\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{colortbl} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small STG L'intégrale 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \chead{L'intégrale 2008} \begin{center}{\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG 2008~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2008}} \end{center} \vspace{1cm} {\Large \hyperlink{ \hyperlink{CGRHFrance}{Métropole-La Réunion CGRH juin 2008} \dotfill 3 \medskip \hyperlink{CGRHPolynesie}{Polynésie CGRH juin 2008} \dotfill 7 \medskip \hyperlink{CGRHMetrosep}{Métropole--La Réunion CGRH sept. 2008} \dotfill 11\medskip \hyperlink{PolynesieCGRHsep}{Polynésie CGRH sept. 2008} \dotfill 16\medskip \hyperlink{CGRHCaledo}{Nouvelle--Calédonie CGRH nov. 2008} \dotfill 20\medskip \medskip \hrule \medskip \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry Mercatique avril 2008} \dotfill 25 \medskip \hyperlink{MercaAntilles}{Antilles--Guyane Mercatique juin 2008} \dotfill 30 \medskip \hyperlink{MercaReunion}{La Réunion Mercatique juin 2008} \dotfill 35 \medskip \hyperlink{MercaFrance}{Métropole Mercatique juin 2008} \dotfill 40 \medskip \hyperlink{MercaPolynesie}{Polynésie Mercatique juin 2008} \dotfill 45 \medskip \hyperlink{Antillesmercasept}{Antilles--Guyane Mercatique sept. 2008} \dotfill 50\medskip \hyperlink{MercatiqueFrancesep}{Métropole--La Réunion Mercatique sept. 2008} \dotfill 53\medskip \hyperlink{MercatiqueCaledo}{Nouvelle--Calédonie Mercatique nov. 2008} \dotfill 59\medskip } \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%%%%% CGRH Métropole-La Réunion juin 2008 \hypertarget{CGRHFrance}{} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small 23 juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STG CGRH Métropole La Réunion~\decofourright\\ 23 juin 2008}} \bigskip L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve. Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète on non fructueuse, qu'il aura développée. \bigskip Aucun document n'est autorisé \end{center} \vspace{0,35cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un établissement bancaire propose ce placement : Si vous déposez un capital de \np{10000}~euros, vous obtenez un capital de \np{15000}~euros au bout de $10$~ans. \begin{enumerate} \item Quel est le taux global de ce placement pour ces $10$~ans ? \item Sachant que ce placement est à intérêts composés, calculer le taux annuel moyen, en pourcentage, à $0,1$\,\% près. \item Finalement, on place le capital de \np{10000}~euros à 5\,\% d'intérêt annuel à intérêts composés. Quel capital obtiendra t-on au bout de $10$~ans? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Un article coûtait $250$~euros au 1\up{er} janvier 2004. II a subi une inflation de $4,6$\,\% en 2004 et $3,8$\,\% en 2005. \begin{enumerate} \item Calculer son prix au 1\up{er} janvier 2005 et au 1\up{er} janvier 2006. \item Le tableau ci-dessous donne les indices des prix pour la période 2004/2007. On prend la référence 100 au 1\up{er} janvier 2004. Les résultats seront arrondis à $0,1$~près. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &1/1/2004 &1/1/2005 &1/1/2006 &1/1/2007\\ \hline Indice &100 &104,6 & &105,9\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'indice des prix au 1\up{er} janvier 2006. \item Déterminer le taux d'inflation (hausse des prix), en pourcentage, pour la période du 1/1/2004 au 1/1/2006. \item Qu'en est-il pour la période du 1/1/2006 au 1/1/2007 ? Expliquer. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une entreprise a reçu une nouvelle machine dont la complexité nécessite un apprentissage progressif. Ainsi, la production évolue en fonction du temps. L'étude se fait sur les cinq premiers mois. On note $x$ le nombre de mois écoulés depuis l'installation de l'appareil. La fonction donne le nombre de pièces, en milliers, fabriquées mensuellement par cette machine. Cette fonction est définie par : \[f(x) = \dfrac{100x}{x+1}\quad \text{pour}~ x~\text{variant dans}~ [0~;~5].\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur [0~;~5] peut s'écrire sous la forme : \[f'(x) = \dfrac{100}{(x + 1)^2}.\] \item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur [0~;~5] et en déduire le tableau de variations de la fonction. \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. \emph{On arrondira les résultats à l'unité.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $f(x)$ & & & &75 & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur du papier millimétré. \emph{On prendra pour unités : $2$~cm par mois sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour $\np{10000}$~pièces sur l'axe des ordonnées.} \item On estime que la machine est rentable si elle produit au moins \np{80000}~pièces par mois. Déterminer graphiquement sur quelle période la machine est rentable. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Pour contrôler la qualité de production, on prélève $250$~pièces issues de cette machine. On s'aperçoit que parmi elles $25$~pièces ont une masse inadéquate : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 10 sont trop lourdes \item[$\bullet~$] 15 sont trop légères. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On admet que cet échantillon est représentatif de l'ensemble de la production. On prélève une pièce au hasard dans la production de la journée. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que la pièce prélevée ait une masse inadéquate ? \item Sachant que la pièce prélevée a une masse inadéquate, quelle est la probabilité qu'elle soit trop lourde ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} \medskip Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte}. Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. \emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$ point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Sébastien PIGNOL est un jeune chef d'entreprise qui a créé son entreprise en 2002. Il désire mettre sur une feuille de tableur les résultats de sa petite société afin de pouvoir les modéliser. Pour cela, il va faire appel à ses souvenirs d'élève et d'étudiant et va devoir remplir la feuille proposée en annexe. Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'exploitation, \textbf{en milliers d'euros}, de son entreprise en fonction de l'année. Il reprend les lignes 3 et 5 de la feuille de calcul proposée en annexe. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline Chiffre d'affaires&\np{1250}&\np{1400}&\np{1480}&\np{1600} &\np{1720}&\np{1800}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Il compte dans un premier temps créer une nouvelle variable appelée ancienneté correspondant à la durée de vie de son entreprise : 2002 est la 1\up{re} année et ainsi de suite. Quelle formule doit-il saisir en D4 et recopier sur la ligne 4 pour obtenir l'ancienneté de son entreprise ? \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad =D3$-$2001& \textbf{b.}\quad \$D\$3$-$2001& \textbf{c.}\quad D3$+$2001\\ \end{tabularx} \item Il désire calculer la droite de régression $y = ax+b$ donnant le chiffre d'affaires ($y$) en fonction de l'ancienneté ($x$). Avec un arrondi des coefficients à l'unité, quelle est l'équation correcte ? \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $y = 109x + \np{1159}$& \textbf{b.}\quad $y = \np{1268}x + \np{1159}$& \textbf{c.}\quad $y = 109x+\np{1250}$\\ \end{tabularx} \item Sébastien PIGNOL place alors les coefficients obtenus $a$ et $b$ de la droite de régression respectivement en C2 et F2. Il désire calculer le chiffre d'affaires estimé à l'aide de la droite de régression obtenue à la deuxième question. Quelle formule doit-il saisir en C6 et recopier sur la ligne 6 ? \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad =C2*C4+F2& \textbf{b.