf{d.}~~autre réponse \end{multicols} \item Un encadrement de $\int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x$ par des entiers naturels successifs est: \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.}~~$3 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 4$ & \textbf{b.}~~$2 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 3$\\[8pt] \textbf{c.}~~$1 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 2$ & \textbf{d.}~~autre réponse \end{tabularx} \end{enumerate} \subsubsection*{\textsc{Partie B}} \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $F$ définie sur $\left[-1~;~5\right]$ par $F(x)=-(x^2+4x+5)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item En déduire l'expression de $f(x)$ sur $\left[-1~;~5\right]$. \item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$. \end{enumerate} \item Montrer que sur l'intervalle $\left[-1~;~5\right]$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{pondi16}{} \section{Pondichery 2016 \hrulefill} \textbf{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.} \medskip L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités. L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour. \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par : \[C(x) = 0,3x^2 - x + \text{e}^{- x + 5}\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros. \item[$\bullet~~$]Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de $300$~euros. La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par: \[R(x) = 3x\] où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros. \item[$\bullet~~$]On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{center} \textbf{Partie A : Étude graphique} \end{center} Sur le graphique situé en annexe (page \pageref{Pondi_fig_2}), on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O. \textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus. \item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \end{center} On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par : \[g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}\] On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $g'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15]. \item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~15]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~15], en précisant les valeurs $g(1)$ et $g(15)$ arrondies à l'unité. \item Le tableau de variation permet d'affirmer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~15]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,1$ près. \item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle [1~;~15]. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C : Application économique}\end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a : \[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}\] \item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $D'$ sa fonction dérivée. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B. \item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle [1~;~15]. \item \begin{enumerate} \item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près. \item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près. \end{enumerate} \end{enumerate} % \newpage \begin{center}\textbf{\large ANNEXE}\label{Pondi_fig_2} \bigskip \textbf{\large N'est pas à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(15,54) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,54)} \multido{\n=0+2}{28}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15,54) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(15,54) \psline(15,45)\uput[dr](14,42){$\Delta$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.0}{15}{x dup mul 0.3 mul x sub 2.71828 5 x sub exp add} \uput[r](1.1,46){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{lib16}{} \section{Liban mai 2016 \hrulefill} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~13] par : \[ f(x) = - 2x + 20 - \text{e}^{-2x + 10}.\] \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~13], a pour expression : \[f'(x) = 2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right).\] \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'intervalle [3~;~13] l'inéquation: $f'(x) \geqslant 0$. \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [3~;~13] et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à $10^{-3}$. \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Application} \medskip Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3~;~13] par la fonction $f$. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro. \item Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et \np{1300} toboggans. Arrondir le résultat à l'euro. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Rentabilité} \medskip Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse. \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{polyjuin16}{} \section{Polynésie juin 2016 \hrulefill} Un publicitaire envisage la pose d'un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : \[f(x) = 4\text{e}^{-0,4x}.\] Cette courbe $\mathcal{C}_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère d'origine O : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.75,-1.)(10.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10.5,5.5) \psline(-1.5,4)(0,4) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{4 2.71828 0.4 x mul exp div} \uput[r](0,5.4){$y$ (en mètres)} \uput[u](9.5,0.1){$x$ (en mètres)} \uput[u](6,0.4){$\mathcal{C}_{f}$} \psframe[fillstyle=hlines](1.25,2.426) \uput[ul](0,0){A}\uput[ur](0,2.426){D}\uput[ur](1.25,2.426){C}\uput[ur](1.25,0){B} \end{pspicture} \end{center} Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l'origine du repère, le point B est sur l'axe des abscisses, le point D est sur l'axe des ordonnées et le point C est sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse $x = 2$. Montrer qu'une valeur approchée de l'aire du panneau publicitaire est $3,6$~m$^2$. \item Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l'énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l'aire est la plus grande possible ? On donnera les dimensions d'un tel panneau au centimètre près. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frjuin16}{} \section{Métropole juin 2016 \hrulefill} La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0,5~;~6]$. Les points A\,(1~;~3) et B d'abscisse $1,5$ sont sur la courbe (C). Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{center} \psset{xunit=1cm, yunit=1cm} \def\xmin {-0.5} \def\xmax {6.2} \def\ymin {-2.2} \def\ymax {5.2} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin} \psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(-0.1,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) % \uput[dl](0,0){$O$} % \psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180] \def\f{3 x ln mul 2 x mul sub 5 add}% définition de la fonction \psplot[plotpoints=2000]{0.5}{6}{\f}% f \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0}{3}{x 2 add}% Tangente en A \psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{0.2}{2.8}{3.2164}% Tangente en B \psdot(1,3) \uput[dr](1,3){A} \psdot(1.5,3.2164) \uput[ur](1.5,3.2164){B} \uput[dl](5.5,-1){(C)} \end{pspicture*} \end{center} \emph{Les parties A et B sont indépendantes.} \textsc{\textbf{Partie A} : \'Etude graphique} \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(1,5)$. \item La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0\,;\,2). Déterminer une équation de cette tangente. \item Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. \item Déterminer la convexité de la fonction $f$ sur [0,5\,;\,6]. Argumenter la réponse. \end{enumerate} \textsc{\textbf{Partie B} : \'Etude analytique} On admet que la fonction $f$ est définie sur [0,5~;~6] par \[f(x) = - 2x + 5 + 3\ln (x). \] \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de [0,5~;~6], calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{-2x+3}{x}$. \item Étudier le signe de $f'$ sur [0,5~;~6] puis dresser le tableau de variation de $f$ sur [0,5~;~6]. \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur [0,5\,;\,6]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \item En déduire le tableau de signe de $f$ sur [0,5~;~6]. \item On considère la fonction $F$ définie sur [0,5~;~6] par $F(x)= -x^2 +2x +3x \ln(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~6]. \item En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{etr16}{} \section{Centres etrangers 2016 \hrulefill} \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~8] par \[f(x) = \dfrac{0,4}{20\text{e}^{- x} + 1} + 0,4.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{8\text{e}^{- x}}{\left(20\text{e}^{- x} + 1 \right)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \item Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|X|}\hline 1 & $f'(x) : = 8* \text{e }\hat{\:} (- x) / (20*\text{e }\hat{\:} (- x)+1)^2$ \\ % 1 & $f'(x) : 8*\text{e}\verb?^? (- x)/(20*\text{e}\verb?^? (- x)+1)^2$\\ &$\to f'(x) :\dfrac{8 \cdot \text{e}^{- x}}{400\left(\text{e}^{- x}\right)^2 + 40\text{e}^{- x} + 1}$ \\ \hline 2 & $g(x) : =$ Dérivée $[f'(x)]$\\ & $\to g(x) : = \dfrac{160\left(\text{e}^{- x}\right)^2 -8\text{e}^{- x} }{8000 \left(\text{e}^{- x}\right)^3+1200\left(\text{e}^{- x}\right)^2+60\text{e}^{- x}+1}$ \\ \hline 3 & Factoriser $[g(x)]$\\ & $\to 8\text{e}^{- x} \cdot \dfrac{20\text{e}^{- x} - 1}{\left(20\text{e}^{- x} + 1\right)^3}$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} En s'appuyant sur ces résultats, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction $f$, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable $x$ représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et $f(x)$ représente l'altitude associée, en kilomètres. \smallskip La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.2,1.05) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add} \psline(8,0)(0,0)} \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1)} \multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(8,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(8.2,1.05) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{8}{0.4 20 2.71828 x exp div 1 add div 0.4 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.419)(8,0.797) \uput[ur](0,0.419){A}\uput[ur](8,0.797){B}\uput[u](5.5,0.78){$\mathcal{C}_f$} \uput[u](8.1,0){$x$}\uput[l](0,1.02){$f(x)$} \end{pspicture} \end{center} Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en un point $M$ est appelé \og pente en M \fg. On précise aussi qu'une pente en $M$ de 5\,\% correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ en $M$ égal à $0,05$. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu'en aucun point de $\mathcal{C}_f$ la pente ne dépasse 12\,\%. \medskip \emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.} \medskip \textbf{Proposition 1} L'altitude du village B est 0,6~km. \textbf{Proposition 2} L 'écart d'altitude entre les villages A et B est $378$ mètres, valeur arrondie au mètre. \textbf{Proposition 3} La pente en A vaut environ 1,8\,\%. \textbf{Proposition 4} Le projet de route ne sera pas accepté. \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amnord16}{} \section{Amerique du Nord 2016 \hrulefill} \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par \[f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10.\] La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous: \begin{center} \psset{xunit=5cm,yunit=0.2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.15,-3)(1.8,25) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1.8,25) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.5}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 9 mul 10 add} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. \item Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. \end{enumerate} \item On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5]. Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $\text{e}^{ -1}$. \item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par \[F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur ]0~;~1,5]. \item Calculer $\displaystyle\int_1^{1,5} f(x)\:\text{d}x$. On donnera le résultat arrondi au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Application économique} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Une société est cotée en bourse depuis un an et demi. Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$ représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de l'action, exprimé en euros. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. \smallskip \textbf{Proposition 1 :} \og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg \smallskip \textbf{Proposition 2 :} \og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17~\euro. \fg \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amsudnov15}{} \section{Amérique du sud nov 2015 \hrulefill} \emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A} La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle [1~;~7] par : \[f(x) = 1,5 x^3 - 9 x^2 + 24 x + 48.\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa dérivée seconde sur [1~;~7]. \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~7] : \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Calculer $f''(x)$. \end{enumerate} \item Déterminer sur quel intervalle la fonction $f$ est convexe. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre \np{1000} et \np{7000} articles par semaine. On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, par la fonction $f$ définie dans la partie A où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués. On note $c$ la fonction définie sur [1~;~7] représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout $x$ de [1~;~7] : \[c(x) = \dfrac{f(x)}{x} = 1,5 x^2 - 9 x + 24 + \dfrac{48}{x}.\] On admet que la fonction $c$ est dérivable sur [1~;~7]. On note $c'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~7], on a : \[c'(x) = \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}.\] \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $c$ sur l'intervalle [1~;~7]. \item Déterminer, en milliers, le nombre d'articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal. \end{enumerate} \item On considère la fonction $\Gamma$ définie sur l'intervalle [1~;~7] par : \[\Gamma(x) = 0,5 x^3 - 4,5 x^2 + 24 x + 1 + 48\ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur l'intervalle [1~;~7]. \item Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $c$ sur l'intervalle [1~;~7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{calnov15}{} \section{Nouvelle Calédonie nov 15 \hrulefill} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par \[ f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20.\] \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~10], $f'(x) = (- 2x + 7)\text{e}^{- x + 4}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation. \item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0~;~10] et déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. \item On admet que la fonction $F$ définie sur [0~;~10] par \[F(x) = (- 2x + 3)\text{e}^{- x + 4} + 20x\] est une primitive de $f$ sur [0~;~10]. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. Arrondir le résultat au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine. Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : \[ f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20.\] Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ? Quel est ce bénéfice maximal en euros ? \item À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ? \item Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{antsept15}{} \section{Antilles sept 2015 \hrulefill} L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{ Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet. On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55~litres d'eau par jour.}\hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-1)(75,11) \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,11)} \multido{\n=0+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(75,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-1)(75,11) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2](0,0)(75,11) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{70}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add} \uput[u](60,0){nombre de jours} \uput[r](0,10.5){milliers d’habitants} \end{pspicture} } \medskip \textbf{Partie A } \emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. \item La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? \end{enumerate} \item Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[f(x) = 2 + 0,2x\text{e}^{-0,025x+1}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $f’(x) = (0,2 - 0,005 x)\text{e}^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle [0~;~70]. \item En déduire la date de la consommation d'eau maximale. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[g(x) = 55 f(x) = 110 + 11x\text{e}^{-0,025x+1}.\] Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en m$^3$. Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~70] par \[G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\text{e}^{-0,025x+1}.\] On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en m$^3$. \medskip \begin{enumerate} \item En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l’\textbf{annexe} à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$.\index{aire et intégrale} \item En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{ANNEXE} \bigskip \textbf{Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie} \bigskip \psset{xunit=0.54cm,yunit=0.018cm} \begin{pspicture}(-1,-25)(24,550) \multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,550)} \multido{\n=0+50}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(-0.5,-12)(24,550) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(24,550) \uput[r](0,525){consommation $\left(\text{m}^3\right)$} \uput[u](21.5,0){nombre de jours} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add 55 mul} \uput[u](8,305){\blue $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frsept15ex4}{} \section{Métropole sept 2015 ex4 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie par \[f(x) = 2x^2\ln (x)\] sur [0,2~;~10] et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur [0,2~;~10] une seule tangente passant par l'origine du repère. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x \in [0,2~;~10],\: f'(x) = 2x(2\ln (x) + 1)$.\index{dérivée} \item Soit $a$ un réel de [0,2~;~10], montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2a(2\ln (a) + 1)x - 2a^2(\ln (a) + 1)$. \item Répondre alors au problème posé. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frsept15}{} \section{Métropole sept 2015 \hrulefill} On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5]. \bigskip \textbf{Partie A - À l'aide d'un graphique} \medskip On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f'}\right)$ de la fonction dérivée $f'$ ainsi que la courbe $\left(C_{f''}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f''$ sur l'intervalle [0~;~5]. Le point A de coordonnées (1~;~0) appartient à $\left(C_{f'}\right)$ et le point B de coordonnées (2~;~0) appartient à la courbe $\left(C_{f''}\right)$. \begin{center} \psset{xunit=2.3cm,yunit=1.15cm,comma=true} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \begin{pspicture*}(-0.2,-6)(5,6) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.15,-5.9)(5,6) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{5 5 x mul sub 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{0}{5}{5 x mul 10 sub 2.71828 x exp div} \uput[u](0.8,0.8){\blue $\left(C_{f'}\right)$} \uput[d](0.8,-3.9){\red $\left(C_{f''}\right)$} \psdots(1,0)(2,0) \uput[ur](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Justifier. \item Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction $f$ est convexe. Justifier.\index{fonction convexe} \item La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).\index{point d'inflexion} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude de la fonction} \medskip La fonction $f$ est définie sur [0~;~5] par \[f(x) = 5x\text{e}^{-x}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~5]. \item Montrer que la fonction $F$ définie sur [0~;~5] par $F(x) = (- 5x - 5)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~5]. \item Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.\index{aire et intégrale} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{polysept15ex4}{} \section{Polynésie sept 2015 ex4 \hrulefill} On considère une fonction $P$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~60]. On donne, ci-dessous, la courbe représentative $C$ de la fonction $P$. \begin{center} \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(62,18) \psgrid[gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,subgriddots=5,gridlabels=0](0,0)(62,18) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(62,18) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{2.71828 0.1 x mul 5 sub exp 60 x sub mul 6 add} \uput[u](28,9.5){$C$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item En argumentant la réponse, donner le signe de $P'(54)$, où $P'$ est la fonction dérivée de $P$. \item Donner un intervalle sur lequel la fonction $P$ est convexe. \item Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P(x) = 10$. \item On note $A$ le nombre $\displaystyle\int_0^{10} P(x)\:\text{d}x$ ; choisir l'encadrement qui convient pour $A$. \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} $0 < A < 60$& $60 < A < 70$& $6 < A < 7$& $10 < A < 11$ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $P$ est définie sur l'intervalle [0~;~60] par : \[P(x) = 6 + (60 - x )\text{e}^{0,1x-5}.\] À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth} {|*{2}{X|}}\hline \textbf{Actions}&\textbf{Résultats}\\ \hline\hline definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5)) & x $\mapsto$ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)\\ \hline deriver(P(x),x) &(-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)\\\hline deriver(deriver(P(x),x),x) &(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)\\\hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle [0~;~60] où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.\index{dérivée} \item En déduire les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle [0~;~60] et vérifier que la fonction $P$ admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16. \end{enumerate} \item Montrer que l'équation $P(x) = 10$ a une solution unique $x_0$ sur l'intervalle [0~;~40]. Donner une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près. \item En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction $P$.\index{fonction convexe} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{polysept15}{} \section{Polynésie sept 2015 \hrulefill} \textbf{Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises} \medskip Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant. \medskip \parbox{0.52\linewidth}{Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction $u$ pour la filiale A et par la fonction $v$ pour la filiale B. Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur l'intervalle [0~;~1] par : $u(x) = 0,6x^2 + 0, 4x$ et $v(x) = 0,7x^3 + 0,1x^2 + 0, 2x$. On a tracé ci-contre les courbes représentatives $C$ et $C'$ des fonctions $u$ et $v$.