}\quad =\$C\$2*C4+\$F\$2& \textbf{c.}\quad =\$C\$2*\$C\$4+\$F\$2\\ \end{tabularx} \medskip \item La ligne 6 appelée modèle 1 correspond à la droite de régression linéaire. Pour obtenir la valeur du chiffre d'affaires modélisé en 2010 sur quelle plage doit-il recopier la formule saisie en C6 ? \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad D6 : K6& \textbf{b.}\quad C6 : K6& \textbf{c.}\quad I6 : K6\\ \end{tabularx} \medskip \item Sébastien PIGNOL se rend compte que la modélisation avec la droite de régression ne lui permet pas d'obtenir le chiffre d'affaires \np{2500}~ milliers d'euros souhaité pour 2010. Il décide alors d'appliquer, à partir de 2007, un deuxième modèle, dans la ligne 7, donné par une suite arithmétique de raison 250 et de premier terme \np{1800}, correspondant au chiffre d'affaires de 2007. Quel chiffre d'affaires obtiendra t-il avec ce modèle en 2010 ? \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad \np{2300} milliers d'euros& \textbf{b.}\quad \np{2550} milliers d'euros& \textbf{c.}\quad \np{2800} milliers d'euros\\ \end{tabularx} \item Il saisit en I7 la formule \og =H7+250 \fg{} et la recopie sur J7 : K7 pour obtenir le chiffre d'affaires en 2010. En se plaçant dans la cellule K7, quelle formule a t-il ? \medskip \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad = J7+250& \textbf{b.}\quad =K7+250& \textbf{c.}\quad =I7+250\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe de l'exercice 3 (QCM)} \vspace{2cm} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|c|p{1.75cm}|*{10}{X|}}\hline \rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline 1 &\multicolumn{12}{c|}{Modélisation du chiffre d'affaires de l'entreprise Sébastien PIGNOL}\\ \hline 2 & &a=&&& b=&&&&&&&\\ \hline 3 & &Année&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010&\\ \hline 4 & &Ancienneté& 1& 2&&&&&&&&\\ \hline 5 & &Chiffre d'affaires&\np{1250}&\np{1400}&\np{1480}&\np{1600}&\np{1720}&\np{1800}&&&&\\ \hline 6 & &Modèle 1& 1268&&&&&&&&&\\ \hline 7 & & Modèle 2&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\np{1800}&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin CGRH Métropole-La Réunion juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% CGRH Polynésie juin 2008 \hypertarget{CGRHPolynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\ juin 2008}} \end{center} \vspace{0,35cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. Le formulaire officiel est autorisé. \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \parbox{0.45\textwidth}{On a relevé le prix trimestriel, en dollars, de la tonne de blé sur le marché mondial du premier trimestre 2005 au deuxième trimestre 2007. Les prix ont été insérés dans la feuille de calcul ci-contre. \textbf{Partie 1 :} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution du prix du blé du 1\up{er} trimestre 2005 au 2\up{e} trimestre 2005. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution global du prix du blé entre le 1\up{er} trimestre 2005 et le 2\up{e} trimestre 2007. \item En déduire le taux d'évolution trimestriel moyen sur cette période. \end{enumerate} \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.45\textwidth}{\begin{tabular}{|*{4}{c|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &Trimestre &Rang $x_{i}$&Prix $y_{i}$ en dollars\\ & & &par tonne\\ \hline 2 &1\up{er}-2005 &1 &116,1\\ \hline 3 &2\up{e}-2005 &2 &117,7\\ \hline 4 &3\up{e}-2005 &3 &120,0\\ \hline 5 &4\up{e}-2005 &4 &118,3\\ \hline 6 &1\up{er}-2006 &5 &129,7\\ \hline 7 &2\up{e}-2006 &6 &138,0\\ \hline 8 &3\up{e}-2006 &7 &145,5\\ \hline 9 &4\up{e}-2006 &8 &182,6\\ \hline 10 &1\up{er}-2007 &9 &171,6\\ \hline 11 &2\up{e}-2007 &10 &189\\ \hline 12 &3\up{e}-2007 &11 &\\ \hline 13 &4\up{e}-2007 &12 &\\ \hline 14 &1\up{er}-2008 &13 &\\ \hline 15 &2\up{e}-2008 &14 &\\ \hline 16 &3\up{e}-2008 &15 &\\ \hline 17 &4\up{e}-2008 &16 &\\ \hline \multicolumn{4}{r}{(source INSEE)}\\ \end{tabular}} \textbf{Partie 2} \medskip Sur la feuille en annexe 1 on a représenté, par un nuage de points, la série statistique double des rangs $x_{i}$ des trimestres et des prix $y_{i}$ du blé. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, on arrondira les coefficients $a$ et $b$ à $0,01$ près. \item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 8,7x + 95$. Tracer $\mathcal{D}$ sur l'annexe 1. \item En utilisant cette droite, estimer graphiquement le prix du blé en dollars par tonne au 4\up{e} trimestre 2008. Faire apparaître sur le graphique les tracés utiles. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 3} \medskip \begin{enumerate} \item Si l'on admet que le prix du blé augmente de 5\,\% par trimestre après le 2\up{e} trimestre 2007, quelle formule, à recopier vers le bas, faut-il placer en cellule C12 pour obtenir les prix au-delà du 2\up{e} trimestre 2007 ? \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur contenue dans la cellule C12. \item Calculer la valeur contenue dans la cellule C17. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \setlength\parindent{0mm} \medskip Une étude de marché s'intéresse à l'évolution de l'offre et de la demande d'un certain produit en fonction du prix unitaire $x$, exprimé en euros. Pour un prix unitaire de $x$ euros, compris entre 2 et 30 le nombre de produits demandés est modélisé par \[f(x) = 0,05x^2 - 4x + 80,8.\] et le nombre de produits offerts est modélisé par \[g(x) = 2x+16.\] \medskip Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, tracées sur le graphique de l'annexe 2 représentent respectivement les fonctions $f$ et $g$. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque que le prix du produit est de 18 \euro. \emph{Vous ferez apparaître sur le graphique les tracés utiles.} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [2 ~;~ 30]. \item Donner une interprétation économique des variations de $f$. \end{enumerate} \item On appelle prix d'équilibre d'un produit, le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre de ce produit. \item On se place au prix d'équilibre, quel est alors le nombre de produits demandés (et donc aussi offerts) et le chiffre d'affaires réalisé ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Un vendeur de jeux vidéo a proposé en 2007 une carte de fidélité à ses clients ; 60\,\% d'entre eux ont pris la carte. Parmi les clients munis d'une carte de fidélité, 70\,\% ont dépensé plus de 300 \euro{} dans l'année, alors que seuls 40\,\% des clients sans carte ont dépensé plus de cette somme annuellement. À la fin de l'année 2007, le vendeur consulte le fichier de tous ses clients. Il choisit au hasard un des clients de l'année 2007. \medskip On nomme : $F$ l'évènement : \og le client choisi possède une carte de fidélité \fg, $D$ l'évènement : \og le client choisi a dépensé plus de 300~\euro{} dans l'année 2007 \fg. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilités ci-dessous . \begin{center}\pstree[treemode=R,treesep=1.5,levelsep=3.5,nodesep=1.5mm]{\TR{}} { \pstree{\TR{$F$}\taput{$0,6$}} { \TR{}~[tnpos=r]{$D$}\taput{\ldots} \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}} { \TR{}~[tnpos=r]{D}\taput{\ldots} \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Montrer que la probabilité de l'événement $F \cap D$ est égale à $0,42$. \item Quelle est la probabilité que la client choisi ne possède pas de carte de fidélité et a dépensé plus de 300~\euro{} dans l'année 2007 ? En déduire la probabilité, de l'évènement D. \item Calculer la probabilité de $F$ sachant $D$. \item Les évènements $F$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}} \end{center} \medskip \textbf{Annexe 1 Exercice 1} \medskip \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.065cm} \begin{pspicture}(-1,80)(16,240) \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,90)(\n,240)} \multido{\n=90+10}{16}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=90,Dy=10]{->}(0,90)(16,240) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=90,Dy=10](0,90)(16,240) \uput[d](13,80){rang du trimestre} \rput{90}(-2,160){prix de la tonne de blé (en dollars)} \end{pspicture} \bigskip \textbf{Annexe 2 Exercice 2} \medskip \psset{xunit=0.33cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(36,90) \multido{\n=0+2}{19}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,90)} \multido{\n=0+10}{10}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(36,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(36,90) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10](0,0)(36,90) \uput[d](32,-5){prix en \euro} \rput{90}(-2.5,70){nombre de produits} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{30}{x 2 mul 16 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{30}{x dup mul 0.05 mul x 4 mul sub 80.8 add} \uput[u](3,70){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](3,22){$\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%%%%%% fin CGRH Polynésie juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% CGRH Métropole septembre 2008 \hypertarget{CGRHMetrosep}{} \lfoot{\small{Métropole--La RŽéunion}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG CGRH Métropole--La RéŽunion~\decofourright\\5 septembre 2008}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \vspace{0,25cm} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40\,\% des poissons sont des brochets, 25\,\% des poissons sont des truites et le reste est constitué de sandres. 50\,\% des brochets de ce lac sont de taille réglementaire ainsi que 60\,\% des truites et 45\,\% des sandres. On pêche un poisson de ce lac : tous les poissons ont la même probabilité d'être pêchés. \medskip On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $B$ : \og le poisson pêché est un brochet \fg{} ; \item[$\bullet~$] $T$ : \og le poisson pêché est une truite \fg{} ; \item[$\bullet~$] $S$ : \og le poisson pêché est un sandre \fg{} ; \item[$\bullet~$] $R$ : \og le poisson pêché est de taille réglementaire \fg{} ; \item[$\bullet~$] $\overline{R}$ : l'évènement contraire de $R$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Décrire par une phrase l'évènement $\overline{R}$ puis l'évènement $T \cap R$. \item Compléter l'arbre de probabilité fourni sur l'annexe I \medskip \emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au centième.} \item \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité que le poisson pêché soit un brochet de taille réglementaire est égale à $0,20$. \item Calculer la probabilité que le poisson pêché soit un sandre de taille réglementaire. \item Montrer que la probabilité que le poisson pêché soit de taille réglementaire est sensiblement égale à $0,51$. \item En déduire $p\left(\overline{R}\right)$. \end{enumerate} \item Sachant que le poisson pêché n'est pas de taille réglementaire, quelle est la probabilité que ce soit une truite ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution des ventes d'appareils de chauffage au bois dans l'habit individuel en France entre 2001 et 2005. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|c|}}\hline &&Nombre d'appareils de\\ Année &Rang $x_{i}$ & chauffage au bois vendus\\ & &en milliers $y_{i}$\\ \hline 2001 &1 & 273\\ \hline 2002 &2 & 292\\ \hline 2003 &3 & 337\\ \hline 2004 &4 & 360\\ \hline 2005 &5 & 430\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\footnotesize D'après Dossier de presse ADEME \og L'éolien, une énergie en plein essor \fg novembre 2006} \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Quel était le nombre d'appareils de chauffage au bois vendu en France en 2000 sachant qu'il a augmenté de 5\,\% entre 2000 et 2001 ? \item On construit un tableau d'indices en prenant comme base 100 l'année 2001 \begin{enumerate} \item Compléter l'extrait de feuille de calcul reproduit dans l'annexe 2.\emph{On donnera des valeurs décimales arrondies au dixième.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash\footnotesize}m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline 2 & Nombre d'appareils de chauffage au bois vendus&273 &292 &337 & 360 &430\\ \hline 3 & Indices& 100 & & & &157,5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Quelle formule, à recopier sur la plage D3\negthinspace:F3, peut-on saisir dans la cellule C3 ? \end{enumerate} \item Déterminer le taux d'évolution du nombre d'appareils de chauffage au bois vendu entre les années 2001 et 2005. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'appareils de chauffage au bois entre 2001 et 2005. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \textbf{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip On considère le tableau ci-dessus. Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donné dans l'annexe 2 On souhaite réaliser un ajustement affine. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront donnés à $0,1$ près. \item À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite D d'équation $y = 38x + 224$. Tracer la droite D sur le graphique de l'annexe 2. \item En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre d'appareils de chauffage au bois vendus pour 2007. Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} Dans cet exercice, pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte}. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Chaque bonne réponse rapporte $1$~point, chaque réponse incorrecte retire $0,25$~point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est $0$.} \medskip Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \medskip On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-10~;~14]$. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,5) \psframe(12,5) \psline(0,3)(12,3) \psline(0,4)(12,4) \psline(3,0)(3,5) \rput(1.5,4.5){Valeurs de $x$} \rput(3.4,4.5){$-10$} \rput(6,4.5){$-3$}\rput(9,4.5){5} \rput(11.6,4.5){14} \rput(1.5,3.5){Signe de $f'(x)$} \rput(4.5,3.5){+} \rput(6,3.5){$0$} \rput(7.5,3.5){$-$} \rput(9,3.5){$0$} \rput(10.5,3.5){+} \rput(1.5,1.5){Variations de $f$} \rput(3.2,0.2){2} \rput(6,2.75){5} \rput(9,0.2){$-4$} \rput(11.75,2.8){$-1$} \psline{->}(3.5,0.4)(5.6,2.75) \psline{->}(6.3,2.75)(8.75,0.4) \psline{->}(9.4,0.4)(11.4,2.75) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On a : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) $f$ positive sur [5~;~14]& B) $f$ positive sur $[- 10 ~;~ -3]$& C) $f$ négative sur $[- 10~;~5]$\\ \end{tabularx} \item On considère l'équation $f(x) = 0$. Sur l'intervalle $[- 10~;~14]$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) elle n'admet aucune solution &B) elle admet une unique solution& C) on ne peut pas répondre\\ \end{tabularx} \item On cherche à comparer $f(-1)$ et $f(1)$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) $f(-1) > f(1)$& B) $f(-1) < f(1)$& C) on ne peut pas répondre\\ \end{tabularx} \item La courbe représentative de la fonction $f$ admet au point d'abscisse $-3$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) une tangente horizontale&B) une tangente dont le coefficient directeur est négatif&C) une tangente dont le coefficient directeur est positif\\ \end{tabularx} \item Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $-10$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) $y = -10x + 2$& B) $y = x+2$& C) $y=x+12$\\ \end{tabularx} \item Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $5$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} A) $y = -4$& B) $x = -4$& C) $y = 