} \hfill \parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1) \def\pshlabel#1{\small #1} \def\psvlabel#1{\small #1} \psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.09,-0.09)(1.1,1.1) \psline(1,0)(1,1.1) \psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E} \uput[dr](0.72,0.5){$C$}\uput[ul](0.33,0.17){$C'$} \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1) \rput{45}(0.75,0.8){$D : y = x$} \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add} \psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{x 3 exp 0.7 mul x dup mul 0.1 mul add 0.2 x mul add} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la courbe représentative de la fonction $u$ en justifiant la réponse. \item Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $u(x)$ et $v(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives. Exemple : pour la courbe $C$, le point E(0,60~;~0,3072) signifie que 60\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72\,\% de la masse salariale. \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires. \item Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ? \item Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ? \end{enumerate} \item Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction $f$ modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :\index{coefficient de Gini} \[c_f = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que $c_u = 0,2$. \item En observant que $\dfrac{c_v}{2} = \displaystyle\int_0^1x\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1v(x)\:\text{d}x$, donner une interprétation graphique de $\dfrac{c_v}{2}$ en termes d' aires. \item En déduire que $c_v$ est compris entre 0 et 1. \item Justifier l'inégalité $c_u \leqslant c_v$. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{asie15-4}{} \section{Asie 2015 ex4 \hrulefill} Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par : \[f(x) = 2 - 2x.\] On a tracé ci-dessous la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé (O,~I,~J) du plan. Le point C a pour coordonnées (0~;~2). $\Delta$ est la partie du plan intérieure au triangle OIC. Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ; on note A le point de coordonnées $(a~;~0)$ et B le point de $D_f$ de coordonnées $(a~;~f(a))$. Le but de cet exercice est de trouver la valeur de $a$, telle que le segment [AB] partage $\Delta$ en deux parties de même aire. Déterminer la valeur exacte de $a$, puis une valeur approchée au centième. \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.25)(1.5,2.25) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{0.32}{2 2 x mul sub} \psline(0.32,0)(0,0)} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8,griddots=10] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(1.5,2.25) \psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.2}{2 2 x mul sub} \uput[ur](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}\uput[ul](0,0){O} \uput[d](0.32,0){$a$}\uput[ur](0.32,1.36){B}\uput[ur](0,2){C} \uput[ur](0.75,0.5){$D_f$} \end{pspicture*} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{asie15}{} \section{Asie 2015 \hrulefill} \textbf{Partie A} Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~10] par \[f(x) = x + \text{e}^{- x + 1}.\] Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|XX|}\hline 1 &$f(x) : = x + \text{exp}(- x + 1)$&\\ \hline &// Interprète $f$&\\ &// Succès lors de la compilation $f$&\\ \hline & &$x \longmapsto x +\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline 2 &derive $(f(x))$ &\\ \hline & &$- \text{exp}(-x + 1) + 1$\\ \hline\hline 3 &solve $(-\text{exp}(- x + 1) + 1 > 0)$&\\ \hline & &$[x > 1]$\\ \hline\hline 4 &derive $(- \text{exp} (-x + 1) + 1)$&\\ \hline & &$\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Étude des variations de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation. \item En déduire que la fonction $f$ admet un minimum dont on précisera la valeur. \end{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} \textbf{Partie B} Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction $f$ où $x$ est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f(x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ? \item Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12~\euro. On appelle marge brute pour $x$ centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient. \begin{enumerate} \item Justifier que le montant obtenu par la vente de $x$ centaines d'objets est $1,2x$ milliers d'euros. \item Montrer que la marge brute pour $x$ centaines d'objets, notée $g(x)$, en milliers d'euros, est donnée par : $g(x) = 0,2x - \text{e}^{- x + 1}$. \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~10]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$. \end{enumerate} \item En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{fr15-4}{} \section{Métropole 2015 ex4 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = 3x - 3x\ln (x).\] On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$. \smallskip Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ ? \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{fr15}{} \section{Métropole 2015 \hrulefill} La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-4~;~3]$. Les points A d'abscisse $- 3$ et B(0~;~2) sont sur la courbe $(\mathcal{C})$. Sont aussi représentées sur ce graphique les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. \begin{center} \psset{xunit=1.25cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture*}(-4.5,-6)(3.5,22) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-5.9)(3.5,21.9) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(3.5,21.9) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 4 add 2.71828 x exp div 2 sub} \psline{<->}(-4,18)(-2,18)\uput[u](-3,18){A} \uput[ur](0,2){B} \psline{<->}(-2,8)(2,-4) \uput[r](-4,2){$(\blue \mathcal{C})$} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \textbf{PARTIE A} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, déterminer : \begin{enumerate} \item $f'(-3)$ ; \item $f(0)$ et $f'(0)$. \end{enumerate} \item La fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par \[f(x) = a + (x + b)\text{e}^{- x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on va déterminer dans cette partie. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$. \item À l'aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} a + b&=&2\\ 1 - b &=& - 3 \end{array}\right.\] \item Déterminer alors les valeurs des nombres $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4~;~3]$ par \[f(x) = - 2 + (x + 4)\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $x$ de $[-4~;~3]$, $f'(x) = (- x - 3)\text{e}^{- x}$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur $[-4~;~3]$. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3~;~3]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par défaut. \item On souhaite calculer l'aire $S$, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$. \begin{enumerate} \item Exprimer, en justifiant, cette aire à l'aide d'une intégrale. \item Un logiciel de calcul formel dorme les résultats ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X r}\hline 1 & F(x) :$=-2x+(-x-5)*\text{exp}(-x)$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{} &//Interprète $F$&\\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} &// Succès lors de la compilation $F$&\\\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{} & &$x \mapsto - 2*x + (- x - 5)* \text{exp}(-x)$\\\hline 2 &derive $(F (x))$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{} & &$-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(-x - 5) - 2$\\\hline 3&\small simplifier$(-\text{exp}(-x)-\text{exp}(-x)*(- x-5) -2)$&\\\hline \multicolumn{1}{c|}{}&&$x*\text{exp}(-x) + 4 *\text{exp}(-x) - 2$\\\cline{2-3} \end{tabularx} \end{center} À l'aide de ces résultats, calculer la valeur exacte de l'aire $S$ puis sa valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{nvcal15-3}{} \section{Nouvelle Calédonie mars 2015 exo3 \hrulefill} On considère la fonction $g$, définie et dérivable sur l'intervalle [0,5~;~5], et telle que pour tout nombre réel $x$, on a : \[g(x)= \dfrac{2 \ln (x) + 1}{x}.\] On note $g'$ sa fonction dérivée et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous. Soit B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1 ; la droite (OB) est tangente en B à la courbe $\Gamma$. \begin{center} \psset{unit=1.75cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.001)(5.5,2.25) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt](-0.5,-1)(5.5,2.25) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.99)(5.5,2.25) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{5}{x ln 2 mul 1 add x div} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x ln 2 mul 1 add x div} \psline(3,0)(1,0)(1,1)} \rput(2,0.5){$\mathcal{D}$} \psdots(0.607,0)(1,1)\uput[ul](0.607,0){A}\uput[ul](1,1){B} \rput(3.5,1.2){$\Gamma$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe $\Gamma$ avec l'axe des abscisses. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~5], on a $g'(x) = \dfrac{1 -2\ln (x)}{x^2}$. \item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~5]. \item En déduire les variations de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5]. \end{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 1. \item \begin{enumerate} \item On note $\mathcal{D}$ le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire. \item On définit la fonction $G$ sur l'intervalle [0,5~;~5] par \[G(x) = \ln (x) [\ln (x) + 1].\] Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5]. \item Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{nvcal15}{} \section{Nouvelle Calédonie mars 2015 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,5~;~6] par: \[f(x) = (25x - 32)\text{e}^{- x}.\] On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle [1,5~;~6], sa fonction dérivée $f'$ et sa fonction dérivée seconde $f''$. On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l'exercice. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $f'(x) = (57 - 25x)\text{e}^{- x}$ \item[$\bullet~~$] $f''(x) = (25x - 82)\text{e}^{- x}$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1,5~;~6]. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1,5~;~6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième). \end{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle [1,5~;~6], la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. \item Dans cette question, on s'intéresse à l'équation $f(x) = 1$. \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [4~;~5]. \item On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle [4~;~5]. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Initialisation}\\ $a$ prend la valeur 4\\ $b$ prend la valeur 5\\ ~\\ \textbf{Traitement}\\ Tant que $b - a > 0,1$ faire\\ \hspace{1cm}$y$ prend la valeur $f\left(\frac{a + b}{2}\right)$\\ \hspace{1cm}Si $y > 1$ alors\\ \hspace{2cm}$a$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\ \hspace{1cm}Sinon $b$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\ Fin de Tant que\\ \textbf{Sortie}\\ Afficher $\frac{a + b}{2}$\\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe. \item Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\large Annexe (à rendre avec la copie)} \renewcommand\arraystretch{1.5} \definecolor{gristab}{gray}{0.80} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &$\dfrac{a + b}{2}$&\footnotesize $y$ à $10^{-3}$ près&$a$& $b$& $b-a$& Sortie\\ \hline Initialisation&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}& 4& 5& 1&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} \\ \hline 1\up{re} boucle \og Tant que \fg& 4,5& 0,894&4& 4,5& 0,5&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline 2\up{e} boucle \og Tant que \fg&&&&&& \\ \hline 3\up{e} boucle \og Tant que \fg&&&&&& \\ \hline 4\up{e} boucle \og Tant que \fg&&&&&& \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{nvcal14-4}{} \section{Nouvelle Calédonie nov2014 exo4 \hrulefill} On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c| X X|}\hline 1&dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x} \right)$&\\ &&$\frac{1 - \ln (x)}{x^2}$\\ \hline 2& dériver $\left(\frac{1}{x^2}\right)$&\\ && $- \frac{2}{x^3}$\\ \hline 3& dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x^2} \right)$&\\ &&$\frac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l'exercice.} On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~10] par \[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}\] et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. La fonction $f$ est deux fois dérivable sur [1~;~10], on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(x)$ sur [1~;~10]. \item Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~10]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $f''(x) = \dfrac{2\ln (x) - 3}{x^3}$ sur [1~;~10]. \item Étudier le signe de $f''$ sur [1~;~10]. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|l l|}\hline \textbf{INITIALISATION}&\\ &$X$ PREND LA VALEUR $2$\\ &$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2)}{2}$\\ &$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2,1)}{2,1}$\\ \textbf{TRAITEMENT}&\\ &TANT QUE $(Y < Z)$ FAIRE\\ &\hspace{0,5cm}$X$ PREND LA VALEUR $X+0,1$\\ &\hspace{0,5cm}$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X)}{X}$\\ &\hspace{0,5cm}$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X+0,1)}{X+0,1}$\\ &FIN TANT QUE \\ \textbf{SORTIE}&\\ &AFFICHER X \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline $X$ & $Y$ & $Z$ & Test : $Y < Z $\\ \hline 2 & \np{0,3466} & \np{0,3533} & vrai\\ \hline 2,1 & \np{0,3533} & \np{0,3584} & vrai\\ \hline 2,2 &\ldots & &\\ \hline & & &\\ \hline & & &\\ \hline & & &\\ \hline & & &\\ \hline & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction $f$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{nvcal14}{} \section{Nouvelle Calédonie nov2014 \hrulefill} La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;2]$. \begin{center} \psset{unit=3cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(2.25,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,griddots=5](-1.25,-0.25)(2.25,3.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(2.25,3.5) \uput[ul](0,2){G} \uput[u](0.693,2.386){S}\uput[ul](1,3){H} \uput[ur](1.5,1.5){$(\mathcal{C})$} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{1.5}{x 2 add} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub} \psline(1,0)(0,0)} \psdots(0,2)(0.693,2.386)(1,3) \end{pspicture*} \end{center} On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Le point G a pour coordonnées (0~;~2). Le point H a pour coordonnées (1~;~3). La droite (GH) est la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point G. La courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente horizontale au point S d'abscisse $\ln 2$. Le domaine hachuré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $(\mathcal{C})$. \textbf{Partie A} Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique : \begin{enumerate} \item Donner les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. \item Résoudre sur $[-1~;~2]$ l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$. \item Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique. \end{enumerate} \textbf{Partie B} On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-1~;~2]$ par \[f(x) = ax + b - \text{e}^x\] où $a$ et $b$ sont deux réels. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$. \item Justifier que $a = 2$ et $b = 3$. \item Déterminer, sur $[-1~;~2]$, une primitive $F$ de la fonction $f$. \item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amsud14}{} \section{Amérique du sud nov2014 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par \[f(x) = (3 x - 4) \text{e}^{-x} + 2.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que l'on a, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4], $f'(x) = (7 - 3 x)\text{e}^{-x}$. \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~4] puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~4]. \item Donner à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près. \end{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par \[F(x) = (1 - 3 x) \text{e}^{-x} + 2 x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~4]. \item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~4] \end{enumerate} \item On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est la fonction $f''$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f''(x) = (3 x - 10)\text{e}^{-x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. \item Montrer que la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frsept14ex4}{} \section{Métropole sept 2014 ex4 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie sur [0,5~;~10] par : \[f(x) = - x^2 - 4x + 15 + 6\ln (x).\] On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 4x + 6}{x}$. \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur [0,5~;~10], en déduire le tableau de variations de $f$ sur [0,5~;~10]. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,5~;~10]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ par défaut. \item On considère la fonction $F$ définie et dérivable sur [0,5~;~10] telle que : \[ F(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 9x + 6x \ln(x).\] Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0,5~;~10]. \item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. \item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3] : en donner une valeur approchée au millième. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frsept14}{} \section{Métropole sept 2014 ex3\hrulefill} On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. Les points suivants appartiennent à la courbe : A$(-2~;~0)$ ; B$(0~;~-6)$ et C(3~;~0). \begin{center} \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-4,-8.5)(9.5,5.5) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=6] \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-7.5)(9.5,5.5) \uput[ur](-2,0){A}\uput[dr](0,-6){B}\uput[ul](3,0){C} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.2}{9.5}{x dup mul x sub 6 sub 2.71828 x 0.5 mul exp div} \rput(3,-8){Courbe représentative de la fonction $f''$} \end{pspicture*} \end{center} \emph{Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.} \medskip \begin{enumerate} \item La courbe représentative de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? \item Sur $[- 2~;~3]$, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? \item Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Courbe 1& Courbe 2 \\ \hline \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm} \begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92) \multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)} \multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)} \def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}% \def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}% \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92) \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 20 x mul add 32 add 2.71828 0.5 0.5 x mul sub exp mul} \end{pspicture*}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm} \begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92) \multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)} \multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)} \def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}% \def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}% \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92) \psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 28 x mul add 56 add 0.606531 x exp mul} \end{pspicture*}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{antsept14}{} \section{Antilles sept 2014 \hrulefill} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Un producteur de légumes souhaite s'implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés \og bio \fg. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2500 foyers de la commune; 80 foyers se déclarent intéressés par l'achat d'un panier par mois. Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d'un panier mensuel. Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude $0,02$ ? La commune compte \np{15000}~foyers. La condition pour démarrer l'entreprise est de réaliser une recette minimale de \np{3500}~euros par mois. Sachant que les paniers seront vendus 20~euros l'un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum \np{1000}~paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par \[C(x) = - \dfrac{1}{48}x^4 + \dfrac{5}{16}x^3 + 5x + 10.\] Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros. On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [0~;~10], le coût marginal est donné par la fonction $C_{m} = C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $C_{m}(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus. \item On note $C''$ la fonction dérivée seconde de $C$ et on a $C"(x) = - \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{15}{8}x$. \begin{enumerate} \item Déterminer le plus grand intervalle de la forme $[0~;~a]$ inclus dans [0~;~10] sur lequel la fonction $C$ est convexe. \item Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$ ? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On admet que l'entreprise produit entre 0 et \np{1000}~paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20~euros le panier. La recette mensuelle $R$, exprimée en centaines d'euros, ainsi que la fonction $C$ sont représentées par les courbes $C_{R}$ et $C_{C}$ sur le graphique donné en annexe. Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent. \medskip \begin{enumerate} \item Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. \item Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s'il produit et vend $500$ paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d'euros. \item Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de \np{5000}~euros dans un mois ? Argumenter la réponse. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \bigskip \textbf{Exercice 3 Partie C} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.04cm} \begin{pspicture}(-0.5,-8)(11.5,210) \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)} \multido{\n=0+10}{22}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(11.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(11.5,210) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(11.5,210) \psline(10,200) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 5 mul 16 div 5 x mul add 10 add x 4 exp 48 div sub} \uput[u](10,0){En centaines de paniers} \uput[u](0.9,210){En centaines d'euros} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{pondi14}{} \section{Pondichery avril 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment} \medskip Un artisan glacier commercialise des \og sorbets bio \fg. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité. Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I = ]0~;~3] par \[f(x) = 10x^2 - 20x \ln x.\] Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f(x)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros. La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction $r$ définie sur le même intervalle I. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $D$ représentative de la fonction linéaire $r$ sont données en \textbf{annexe}. \medskip \begin{enumerate} \item Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. \begin{enumerate} \item Donner le prix de vente en euros de $100$~litres de sorbet. \item Donner l'expression de $r(x)$ en fonction de $x$. \item Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice ? \end{enumerate} \item On admet que $\displaystyle\int_{1}^3 20x \ln x\:\text{d}x = 90 \ln 3 - 40$. \begin{enumerate} \item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. \item En déduire, pour une production comprise entre $100$ et $300$~litres, la valeur moyenne (arrondie à l'euro) du coût total de production. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On note $B(x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : \[B(x) = - 10x^2 + 10x + 20x \ln x\] où $B(x)$ est exprimé en centaines d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Montrer que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : $B'(x) = - 20x +20 \ln x + 30$. \item On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~3]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,2.5) \psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5) \uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](5.9,1.9){$3$} \rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[d](1.4,2){$B'(1)$}\uput[u](5.6,0){$B'(3)$} \psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$. \item En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle. \end{enumerate} \item L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$~euros. Est-ce envisageable? \end{enumerate} \begin{center} {\Large ANNEXE } \vspace{1cm} Annexe à l'exercice 4 \vspace{1cm} \psset{xunit=.8cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-.2,-.2)(16,16) \psgrid[gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(16,16) \psset{xunit=4cm,yunit=0.25cm,comma=true} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.1,-1.9)(3.2,32) \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.0001}{3}{x dup mul 10 mul x ln x mul 20 mul sub} \psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 10 mul} \uput[u](2.8,0){centaines de litres} \uput[r](0,31.5){centaines d'euros} \uput[u](2,20){$D$}\uput[u](2,12){$\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{poly14}{} \section{Polynésie juin 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les antibiotiques sont des molécules possédant la propriété de tuer des bactéries ou d'en limiter la propagation. Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du temps d'un antibiotique injecté en une seule prise à un patient. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps en heure& 0,5& 1& 1,5& 2 &3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline Concentration en mg/l& 1,6 &2 &1,9 &1,6 &1,2 &0,9 &0,8 &0,7 &0,6 &0,5 &0,4 &0,4\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Ces données conduisent à la modélisation de la concentration en fonction du temps par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ 10]$ par \[ g(t) = \dfrac{4t}{t^2 + 1}.\] Lorsque $t$ représente le temps écoulé, en heures, depuis l'injection de l'antibiotique, $g(t)$ représente la concentration en mg/l de l'antibiotique. Le graphique suivant représente les données du tableau et la courbe représentative de la fonction $g$. \parbox{0.45\linewidth}{ \begin{enumerate} \item Par lecture graphique donner sans justification : \begin{enumerate} \item les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~10]$ ; \item la concentration maximale d'antibiotique lors des 10 premières heures ; \item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration de l'antibiotique dans le sang est supérieure à 1,2~mg/l. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~10]$ et sa dérivée est $g'$. Montrer que : $g'(t) = \dfrac{4\left(1 - t^2\right)}{\left(t^2 + 1\right)^2}$. \item En utilisant l'expression de $g'(t)$, montrer que la concentration maximale serait, avec cette modélisation, atteinte exactement 1 heure après l'injection. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{ \psset{xunit=0.5cm,yunit=4cm,comma} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(11,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.9,-0.1)(11,2.1) \uput[dl](0,0){$0$}\uput[u](10.5,0){$t$} \psdots[dotstyle=B+,dotscale=1.5](0.5,1.6)(1,2)(1.5,1.9)(2,1.6)(3,1.2)(4,0.9)(5,0.8)(6,0.7)(7,0.6)(8,0.5)(9,0.4)(10,0.4) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 4 mul x dup mul 1 add div} \end{pspicture}} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item On admet que $G$ définie sur $[0~;~10]$ par $G(t) = 2\ln \left(t^2 + 1\right)$ est une primitive de $g$ sur cet intervalle. Quelle est la concentration moyenne de l'antibiotique pendant les 10 premières heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. \emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a~;~b]$ est donnée par} $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$. \item On définit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) d'un antibiotique comme étant la concentration au dessus de laquelle les bactéries ne peuvent plus se multiplier. La CMI de l'antibiotique injecté est $1,2$ mg/l. Déterminer, par le calcul, le temps d'antibiotique utile c'est-à-dire la durée pendant laquelle la concentration de l'antibiotique étudié est supérieure à sa CMI. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{poly14}{} \section{Polynésie juin 2014 \hrulefill} \textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L} \medskip Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser $700$ objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction $C$. Lorsque $x$ désigne le nombre d'objets fabriqués, exprimé en centaines, $C(x)$, le coût total correspondant, est exprimé en centaines d'euros. La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée en annexe. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le coût total de production pour 450 objets ? \item Combien d'objets sont produits pour un coût total de \np{60000}~euros ? On considère que le coût marginal est donné par la fonction $C'$ dérivée de la fonction $C$. \begin{enumerate} \item Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets puis de $600$ objets. \item Que pensez-vous de l'affirmation : \og le coût marginal est croissant sur l'intervalle $[0~;~7]$ \fg ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le prix de vente de chacun de ces objets est de $75$~euros. \medskip \begin{enumerate} \item On note $r$ la fonction \og recette\fg. Pour tout nombre réel $x$ dans l'intervalle $[0~;~7]$, $r(x)$ est le prix de vente, en centaines d'euros, de $x$ centaines d'objets. Représenter la fonction $r$ dans le repère donné en annexe. \item En utilisant les représentations graphiques portées sur l'annexe, répondre aux questions qui suivent. \begin{enumerate} \item En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l'entreprise, la fourchette maximale de rentabilité? Justifier la réponse. \item Que penser de l'affirmation : \og il est préférable pour l'entreprise de fabriquer $500$~objets plutôt que $600$~objets \fg ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{\large ANNEXE} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2 enseignement obligatoire et spécialité L} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(8,13) \def\f{(x-6.5)*EXP(x)+90*x+16.5} \psgrid[gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,13) \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1pt,Dy=100,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.9,-80)(8,1300) \psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{\f} \uput[dl](0,0){0}\uput[d](7.8,0){$x$}\uput[u](7,0){centaines d'objets} \uput[r](0,1280){centaines d'euros} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frjuin14}{} \section{Métropole juin 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant $15$~heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. \smallskip On obtient la courbe fournie en annexe 2. \medskip \textbf{A. Étude graphique } \medskip Avec la précision permise par le graphique, indiquer : \medskip \begin{enumerate} \item la concentration à l'instant initial; \item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à $0,4$~gramme par litre. \emph{On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude théorique :} \medskip On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~15] par : \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{- 0,5x},\] où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f(x)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Justifier que $f'(x) = - 0,5x\text{e}^{- 0,5x}$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~15]. \item Justifier que l'équation [(x) = 0,1 admet une unique solution a sur l'intervalle [0; 15]. \item Déterminer un encadrement de a d'amplitude un dixième. \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous : \begin{center} \hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\scriptsize}X >{\scriptsize}X|}\hline 1 & derivez $((x+2) * \text{exp}(-O.5 * x))$&\\ \hline &&exp$(-0.5x)-0.5*$exp$(-0.5x)*(x+2)$\\ \hline 2 &derivez(exp$(-0.5*x)-0.5*$exp$(-0.5*x) * (x+2))$&\\ \hline &&$-\text{exp}(-0.5 *x) + 0.25 *\text{exp}(-0.5*x) *(x+2)$\\ \hline 3 &factorisez $(-\text{exp} (-0.5*x) + 0.25*\text{exp}(-0.5*x)*(x+2) )$&\\ \hline &&$(0.25 *x - 0.5)*\text{exp}(-0.5*x)$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~15] et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Interprétation des résultats :} \medskip En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. \medskip \begin{enumerate} \item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à $0,1$~gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? \item Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ? \end{enumerate} \begin{center} \begin{flushleft} \textbf{Annexe 2} \end{flushleft} \bigskip Temps (en heure): \psset{xunit=0.7cm,yunit=3.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.1,-0.2)(16,2.3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2](0,0)(-0.9,-0.18)(16,2.3) \multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(16,\n)} \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,2.3)} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,2)(0.25,1.99)(0.5,1.96)(0.75,1.90)(1,1.83)(2,1.48)(3,1.1)(4,0.8)(5,0.58)(6,0.4)(7,0.28)(8,0.185)(9,0.13)(10,0.08)(11,0.05)(12,0.03)(13,0.015)(14,0.01)(15,0.0075)(16,0.) \uput[u](14,0){Temps (en heure)} \uput[r](0,2.22){Concentration (g/L)} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{liban14}{} \section{Liban mai 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~5] par \[f(x) = x + 1 + \text{e}^{- x + 0,5}.\] On a représenté en annexe, dans un plan muni d'un repère orthonormé: \setlength{\parindent}{6mm} \begin{itemize} \item la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ; \item la droite $\Delta$ d'équation $y = 1,5x$. \end{itemize} \setlength{\parindent}{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~5], on a $f' (x) = 1- \text{e}^{- x +0,5}$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de $f $. \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~5] l'équation $f'(x) = 0$ . \item Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle [0~;~5]. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~5]. \end{enumerate} \item On note $\alpha$ l' abscisse du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Delta$. \begin{enumerate} \item Donner, par lecture graphique, un encadrement de $\alpha$ à 0,5 près. \item Résoudre graphiquement sur l'intervalle [0~;~5] l'inéquation $f(x) < 1,5x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Application} \medskip Une entreprise fabrique des cartes à puces électroniques à raide d'une machine. La fonction $f$, définie dans la partie A, représente le coût d'utilisation de la machine en fonction de la quantité $x$ de cartes produites, lorsque $x$ est exprimé en centaines de cartes et $f (x)$ en centaines d’euros. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire de la partie A, le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d'utilisation de la machine. \item Chaque carte fabriquée par la machine est vendue l,50~\euro . La recette perçue pour la vente de $x$ centaines de cartes vaut donc $1,5 x$ centaines d'euros. Vérifier que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de $x$ centaines de cartes est donné par $B(x) = 0, 5x -1- \text{e}^{- x + 0,5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $B$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~5]. \item Montrer que, sur l'intervalle [0~;~5], l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution comprise entre 2,32 et 2,33. \end{enumerate} \item On dira que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque $B(x) > 0$. Indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de l'entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1.5cm} \begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 4}\end{flushleft} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(8,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.4)(8,8) \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,8)} \multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(8,\n)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.2}{1.54 x mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 0.5 x sub exp x add 1 add} \psdots[dotscale=1.4](0,2.64872)(5,6) \uput[dl](0,0){O}\uput[r](5,7.7){$\Delta$}\uput[r](5,5.75){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{etranger14}{} \section{Centres etrangers 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\text{e}^{x^2 - 1}.