0$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \textbf{à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1} \bigskip \begin{center} \psset{arrows=->}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$B$}} { \TR{$R$} \TR{$\overline{R}$} } \pstree{\TR{$T$}} { \TR{$R$} \TR{$\overline{R}$} } \pstree{\TR{$S$}} { \TR{$R$} \TR{$\overline{R}$} } } \end{center} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 2} \bigskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash\footnotesize}m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline 2 & Nombre d'appareils de chauffage au bois vendus &273 &292 &337 &360 &430\\ \hline 3 &Indices&100 & & & &157,5\\ \hline \end{tabularx} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2} \textbf{à rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2} \medskip \psset{xunit=2cm,yunit=0.0667cm} \begin{pspicture}(0,200)(6,500) \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,200)(\n,500)} \multido{\n=0.0+0.2}{30}{\psline[linecolor=orange](\n,200)(\n,500)} \multido{\n=200+25}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)} \multido{\n=200+5}{60}{\psline[,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=200,Dy=25](0,200)(0,200)(6,500) \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](1,273)(2,292)(3,337)(4,348)(5,430) \rput{90}(-0.5,450){Nombre d'appareils de chauffage} \rput(5.5,185){Rang} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%% fin CGRH Métropole septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%%% Polynésie CGRH septembre 2008 \hypertarget{PolynesieCGRHsep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\septembre 2008}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.} Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{ Une réponse exacte vaut $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip On donne $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$. \medskip \parbox{0.4\linewidth}{$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale aux points A$(-2~;~0)$ et C$(0~;~-4)$.\\ $\mathcal{D}$ est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B$(-1~;~ -2)$.\\ $\mathcal{D}$ passe par le point de coordonnées $(0~;~-5)$.} \hfill \parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-4,-7)(2.1,6.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,6.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(2.5,6.5) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(2.5,6.5) \uput[ul](-2,0){A} \uput[dl](-1,-2){B} \uput[dr](0,-4){C} \uput[ul](-3,-4){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[ur](-3,4.2){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O} \psdots(-2,0)(-1,-2)(0,-4) \psplot{-3.6}{0.5}{-3 x mul 5 sub} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3}{1.5}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 4 sub} \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](1.5,0)(1.5,6.125)(0,6.125) \end{pspicture*} } \begin{enumerate} \item Le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f(x) = 0$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ 1& \textbf{b.}~~ 2& \textbf{c.}~~ 3\\ \end{tabularx} \item Les solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f'(x) = 0$ sont : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $-2$ et $1$&\textbf{b.}~~$ - 2$ et $0$&\textbf{c.}~~ $-3$ et $0$.\\ \end{tabularx} \item Le nombre dérivé $f'(-1)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~1,5&\textbf{b.}~~$ - 2$&\textbf{c.}~~$- 3$\\ \end{tabularx} \item Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $y = - 3x$&\textbf{b.}~~$y= - 3x - 5$&\textbf{c.}~~$y = - 2x - 5$.\\ \end{tabularx} \item La représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[l](-2.3,3){$\mathcal{C}_{1}$} \psplot{-2.5}{0.5}{x dup mul 3 mul x 6 mul add} %\psplot[linecolor=blue]{-2.5}{0.5}{x dup mul 0.5 mul x add} \end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[r](-2.8,3){$\mathcal{C}_{2}$} \psplot{-3}{1.5}{x dup mul x add 2 sub} \end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[u](-3,-2){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot{-3}{1.5}{1.5 x dup mul 0.75 mul sub 0.75 x mul sub} \end{pspicture}\\ \textbf{a.}~~&\textbf{b.}~~&\textbf{c.}~~\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en France, exprimé en millions. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1985&1990&1995&2000&2005\\ \hline Nombre d'habitants (en millions)&56,6&58,2&59,4&60,8&62,8\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{(Source INSEE)}}\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution du nombre d'habitants de 1985 à 2005. Arrondir à 0,01\,\% \item En déduire le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. Arrondir à 0,01\,\%. \item Calculer une estimation, en millions d'habitants, du nombre d'habitants en 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5\,\%. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessous dans le repère orthogonal donné en annexe. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1985 &1990 & 1995 & 2000 & 2005\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Nombre d'habitants (en millions)&56,6 &58,2 &59,4 &60,8 &62,8\\ \hline \end{tabularx} \item On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés. \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ de régression de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels à déterminer à $10^{-1}$ près. \medskip \emph{Aucune justification n'est demandée.} Construire la droite $\mathcal{D}$ dans le repère donné en annexe. \item On suppose que l'évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement obtenue à la question précédente. Déterminer graphiquement une estimation du nombre d'habitants en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80~\euro{} et Bastien 100~\euro. Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6~\euro{} et celles de Bastien de 3\,\%. Pour tout entier $n$, on note $U_{n}$ et $V_{n}$ les étrennes reçues par Anne et Bastien l'année $2000 + n$. On a donc $U_{0} = 80$ et $V_{0} = 100$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002. \item Donner la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$. Justifier. En déduire $U_{n}$ en fonction de $n$. \item Donner la nature de la suite $\left(V_{n}\right)$. Justifier. En déduire $V_{n}$ en fonction de $n$. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien. \end{enumerate} \item On note $S_{n}$ et $T_{n}$ la somme des étrennes reçues per Anne et Bastien de l'année 2000 jusqu'à l'année $2000 + n$. On a donc $S_{n} = U_{0}+U_{1} + \cdots + U_{n}$ et $T_{n} = V_{0} + V_{1}+ \cdots + V_{n}$. Calculer $S_{15}$ et $T_{15}$. \medskip \textbf{Formulaire :} \begin{itemize} \item La somme $S$ des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par : \[S = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = (n + 1) \times \dfrac{u_{0} + u_{n}}{2}\] \item La somme $T$ des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[T = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\] \end{itemize} \item On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline\hline 1 &$n$ &Année &$U_{n}$ &$V_{n}$ &$S_{n}$&$T_{n}$\\ \hline 2 &0 &2000 &80 &100 &80 &100\\ \hline 3 &1 &2001 & & & &\\ \hline 4 &2 &2002 & & & &\\ \hline 5 &3 &2003 & & & &\\ \hline $\vdots$&$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$&$\vdots$\\ \hline $\vdots$&$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$&$\vdots$\\ \hline 17 &15 &2015 & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule, à recopier sur la plage C4:C17, peut-on entrer dans la cellule C3 ? \item Quelle formule, à recopier sur la plage D4:D17, peut-on entrer dans la cellule D3 ? \item Quelle formule, à recopier sur la plage E4:E17, peut-on entrer dans la cellule E3 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\Large \textbf{ANNEXE À RENDRE}} \vspace{1cm } \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-0.5,55.5)(7,66) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,56)(7,66) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=56](0,56)(7,66) \uput[d](6.5,55.5){Rang} \rput{90}(-1,64){Nombre d'habitants en millions} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin CGRH Polynésie septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% CGRH Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \hypertarget{CGRHCaledo}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG CGRH Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2008}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). \emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses est correcte. Écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \emph{ Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.} \medskip \begin{enumerate} \item Une quantité augmente 3 fois de suite de 2\,\%. Quel est le pourcentage d'augmentation global ? \begin{enumerate} \item 6\,\% \item \np{6,1208}\,\% \item Cela dépend de la valeur de départ. \end{enumerate} \item Une quantité augmente 3 fois de suite de 20\,\%. Quel est le pourcentage d'augmentation global ? \begin{enumerate} \item 60\,\% \item 61,208\,\% \item 72,8\,\% \end{enumerate} \item Quel est, à 0,01\,\% près, le taux mensuel moyen équivalent à un taux annuel de 12\,\% ? \begin{enumerate} \item 0,95\,\% \item 1,00\,\% \item 1,23\,\% \end{enumerate} \item On lance un dé cubique non truqué trois fois de suite. Quelle est la probabilité de l'évènement \og La face \og six \fg{} sort les trois fois \fg{} ? \begin{enumerate} \item La même probabilité que celle de l'évènement \og La face \og deux \fg{} sort les trois fois \fg \item 1/18 \item 1/6 \end{enumerate} \item On a lancé un dé cubique non truqué trois fois. On a obtenu à chaque fois un \og six \fg. On lance le dé une quatrième fois. Que peut-on dire sur la sortie du \og six \fg{} pour ce quatrième lancer ? \begin{enumerate} \item Le \og six \fg{} est déjà beaucoup sorti, donc il a moins de 1 chance sur 6 de sortir. \item Le \og six \fg{} a exactement 1 chance sur 6 de sortir. \item Le \og six \fg{} est déjà beaucoup sorti, donc il a plus de 1 chance sur 6 de sortir. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \emph{Dans cet exercice en particulier, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Ce tableau donne l'évolution de l'âge moyen au premier mariage en France métropolitaine : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1980 &1985&1990&1995&2000 &2001&2002&2003&2004&2005\\ \hline Hommes &25,1 &26,3&27,6&28,9& 30,2 &30,2&30,4&30,6&30,8&31,1\\ \hline Femmes &23 &24,2&25,6&26,9& 28 &28,1&28,3&28,5&28,8&29,1\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize Source Insee, Bilan démographique 2006, Mariages et nuptialité} \end{tabularx} \medskip \textbf{Lecture du tableau :} en 2000, l'âge moyen des femmes à leur premier mariage était de 28 ans. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude concernant les hommes} \begin{enumerate} \item Représenter sur le graphique en annexe le nuage de points de la série concernant les hommes. \item Déterminer à l'aide de la calculatrice, sans justification, une équation sous la forme $y = ax + b$ de la droite d'ajustement du nuage de points de la série concernant les hommes par la méthode des moindres carrés. On arrondira $a$ et $b$ à $10^{-2}$ près. \item Tracer cette droite sur le graphique. \item Par lecture graphique, donner une estimation de l'âge moyen des hommes au premier mariage en 2008, si la tendance actuelle se poursuivait jusque-là . Tracer les éléments permettant cette lecture. \end{enumerate} \item \textbf{Étude concernant les femmes} On suppose qu'à partir de l'année 2005, l'âge moyen des femmes à leur premier mariage augmente de $0,24$ année par an. On note $u_{0}$ cet âge pour l'année 2005, $u_{1}$ pour l'année 2006, et de façon générale $u_{n}$ pour l'année $2005 + n$. \begin{enumerate} \item Donner $u_{0}$, calculer $u_{1}$. \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \item Selon cette supposition, quel serait l'âge moyen des femmes à leur premier mariage en 2008 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par \[f(x) = x^3 - 11x^2 + 39x - 20.\] On donne la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par \[g(x) = x^3 - 11x^2 + 23x + 52.\] (Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$, est tracée en annexe). \medskip \textbf{Étude de la fonction} \boldmath $f.$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe. \item Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Montrer à l'aide d'un développement que $f'(x) = (x - 3)(3x - 13)$. \item En utilisant un tableau de signes, étudier le signe de $f'$ et donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~7]. \item Compléter le graphique donné en annexe par le tracé de la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$. \medskip \textbf{Intersection de deux courbes} \medskip \item \begin{enumerate} \item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = g(x)$. \item Déduire de la question précédente, les coordonnées du point d'intersection des deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. \item Tracer sur le graphique en annexe les éléments permettant de retrouver graphiquement ces coordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center}{\Large Annexe à rendre avec la copie}\end{center} \vspace{0,2cm} \textbf{Exercice 2} \vspace{2cm} \def\psvlabel#1{\small#1} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(35,13) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](0,0)(35,13) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Ox=1975,Oy=20,labelFontSize=\textstyle]{->}(0,0)(35,13) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Ox=1975,Oy=20,labelFontSize=\textstyle](0,0)(35,13) \uput[u](33,0){Année} \uput[r](0,12.5){Âge} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3} \vspace{0,5cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline $f(x)$ &$- 20$ &9 &22 &25 &24 &25 &34 &57\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.38cm,yunit=0.138cm} \begin{pspicture}(-1,-20)(7.5,70) \multido{\n=-1.0+0.2}{43}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](\n,-20)(\n,70)} \multido{\n=-20+2}{46}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=orange](-1,\n)(7.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(-0.9,-20)(7.5,70) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x 3 exp x 2 exp 11 mul sub 23 x mul add 52 add} \uput[ur](2,62){$\mathcal{C}_{g}$} \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,52)(7,17) \uput[u](7,0){$x$}\uput[l](0,70){$y$}\uput[dl](O} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin CGRH Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Pondichéry avril 2008 \hypertarget{Pondichery}{} \lhead{\small Mercatique} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{15 avril 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry~\decofourright\\15 avril 2008}} \end{center} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. \end{center} \vspace{0,35cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.} \textbf{I.} On considère l'arbre de probabilité suivant, dans lequel $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{E}}$ sont les évènements contraires respectivement des évènements A et E. \medskip \begin{center}\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt]{\Tdot} { \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{$0,15$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{$0,3$} } \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{A}$}\tbput{}} { \Tdot~[tnpos=r]{$E$}\taput{$0,25$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E}$}\tbput{} } } \end{center} \begin{enumerate} \item La probabilité de l'évènement $A \cap E$ est \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{c X}} \textbf{a.