\] $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x,\:\: f'(x) = \left(2x^2 + 1\right)\text{e}^{x^2 - 1}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout réel $x,\: f''(x) = 2x\left(2x^2 + 3\right)\text{e}^{x^2 - 1}$. Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[h(x) = x\left(1 - \text{e}^{x^2 - 1}\right).\] \begin{enumerate} \item Justifier que l'inéquation $1 - \text{e}^{x^2 - 1} \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $[-1~;~1]$. \item Déterminer le signe de $h(x)$ sur 1'intervalle $[-1~;~1]$. \item En remarquant que pour tout réel $x$, on a l'égalité $h(x) = x - f(x)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$ sur l'intervalle [0~;~ 1]. \end{enumerate} \item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{x^2 - 1}$ et soit $I = \displaystyle\int_{0}^1 h(x)\:\text{d}x$. On admet que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. Calculer la valeur exacte de $I$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Applications} \medskip Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle [0~;~1] : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction étudiée en partie A ; \item[$\bullet~~$]la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction définie par $g(x) = x^3$ ; \item[$\bullet~~$] la droite $D$ d'équation $y = x$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{center} \psset{unit=10cm} \begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1) \psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)[$x$,d][$y$,210] \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=20,griddots=5](0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x dup mul 1 sub exp x mul} \uput[ul](0.7,0.42){\blue $\mathcal C_f$} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp} \uput[dr](0.7,0.343){\red $\mathcal C_g$} \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.125)(0,0.125) \psdots[dotstyle=+](0.5,0.125) \uput[l](0,0.125){$0,125$} \uput[u](0.5,0.125){$M$} \uput[ul](0.8,0.8){$D$} \end{pspicture} \end{center} Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G : \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses, $x$ représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ; \item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées, $f(x)$ et $g(x)$ représentent pour chaque entreprise la proportion de la masse salariale (c'est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \emph{Par exemple :} \emph{Le point $M(0,5~;~0,125)$ est un point appartenant à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. Pour l'entreprise G cela se traduit de la façon suivante :\\ si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des 50\,\% aux revenus les plus faibles) représente 12,5\,\% de la masse salariale.} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80\,\% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité. \item On note $\mathcal{A}_{f}$ l'aire du domaine délimité par la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x = 1$. On appelle indice de Gini associé à la fonction $f$, le nombre réel noté $I_{f}$ et défini par $I_{f} = 2 \times \mathcal{A}_{f}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $I_{f} = \dfrac{1}{\text{e}}$. \item On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire. Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{asie14}{} \section{Asie juin 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction $f$, le nombre de malades durant l'épidémie. Cette fonction $f$ est définie sur [1~;~26] par : \[f(t) = 24t \ln (t) - 3t^2 + 10\] où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et $f(t)$ est le nombre de milliers de malades comptabilisés après $t$ semaines. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [1~;~26], $f'(t) = 24 \ln (t) - 6t + 24$. \item Les variations de la fonction $f'$ sont données dans le tableau suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$t$} \uput[u](2.15,2.4){$1$}\uput[u](6,2.4){$4$}\uput[u](9.7,2.4){$26$} \rput(1,1.25){$f'(t)$} \psline{->}(2.5,0.5)(5.5,2) \psline{->}(6.5,2)(9.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f'(t) = 0$ admet, dans l'intervalle [1~;~26], une solution et une seule qu'on notera $\alpha$ et donner l'encadrement de $\alpha$ par deux entiers naturels consécutifs. \item En déduire le signe de $f'(t)$ sur [1~;~26] et les variations de $f$ sur [1~;~26]. \end{enumerate} \item Le réel $f'(t)$ représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de $t$ semaines. \begin{enumerate} \item Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : \og sur [4~;~26], $t'$ est décroissante.\fg \item À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $G$ définie par : \[C(t) = 12t^2 \ln (t) - 6t^2\] est une primitive sur [1~;~26] de la fonction 9 définie par : $g(t) = 24t \ln (t)$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, sur [1~;~26], une primitive $F$ de la fonction $f$. \item On a trouvé que l'arrondi à l'entier de $\frac{1}{26 - 1}[F(26) -F(1)]$ est $202$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte du problème. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{ant14}{} \section{Antilles juin 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique et vend aux écoles primaires des lots constitués de cahiers et de stylos. \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'entreprise possède une machine qui peut fabriquer au maximum \np{1500}~lots par semaine. Le coût total de fabrication hebdomadaire est modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~15] par \[g(x) = 18x + \text{e}^{0,5x - 1}.\] Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $g(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$. \item Justifier que $g$ est strictement croissante sur [0~;~15]. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise acquiert une nouvelle machine qui permet d'obtenir un coût total de fabrication hebdomadaire modélisé par la fonction $f$ définie sur [0~;~15] par \[f(x) = \text{e}^{0,5x - 1} - x^2 + 20x + 20,\] Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de lots, $f(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros. On note $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{f}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $g$ et $f$. \begin{center} \psset{xunit=0.667cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-1,-50)(16,950) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(-0.9,-50)(16,950) \uput[u](14,0){centaines de lots} \uput[r](0,935){centaines d'euros} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp x dup mul sub 20 x mul add 20 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{2.71828 0.5 x mul 1 sub exp 18 x mul add } \uput[dl](0,0){0} \uput[d](12,240){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](12,380){$\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner un encadrement d'amplitude $100$ du nombre $k$ de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production, \item On cherche à préciser le résultat précédent par le calcul. \begin{enumerate} \item Montrer que la détermination de $k$ conduit à résoudre l'inéquation $- x^2 + 2x + 20 \leqslant 0$. \item Résoudre cette inéquation sur l'intervalle [0~;~15]. \item En déduire le nombre entier de lots à partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le coût total de production. \end{enumerate} \item On rappelle que le coût marginal obtenu avec cette nouvelle machine est donné par la fonction $f'$. Déterminer la valeur moyenne, arrondie à l'euro, du coût marginal lorsqu'on fabrique entre $5$ centaines et $8$ centaines de lots. \emph{Rappel : la valeur moyenne d'une fonction $h$ sur $[a~;~b]$ est donnée par }$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b h(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amnord14}{} \section{Amérique du Nord 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément. On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation. \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} Modèle exponentiel} \medskip Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction $f$ qui modélise la situation précédente. On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément et $f(x)$ la durée de chargement exprimée en seconde. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,22) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(10,22) \psset{xunit=1cm,yunit=.1cm} \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=5]{->}(0,0)(-.99,-4.5)(10,110) \uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \psplot[plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.5}{8.404}{.311 x mul EXP 8.06 mul} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, estimer la durée de chargement, en seconde, pour \np{8000} personnes connectées. \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement un antécédent de 15 par $f$. \item Donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modèle logarithmique} \medskip On considère une autre fonction $g$ pour modéliser la situation précédente. On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est alors $g(x)$ avec $g(x) =10x - 8\ln (x)$ pour $x$ appartenant à $[0,5~;~+\infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $g'(x)$. \item Dresser le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $[0,5~;~+\infty[$. \item Justifier que la fonction $G$ définie sur $[0,5~;~+\infty[$ par $G(x)=5x^2+8x-8x\ln(x)$ est une primitive de $g$ sur $[0,5~;~+\infty[$. \item On pose $I = \dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{2}^{4} g(x) \:\mathrm{d} x$ \begin{enumerate} \item Montrer que la valeur exacte de $I$ peut s'écrire sous la forme $a+b\ln (2)$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera. \item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $I$ puis donner une interprétation de ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie c}}} \medskip Une vidéo particulièrement demandée a attiré simultanément \np{8000} personnes. On a constaté que le temps de chargement était de 92 secondes. Déterminer, en justifiant, celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation pour cette vidéo. \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{calmars14}{} \section{Nouvelle Calédonie mars 2014 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [2~;~5] par \[f(x) = (3 - x) \text{e}^x + 1,\] soit $f'$ sa fonction dérivée et soit $f''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[2~;~5]$, $f'(x) = (2 - x) \text{e}^x$ et $f''(x) = (1 - x) \text{e}^x$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~5]$. \item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2~;~5]$. Montrer que : $3 < \alpha < 4$. \item \begin{enumerate} \item Soit $T$ la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $3$. Montrer que $T$ a pour équation $y = - \text{e}^3 x + 3 \text{e}^3 + 1$. \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite $T$ et de l'axe des abscisses. \item Étudier le signe de $f''(x)$ sur l'intervalle $[2~;~5]$ et en déduire la convexité ou la concavité de $f$ sur cet intervalle. \item En déduire que : $\alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3}$. On a donc : $3 < \alpha < 3 + \dfrac{1}{\text{e}^3} < 3,05$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2,5cm}X} \textbf{Variables :}& $a, b, m$ et $r$ sont des nombres réels \\ \textbf{Initialisation :} &Affecter à $a$ la valeur 3\\ & Affecter à $b$ la valeur 3,05\\ \textbf{Entrée :} &Saisir $r$\\ \textbf{Traitement :}& TANT QUE $b - a > r$\\ &\hspace{0,5cm} Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$\\ &\hspace{0,5cm} SI $f(m) > 0$\\ &\hspace{1cm} ALORS Affecter à $a$ la valeur $m$\\ &\hspace{1cm} SINON Affecter à $b$ la valeur $m$\\ &\hspace{0,5cm} FIN SI \\ &FIN TANT QUE\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $a$.