}&0,85& \textbf{b.}& 0,105& \textbf{c.}&0,142\:5\\ \end{tabularx} \item La probabilité de l'évènement $E$ est : \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{c X}} \textbf{a.}&0,212\:5&\textbf{b.} &0,95&\textbf{c.}&0,317\:5\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \textbf{II.} On place 300 euros à intérêts composés au taux annuel de 4\,\%. À l'aide du tableau ci-dessous, répondre aux questions suivantes. \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &Année $n$ &Taux & Capital\\ \hline 2 &0 &4 &300\\ \hline 3 &1 & &312\\ \hline 4 &2 & &324,48\\ \hline 5 &3 & &\np{3374592}\\ \hline 6 &4 & &\np{350,957568}\\ \hline 7 &5 & &\np{364,995871}\\ \hline 8 &6 & &\np{379,595706}\\ \hline 9 &7 & &\np{394,779534}\\ \hline 10 &8 & &\np{410,570715}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans la cellule C3, on a entré une formule que l'on a recopiée vers le bas. Cette formule est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}} \textbf{a.}&C2*(1+\$B\$2/100)&\textbf{b.}& C\$2*(1+B2/100)&\textbf{c.}&\$C\$2*(1+\$B\$2/100)\\ \end{tabularx} \item Les intérêts, arrondis au centime d'euro, acquis au bout de $7$~ans s'élèvent à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}} \textbf{a.}& 94,78&\textbf{b.}& 379,60&\textbf{c.}& 394,78 \end{tabularx} \end{enumerate} \textbf{II.} L'inéquation $\text{e}^{x -3} \leqslant 4$ a pour ensemble de solutions dans $\R$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{c X}} \textbf{a.}&$S = ]-\infty~;~4 + \ln(3)] $&\textbf{b.}& $S =]-\infty~;~ 7]$&\textbf{c.}&$S = ]- \infty~;~ 3 + \ln (4)]$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Hélène est salariée de la même entreprise depuis maintenant quinze ans. Elle regarde l'évolution de son salaire qui dépend à la fois de la variation des cotisations, des changements d'échelons et des augmentations occasionnelles. Elle observe les résultats suivants sur les huit dernières années. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.7cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Salaire mensuel moyen $y_{i}$ (en \euro) &\np{1650}&\np{1725}&\np{1740} &\np{1750} &\np{1825} &\np{1850} &\np{1950} &\np{1960}\\ \hline \end{tabularx}\\ \begin{enumerate} \item Tracer le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère d'unités graphiques : \medskip $1$~cm pour une année sur l'axe des abscisses, $2$~cm pour 100 \euro{} sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de $\np{1600}$~\euro. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G et le placer dans le repère précédent. \item Avec la calculatrice, déterminer une équation de la droite ($\Delta$) d'ajustement de $y$ en $x$ de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés : les coefficients de l'équation seront arrondis à l'unité. \item Tracer la droite ($\Delta$) dans le repère de la question 1. \end{enumerate} \item On considère que cette droite permet un ajustement de la série statistique valable jusqu'en 2015. \begin{enumerate} \item Estimer, à l'aide du graphique, le salaire moyen mensuel d'Hélène en 2010 \emph{en laissant apparents sur le graphique les traits de rappel} (arrondir à la dizaine d'euros). \item Son salaire atteindra-t-il \np{2400}~\euro{} avant 2015 ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Sur la figure 1 donnée en \textbf{annexe} (à rendre avec la copie), on a tracé les droites : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{X X} $d_{1}$ d'équation $y = 5$ ~;& $d_{2}$ d'équation $y = - \dfrac{3x}{7} + \dfrac{250}{21}$~;\\ $d_{3}$ d'équation $y = -x + 17$~ ;& $d_{4}$ d'équation $x =4$. \\ \end{tabularx} \end{center} Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système suivant : \[ \left\{\begin{array}{l c l} x & \geqslant &4\\ y & \geqslant &5\\ y & \leqslant & - x + 17\\ y & \leqslant & \dfrac{-3x}{7} + \dfrac{250}{21}\\ \end{array}\right.\] \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Les propriétaires d'un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location. Ils doivent acheter deux types de planche à voile : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item des planches, au coût unitaire de 900~\euro, destinées aux débutants ; \item des planches, au coût unitaire de 2\:100~\euro, destinées aux utilisateurs confirmés. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Les contraintes sont les suivantes : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5~planches pour utilisateurs confirmés. \item[$\bullet~$] Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17~planches. \item[$\bullet~$] Le budget maximum pour l'achat de l'ensemble des planches est de \np{25000}~\euro. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $x$ le nombre de planches pour débutants et $y$ le nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les contraintes d'achat sont caractérisées par le système de la partie A avec $x$ et $y$ entiers. \item Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ? Justifier la réponse \item Les planches pour débutants seront louées 15~\euro{} l'heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20~\euro{} l'heure. On suppose que toutes les planches seront louées. \begin{enumerate} \item Exprimer, en fonction de $x$ et $y$ le chiffre d'affaire horaire $R$ du magasin. \item Les propriétaires souhaitent déterminer le couple $(x~;~y)$ qui fournira le chiffre d'affaire horaire maximum. À l'aide d'un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée en annexe. Parmi les formules. suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie : Formule 1 : 15*\$A\$2+20*\$B\$1 Formule 2 : 15*A\$2+20*B\$1 Formule 3 : 15*\$A2+20*\$B1 \item Donner, parmi les couples $(x ~;~y)$ qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d'affaire maximum. Quel est ce chiffre d'affaire maximum ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~15] par \[ f(x) = 2\ln (x + 1) + 1.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~15]. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~15]. \item Établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~15]. \end{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) : \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline $f(x)$ & & &3,2& &4,2&4,6&4,9&5,2& & &5,8& &6,1&6,3& &\\ \hline \end{tabularx}} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal (unité : $1$~cm). \item Soit $(D)$ la droite d'équation $y = 0, 8x$. Tracer la droite $(D)$ dans le repère précédent. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise fabrique des pièces pour avions. On note $x$ le nombre de pièces fabriquées par mois ($0 \leqslant x \leqslant 15$). Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliers d'euros, sont donnés par : $f(x) = 2\ln (x + 1) +1$. Le prix de vente d'une pièce est $0,8$~millier d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise vend $x$ pièces, déterminer la recette exprimée en milliers d'euros. \item Vérifier que le bénéfice mensuel est : $B(x) = 0,8x - 1 - 2\ln (x + 1)$. \item Calculer une valeur approchée de $B(3)$ et $B(14)$, puis préciser pour chacun de ces cas si l'entreprise est bénéficiaire. \item En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu'il faut fabriquer et vendre pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \textbf{EXERCICE 3} \begin{flushleft}\textbf{Figure 1} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=0.3529cm}\begin{pspicture}(-5,-2)(29,19) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(29,19) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.9,-1.9)(29,19) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.9,-1.9)(29,19) \psline[linewidth=1.25pt](4,-2)(4,19) \psline[linewidth=1.25pt](-5,5)(29,5) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{29}{250 21 div 3 x mul 7 div sub} \psline[linewidth=1.25pt](-2,19)(19,-2) \uput[d](-3,5){$d_{1}$} \uput[d](-3,13){$d_{2}$} \uput[d](-3,20){$d_{3}$} \uput[r](4,18){$d_{4}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \vspace{1.5cm} \begin{flushleft}\textbf{Question 3. b. Feuille de calcul} \end{flushleft}\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1&\backslashbox{$x$}{$y$} &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline 2&4 &160&180&200&220&240&260&280\\ \hline 3&5 &175&195&215&235&255&275&295\\ \hline 4&6 &190&210&230&250&270&290&310\\ \hline 5&7 &205&225&245&265&285&305&325\\ \hline 6&8 &220&240&260&280&300&320&340\\ \hline 7&9 &235&255&275&295&315&335&355\\ \hline 8&10 &250&270&290&310&330&350&370\\ \hline 9&11 &265&285&305&325&345&365&385\\ \hline 10&12 &280&300&320&340&360&380&400\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique Pondichéry avril 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Antilles juin 2008 \hypertarget{MercaAntilles}{} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Antilles-Guyane juin 2008~\decofourright\\ Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.} \medskip \textbf{I.} Le nombre $\text{e}^{\frac{2}{3}} \times \text{e}^{\frac{1}{3}}$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~e &\textbf{b.}~~ $1$&\textbf{c.} ~~$\text{e}^{\frac{2}{9}}$\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{II.} Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9\,\%. Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1\,\%, est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ 10,8\,\% &\textbf{b.}~~12,1\,\%&\textbf{c.} ~~11,4\,\%\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{III.} Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un groupe de candidats à un examen en fonction de l'étude de leur première langue vivante. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Anglais& Allemand& Russe\\ \hline Admis &117& 68& 33\\ \hline Refusé &16& 9& 7\\ \hline \end{tabularx} \medskip On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu'il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l'allemand est à $10^{-3}$ près : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ 0,272 &\textbf{b.}~~0,883&\textbf{c.} ~~0,312\\ \end{tabularx}\\ \medskip \textbf{IV.} Une entreprise étudie l'évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Nombre de clients $y_{i}$ &120 &126 &130 &135 &142\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $y= - 0,19x+21,44$ &\textbf{b.}~~$y=5,3x+ 114,7$&\textbf{c.} ~~$y=5,3x - \np{10490,6}$\\ \end{tabularx} \medskip \item On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d'équation $y =115,44 \times 1,04^x$. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, une estimation du nombre de clients en 2008 est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ 158 &\textbf{b.}~~152&\textbf{c.} ~~840\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à \np{2000}~pièces. Le prix de vente de $100$~pièces est fixé à \np{15000}~\euro. La recette en milliers d'euros, obtenue pour la vente de $x$ centaines de pièces est donc $R(x) =15x$. Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique $R_{1}$ de la fonction $R$ et la représentation graphique $C_{1}$ de la fonction coût de production notée $C$ sur l'intervalle [0~;~ 20]. \medskip \textbf{Partie A : lectures graphiques} \medskip Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le coût de production de $900$~pièces ? \item Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de \np{90000}~\euro ? \item Combien l'entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] est donnée par : \[ C(x) = 0,5x^2 + 6,5x + 10 + 4,5\ln (x + 1).\] On rappelle que le coût de production, en milliers d'euros, est le nombre $C(x),~ x$ étant le nombre de centaines de pièces produites ($x$ est compris entre $0$ et $20$~centaines de pièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le bénéfice est donné par la fonction $B$, définie sur [0~;~20] par : \[B(x) = - 0,5x^2 + 8,5x - 10 - 4,5\ln (x + 1).\] On note $B'$ la fonction dérivée de $B$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item Calculer $B'(x)$. \item Vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], $B'(x) = \dfrac{(x + 0,5)(8 - x)}{x+1}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que le signe de $B'(x)$ est celui de $(8 - x)$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item En déduire le signe de $B'(x)$ puis le tableau de variation de $B$ sur l'intervalle [0~;~20]. \end{enumerate} \item Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal à l'euro près ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip L'entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950. La première année d'extraction l'entreprise a récupéré \np{20000}~tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d'extraction, de l'appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1\,\% par an. On appelle $T_{n}$ le nombre de tonnes extraites l'année $(1950 + n)$. On a donc $T_{0} = \np{20000}$. \medskip \emph{Les résultats seront arrondis à la tonne.} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $T_{1} = \np{19800}$ puis calculer $T_{2}$ et $T_{3}$. \item Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_{n}$. \item Quelle est la nature de la suite $\left(T_{n}\right)$ ? En déduire l'expression de $T_{n}$ en fonction de $n$. \item Quelle est la quantité extraite en 2008 ? \item Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l'année $(1950 + n)$ est : \[S_{n} = \np{2000000} \times \left(1 - 0,99^{n+1}\right).\] \item En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait \np{1000000} de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Formulaire :} \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est donnée par : \[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n} =(n+1)\times \dfrac{u_{0}+ u_{1}}{2}.\] \item La somme $S$ des $(n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q\: (q > 1)$ est donnée par : \[S = u_{0}+u_{1}+ \cdots + u_{n}= u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\] \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Évolution de la population en France} \medskip \emph{Le tableau ci-dessous est extrait d'une feuille de calcul d'un tableur.} \emph{Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{c|}*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F\\ \hline 1&\multicolumn{6}{c|}{Populations urbaine et rurale en France métropolitaine}\\ \hline 2& &Population& Population& Population& Taux de& Indice de\\ \multirow{2}{0.2cm}{3}&\multirow{2}{0.5cm}{}&urbaine& rurale& totale& population& population\\ & &(en millions)& (en millions)& (en millions)&urbaine (en \%)&urbaine\\ \hline 4 &1954 &24,5 &18,2 &42,7 &57,4 &100\\ \hline 5 &1962 &29,4 &17,1 & & &\\ \hline 6 &1968 &34,8 &14,9 & & &\\ \hline 7 &1975 &38,4 &14,2 & & &\\ \hline 8 &1982 &39,9 &14,5 & & &\\ \hline 9 &1990 &41,9 &14,7 & & &\\ \hline 10 &1999 &44,2 &14,3 & & &\\ \hline 11 & & & & & &\\ \hline 12&\multicolumn{6}{c|}{Source INSEE, recensement de la population}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.