\\ &Afficher $b$\\ \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Faire fonctionner l'algorithme précédent avec $r = 0,01$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f(m)$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.1cm}|*{7}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline &\footnotesize$b - a$& \mbox{\footnotesize $b - a > r$ }&\footnotesize$m$ &\footnotesize$f(m)$ &\mbox{\footnotesize$f(m) > 0$} &\footnotesize$a$ &\footnotesize$b$ \\ \hline Initiali\-sation&&&&&& 3 &3,05\\ \hline étape 1& 0,05 &oui &3,025 &0,485 &oui &3,025 &3,05 \\ \hline étape 2&&&&&&&\\ \hline étape 3&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Interpréter les résultats trouvés pour $a$ et $b$ à la fin de l'étape 3. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{calmars14}{} \section{Nouvelle Calédonie mars 2014 \hrulefill} Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}. \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[G(x) = x \ln x - x + 10\] est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \ln x$. \item On a l'égalité : $\displaystyle\int_{0}^1 \left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$. On a alors : $E(X) = 1$. \item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : $[0,412~;~0,608]$. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amsudnov13}{} \section{Amérique du sud nov 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x\text{e}^{- x} + 1.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan et $f'$ la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{- x}(1 - x)$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[-1~;~0]$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{- 1}$ près. \end{enumerate} \item Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y = x + 1$. \item L'objectif de cette question est de déterminer la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu, pour tout réel $x$, l'expression et le signe de $f''(x)$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|l|X|}\hline &\textbf{Instruction} &\textbf{Réponse}\\ \hline 1& $f(x) = x*\text{exp}(-x) + 1$ &$x\text{e}^{-x} + 1$\\ \hline 2& $f''(x) = $ dérivée seconde$[f(x)]$& $\text{e}^{-x}(x - 2)$\\ \hline 3& résoudre $[\text{e}^{-x}(x - 2) \geqslant 0]$&$x \geqslant 2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur $\R$. \item Déterminer l'intervalle de $\R$ sur lequel la fonction est convexe puis celui sur lequel elle est concave. \item En déduire la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $T$ sur l'intervalle $]-~\infty~;~2]$. \end{enumerate} \item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la tangente $T$ dans un repère orthonormé. \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture*}(-2,-0.666)(2,2.666) \multido{\n=-2.0000+0.1666}{25}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,-0.666)(\n,2.666)} \multido{\n=-0.6666+0.1666}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](-2,\n)(2,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.666)(2,2.666) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2}{1.6}{x 1 add} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{x 2.71828 x exp div 1 add} \pscustom[fillstyle=vlines]{ \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp div 1 add} \psline(1,2)(0,1)} \uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1.5,2.5){$T$} \uput[d](1.9,1.25){$\mathcal{C}_{f}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par \[F(x) = \text{e}^{- x}(- 1 - x) + x.\] Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine hachuré compris entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la tangente $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ puis donner le résultat arrondi à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{antillessept13}{} \section{Antilles sept 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des pièces métalliques pour la construction automobile. On modélise le bénéfice journalier par la fonction $B$ définie sur $[0~;~10]$ par \[B(x) = x + 4\text{e}^{-x} - 5,\] où $x$ représente le nombre de pièces produites et vendues, exprimé en centaines, et $B(x)$ représente le bénéfice en milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $B'(x)$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. \item Démontrer que $B'(x)$ s'annule uniquement pour $x = \ln (4)$. \item Calculer les valeurs exactes de $B(0) ; B(10)$ et $B(\ln(4))$. \item Dresser et compléter le tableau de variation de la fonction $B$ sur $[0~;~10]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ sur $[\ln(4)~;~10]$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$. \end{enumerate} \item À partir de combien d'unités produites et vendues l'entreprise sera-t-elle bénéficiaire? \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{calnov13}{} \section{Calédonie nov 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par \[f(x) = x^2 - 14x + 15 + 20\ln x.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] on a : $f'(x) = \dfrac{2x^2 - 14x + 20}{x}$. \item Construire en le justifiant le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. \item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ dans l'intervalle [1~;~10]. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{francesept13}{} \section{Métropole sept 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-10~;~30]$ par \[f(x) = 5 + x \text{e}^{0,2x - 1}.\] On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle et admet des primitives sur cet intervalle. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-10~;~30]$, $f'(x) = (0,2x + 1) \text{e}^{0,2x - 1}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~30]$. \item Justifier que l'équation $f(x) = 80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~20] et donner un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près. \item Soit $F$ la fonction définie sur $[-10~;~30]$ par \[F(x) = 5(x - 5) \text{e}^{0,2x - 1} + 5x.\] On admet que $F$ est une primitive de $f$ dans l'intervalle $[-10~;~30]$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x$. \item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~10]. (On donnera une valeur arrondie au centième.) \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B} \medskip En 2010, un styliste a décidé d'ouvrir des boutiques de vêtements à prix modérés, tout d'abord dans son pays d'origine, puis dans la communauté européenne et au niveau mondial. Il a utilisé la fonction $f$ définie dans la partie A mais seulement sur l'intervalle $[0~;~20]$ pour modéliser son développement et a désigné par $f(x)$ le nombre de magasins de son enseigne existant en $2010 + x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$ et interpréter le résultat. \item En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques. \item Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}~euros. Si on considère qu'un magasin est ouvert $300$~jours par an, calculer à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{polysept13}{} \section{Polynésie sept 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été créée en l'année 2000 et le tableau ci-dessous donne l'évolution de sa production. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.8cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2002 &2004 &2006 &2008 &2010 &2012\\ \hline Rang de l'année &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline Production en tonnes &\np{7000} &\np{18811} &\np{36620} &\np{49000} &\np{58012} &\np{63098} &\np{68500}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $a\,\%$ où $a$ est un nombre entier. \item Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l'équation : $x^{12} = 9,79$. Interpréter ce nombre en termes de taux d'évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme $b\,\%$ où $b$ est un nombre entier. \end{enumerate} \item L'entreprise fait appel à un cabinet d'experts pour modéliser l'évolution de la production de l'entreprise afin de faire une projection jusqu'en 2020. Le cabinet d'experts propose la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par : \[f(x) = \np{27131}\ln x + 0,626 x^3\] où $x$ représente le rang de l'année et $f(x)$ le nombre de tonnes produites. \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20]. Déterminer $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur [2~;~20]. \item À l'aide de cette modélisation, l'entreprise peut-elle dépasser une production de \np{90000}~tonnes de papier recyclé avant l'année 2020 ? Justifier. \end{enumerate} \item Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d'une bobine varie en fonction de nombreux facteurs. Soit $X$ la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que $X$ suit une loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 2$. \begin{enumerate} \item Toute bobine dont le poids est inférieur à $496$~kg est refusée. Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$. \item L'entreprise perd de l'argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à $506$~kg. Quelle est la probabilité qu'une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l'argent à l'entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à $10^{- 4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{amnord13}{} \section{Amerique du Nord mai 2013 \hrulefill} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-8,-5)(4.2,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-8,-4)(4.2,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](-8,-4)(5,4) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8}{2.98}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul} \pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]{ \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x sub 2.71828 x 2 div exp mul} \psline(2,0)(0,0)} \uput[d](4.1,0){$x$}\uput[l](0,3.4){$y$}\uput[ur](0,2){A}\uput[ur](2,0){D} \uput[r](3,-3.8){$C_{f}$} \rput(-1.5,-4.5){\emph{Figure} 1} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip On suppose que $f$ est de la forme $f(x) = (b - x)\text{e}^{ax}$ où $a$ et $b$ désignent deux constantes. On sait que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les points A(0~;~2) et D(2~;~0) appartiennent à la courbe $C_{f}$. \item[$\bullet~~$] La tangente à la courbe Cf au point A est parallèle à l'axe des abscisses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, définie sur $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, indiquer les valeurs de $f(2)$ et $f'(0)$. \item Calculer $f'(x)$. \item En utilisant les questions précédentes, montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système suivant : \[\left\{\begin{array}{l c l} b - 2&=&0\\ ab - 1 &=& 0 \end{array}\right.\] \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $f(x)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que $f(x) = (-x + 2) \text{e}^{0,5x}$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la figure 1, justifier que la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est comprise entre $2$ et $4$. \item \begin{enumerate} \item On considère $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = (- 2x + 8)\text{e}^{0,5x}$. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item On considère G$ $une autre primitive de $f$ sur $\R$. Parmi les trois courbes $C_{1}, C_{2}$ et $C_{3}$ ci-dessous, une seule est la représentation graphique de $G$. Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-11,-5.5)(12,9) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-11,-4.5)(12,9) \psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=orange](-11,-4)(12,9) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-11}{4.1}{8 2 x mul sub 2.71828 x 2 div exp mul 3 sub} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-11}{12}{x 3 sub 2.71828 x 2 div exp mul 0.5 sub} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=green](-11,0.9)(-4,0.5)(-2,0.25)(-1,0.22)(0,1)(0.37,3)(0.6,4)(1,4.5)(2,3.3)(4,2)(8,1.5)(11.5,1.25) \rput(0,-5){\emph{Figure} 2} \uput[r](4.1,7){$C_{1}$}\uput[r](9,1.7){$C_{2}$}\uput[ul](-1.9,1.5){$C_{3}$} \end{pspicture*} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{asiejuin13}{} \section{Asie juin 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels. Elle passe par les points $A\left(1 ; 4\mathrm{e}^{0,5} \right)$ ,$B(0; 5)$ et $C(5; 0)$. Le point $D( -3 ; 0)$ appartient à la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(7,12) \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} \def\f{(5-x)*EXP(0.5*x)} \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-4)(7,12) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(7,12) \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](7,0){{$x$}} \uput[dl](0,12){{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5.285}{\f} \psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-5,-3.297)(4.278,12) \psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](1,6.595) \uput[r](0,5){\bleu{$B$}} \uput[u](1,6.59){\bleu{$A$}} \uput[ur](5,0){\bleu{$C$}} \uput[dl](4.9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}} \uput[ul](-3,0){\prune{$D$}} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A - Par lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le signe de $f'(1)$ ? Justifier. \item Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ? \item \begin{enumerate} \item Préciser un domaine du plan dont l'aire est égale à $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$ unités d'aires. \item Recopier sur votre copie le seul encadrement qui convient parmi : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} $0 \leqslant I \leqslant 9$ & $10 \leqslant I \leqslant 12$ & $20 \leqslant I \leqslant 24$ \end{tabularx} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Par le calcul} \medskip On admet que pour tout réel $x$, $f(x) = (-x + 5)\mathrm{e}^{0,5x}$ et $f '(x) = (1,5- 0,5x)\mathrm{e}^{0,5x}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x$, $f ''(x) = 0,25(-x + 1)\mathrm{e}^{0,5x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)= 0$. Montrer que le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. \item Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle convexe ? Justifier. \end{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = (-2x+14)\mathrm{e}^{0,5x}$. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. Calculer $I = \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\:\mathrm{d}x$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{liban13}{} \section{Liban mai 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [5~;~60] par : \[C(x) = \dfrac{\text{e}^{0,1x} + 20}{x}.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$. Montrer que, pour tout $x \in [5~;~60],\: C'(x) = \dfrac{0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20}{x^2}$. \item On considère la fonction $f$ définie sur [5~;~60] par \[f(x) = 0,1x\text{e}^{0,1x} - \text{e}^{0,1x} - 20.\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur [5~;~60]. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans [5~;~60]. \item Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$. \item En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur [5~;~60]. \end{enumerate} \item En déduire le tableau de variations de $C$ sur [5~;~60]. \item En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes : \begin{enumerate} \item $C(x) = 2$. \item $C(x) = 5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique chaque mois $x$ vélos de course, avec $x$ appartenant à l'intervalle [5~;~60]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production de $x$ vélos de course, est donné par la fonction $C$ définie dans la partie A. Déterminer le nombre de vélos à produire pour que le coût de fabrication moyen soit minimal. \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{francejuin13}{} \section{Métropole dévoilé juin 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l'effet de la pollution sur une population d'insectes car ils craignaient l'extinction de cette espèce. L'étude a été effectuée sur un échantillon de \np{25000}~insectes. \medskip Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. \medskip \textbf{Partie A :} \medskip Une étude a permis de montrer que la population d'insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par $f(t) = 25\text{e}^{-0,5t}$, où $t$ est le temps exprimé en années et $f(t)$ le nombre de milliers d'insectes. \bigskip \begin{enumerate} \item Calculer le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année. Arrondir à 1\,\%. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par \[F(t) = -50\text{e}^{-0,5t}\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. \item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{2}^4 25\text{e}^{-0,5t}\:\text{d}t$. \item En déduire la population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Après de longues recherches, un biologiste a mis au point un traitement pour essayer de sauver cette espèce. Ce traitement est administré aux insectes à partir de la quatrième année. L'évolution de la population est alors modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [4~;~10] par : \[g(t) = 20\text{e}^{-0,1t^2} + t - 4,65.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Montrer que pour réel $t$ de l'intervalle [4~;~10], $g'(t) = - 4t\text{e}^{-0,1t^2} + 1$. \item On admet que la fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle [4~;~10]. Montrer que l'équation $g'(t) = 0$ a une solution et une seule $\alpha$ dans l'intervalle [4~;~10]. Donner la valeur arrondie au dixième de $\alpha$. \item \begin{enumerate} \item En déduire le signe de $g'(t)$ sur l'intervalle [4~;~10]. \item Donner le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [4~;~10]. \item Que peut-on supposer quant à l'effet du traitement sur la population d'insectes ? \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{frjuin13}{} \section{Métropole juin 2013 \hrulefill} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L} \medskip Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos, \ldots). \medskip On note $D_{n}$ la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année $1995 + n$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &1995 &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 &2002\\ \hline $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline $D_{n}$ &4,95 &5,15 &5,25 &5,4 &5,7 &6,3 &6,55 &6,9\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010\\ \hline $n$ &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline $D_{n}$& 7,3 &7,75 &7,65 &7,79& 7,64 &7,82 &7,89 &8,08\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Soit $f$ la fonction définie, pour tout nombre réel $x$, par \[f(x) = - \np{0,0032}x^3 + 0,06x^2 + 5.\] Pour tout entier $n$ vérifiant $0 \leqslant n \leqslant 20$, on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d'euros, au cours de l'année $1995 + n$ par le nombre $f(n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $f(5)$. \item Déterminer le pourcentage $p$, de l'erreur commise en remplaçant $D_{5}$ par $f(5)$. (Le pourcentage d'erreur est obtenu par le calcul : $p = \dfrac{\text{valeur réelle} - \text{valeur estimée}}{\text{valeur réelle}}$ et le résultat sera donné à 0,1\,\% près.) \item En utilisant la fonction $f$, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 2013 ? (On arrondira le résultat au centième de milliard d'euros). \item On veut utiliser la fonction $f$ pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1\up{er} janvier 1995 et le 1\up{er} janvier 2015. On calcule pour cela $M = \dfrac{1}{20} \displaystyle\int_{0}^{20} f(x)\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item Calculer $M$. \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{francejuin13}{} \section{Métropole juin 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l'industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L'entreprise peut fabriquer entre $0$ et \np{3600}~poulies par semaine. On note $x$ le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ($x$ varie donc dans l'intervalle [0~;~3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté $B(x)$, il est exprimé en milliers d'euros. \medskip L'objet de cet exercice est d'étudier cette fonction $B$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. \bigskip \textbf{Partie A : étude graphique} \medskip On a représenté, en annexe 2, la fonction $B$ dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas. Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à \np{13000}~euros. \item Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l'entreprise ? Pour quel nombre $N$ de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude théorique} \medskip Le bénéfice hebdomadaire noté $B(x)$, exprimé en milliers d'euros vaut \[B(x) = - 5 + (4 - x)\text{e}^x.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I = [0~;~3,6]$, on a : \[B'(x) = (3 - x)\text{e}^x \] \item Déterminer le signe de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle $I$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $I$. On indiquera les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l'intervalle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'équation $B(x) = 13$ admet deux solutions $x_{1}$ et $x_{2}$, l'une dans l'intervalle $[0~;~3]$ l'autre dans l'intervalle $[3~;~ 3,6]$. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de chacune des deux solutions. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Annexe 2} \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=0.6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(3.7,15.5) \multido{\n=0.0+0.1}{38}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,15.5)} \multido{\n=-1.0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(3.7,\n)} \psaxes[linewidth=1.4pt,Dx=0.2,labelFontSize=\scriptscriptstyle](0,0)(-0.1,-1.5)(3.7,15.5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.6}{4 x sub 2.71828 x exp mul 5 sub} \end{pspicture} \end{center} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{pondi13}{} \section{Pondichery avril 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.} \bigskip \textbf{PARTIE A} \medskip On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] par \[f(x) = 1 - (x + 1)\text{e}^{- x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = x\text{e}^{- x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~6]. Déterminer une valeur arrondie de $\alpha$ à $0,01$. \item On admet que la fonction $F$ définie sur [0~;~6] par $F(x) = x + (x + 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $I = \displaystyle\int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} \medskip Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie A pour $x$ compris entre 0 et 6. $x$ représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit. $f(x)$ représente la production journalière de batteries en milliers. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra $0,5$ millier soit $500$~unités. \item Déterminer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. \end{enumerate} \textbf{PARTIE C} \medskip Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de $200$~km. Sur un parcours joignant une ville située à 160~km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 40$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? \item La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à $0,01$ ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} \newpage \hypertarget{etranger13}{} \section{Centres étrangers juin 2013 \hrulefill} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[2~;~8]$ par : \[f(x)=\frac{-x^2 + 10x - 16}{x^2}\] On appelle $(C)$ sa courbe représentative dans un repère. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel de l'intervalle $[2~;~8]$, on a : \[f'(x)=\frac{-10x + 32}{x^3}\] \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[2~;~8]$. \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[2 ; 8]$. \end{enumerate} \item On appelle $f''$ la dérivée seconde de $f$ sur $[2~;~8]$. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[2 ; 8]$, on a : \[f''(x)=\frac{20x-96}{x^4}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une fonction convexe sur $[4,8~;~8]$. \item Montrer que le point de $(C)$ d'abscisse $4,8$ est un point d'inflexion. \end{enumerate} \item On considère la fonction $F$ définie sur $[2~;~8]$ par :\[F(x)=-x+10\ln x +\frac{16}{x}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[2~;~8]$. \item Calculer $I = \displaystyle\int_{2}^8 f(x)\:\mathrm{d}x$ \end{enumerate} \end{enumerate} \hyperlink{top}{retour au tableau} % \nettoyer \end{document}