} \begin{enumerate} \item Calculer pour l'année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale. \item On fixe l'indice de population urbaine à la base 100 en 1954. Quel est l'indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ? \item On s'intéresse dans cette question à l'évolution de la population totale. \begin{enumerate} \item Montrer qu'avec l'arrondi fixé le taux d'évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37\,\%. \item En déduire le taux annuel moyen d'augmentation entre 1954 et 1999. \item Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage des cellules D5 : F10. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(21,320) \multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,320)} \multido{\n=0+10}{33}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.6pt](0,\n)(21,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20]{->}(0,0)(21,320) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=20](0,0)(21,320) \uput[u](21,0){$x$} \uput[r](0,320){$y$} \uput[u](16,0){Nombre de centaines de pièces}\rput{90}(-2.5,300){milliers d'euros} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=6000]{0}{18.5}{x 2 exp 0.5 mul 6.5 x mul add 10 add x 1 add ln 4.5 mul add} \psplot{0}{20}{15 x mul} \uput[d](19,280){$R_{1}$} \uput[d](19,320){\blue $C_{1}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique Antilles juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique La Réunion juin 2008 \hypertarget{MercaReunion}{} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STG Mercatique La Réunion~\decofourright\\ juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip Selon l'institut national de la statistique et des études économiques (INSEE) un indice des prix a suivi, en France, l'évolution suivante entre les années 2000 et 2006. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 & 6 &7\\ \hline Indice $y_{i}$ &100 &101,5 &102,8 &104,0 &107,1 &109,4 &113,5\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\emph{INSEE : formation brute de capital fixe}}\\ \end{tabularx} \medskip L'exercice a pour objet d'étudier l'évolution de cet indice en utilisant deux modèles mathématiques. Une représentation graphique du nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe 3, à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item Ajustement affine \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième). \item À partir des calculs effectués ci-dessus, on retient comme ajustement affine du nuage de points la droite d'équation $y = 2{,}2x + 96{,}8$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe 3, à rendre avec la copie. \item En supposant que ce modèle reste valable pour l'année 2007, donner une prévision de la valeur de l'indice pour 2007. Indiquer la méthode utilisée. \end{enumerate} \item Ajustement à l'aide d'un logiciel Un logiciel de calcul propose d'ajuster le nuage de points à l'aide d'une partie de la courbe d'équation $y = 0{,}3x^2 + 0{,}1x + 99{,}9$. La courbe $\mathcal{C}$ est tracée en annexe 3, à rendre avec la copie. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse 8. \item On suppose que le modèle défini par la courbe $\mathcal{C}$ reste valable pour l'année 2007. Donner, selon ce modèle, la valeur de l'indice pour 2007. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale. {\small (*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.} \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &\multicolumn{1}{c|}{A}&B&C&D&E&F& G&H\\ \hline 1& Année &2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline 2&Nombre de SMS interpersonnels (en millions)&\np{3234}&\np{5877}&\np{8410}&&\np{12712}&\np{15023}&\np{17546}\\ \hline 3& Indice&100&182&260&335&&465&543\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Source ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité). \item Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité). \end{enumerate} \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3. \item Dans cette question les résultats seront arrondis à 1\:\%. \begin{enumerate} \item Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007. \item Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip Une entreprise comprend $375$~salariés. Elle dispose d'un restaurant d'entreprise. Une enquête a été réalisée sur la fréquentation de ce restaurant par les salariés de cette entreprise. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &Hommes& Femmes& Total\\ \hline Nombre de salariés qui mangent régulièrement au restaurant d'entreprise& 110& 55& 165\\ \hline Nombre de salariés qui mangent occasionnellement au restaurant d'entreprise& 42& 33& 75\\ \hline Nombre de salariés qui ne mangent jamais au restaurant d'entreprise&58& 77& 135\\ \hline Nombre total de salariés& 210& 165& 375\\ \hline \end{tabularx} \medskip On choisit au hasard un salarié dans la liste des $375$~salariés de cette entreprise. Tous les salariés ont la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] F : \og Le salarié choisi est une femme \fg ; \item[] R : \og Le salarié choisi mange régulièrement au restaurant d'entreprise \fg ; \item[] O : \og Le salarié choisi mange occasionnellement au restaurant d'entreprise \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase l'évènement F~$\cap$~R, puis calculer sa probabilité (arrondir le résultat au millième). \item Traduire par une phrase l'évènement R~$\cup$~O, puis calculer sa probabilité. \item Calculer la probabilité que, sachant qu'il mange occasionnellement au restaurant d'entreprise, le salarié choisi soit une femme (donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \item Les évènements F et O sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Cet exercice a pour objet une étude de marché pour un article donné. Cette étude de marché a montré que le nombre de personnes désirant acheter cet article est fonction du prix $x$, en euros, auquel il est proposé à la vente. Pour cet article et pour un prix $x$, on note $f(x)$ le nombre de milliers d'acheteurs. La fonction $f$ est la fonction de demande. Une entreprise décide de fabriquer cet article. Cette entreprise pourra fabriquer $g(x)$ milliers d'articles au prix $x$. La fonction $g$ est la fonction d'offre. Les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$ sont données en annexe 1$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que pour cet article la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par : \[f(x) = 10 - 3\ln (x).\] \begin{enumerate} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$. \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~12]. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~12]. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} On suppose que pour cet article la fonction $g$ est définie sur l'intervalle [1~;~12] par \[g(x) = 2 \ln (x).\] L'entreprise pourra-t-elle vendre tous les articles qu'elle aura fabriqués si le prix de vente est fixé à 8~\euro{}? \medskip \item On se propose de déterminer, à l'aide d'un tableur, la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. Cette valeur est appelée prix d'équilibre de l'article. La feuille de calcul de l'annexe 2, donne les valeurs de $f(x)$, les valeurs de $g(x)$ et les valeurs de $g(x) - f(x)$, pour $x$ variant de $7$ à $7,5$ au pas $0,01$. Sur ce tableur la fonction logarithme népérien se note LN( ) et pour les colonnes B, C et D le format d'affichage est un format numérique à trois décimales. \begin{enumerate} \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B2:B52. \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules D2:D52. \item Donner la valeur du prix d'équilibre (arrondir au centime d'euro). \item Déterminer le nombre d'articles qui seront achetés si le prix de vente est égal au prix d'équilibre. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.65cm} \begin{pspicture}(12,10.2) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(12,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(12,10) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{12}{10 x ln 3 mul sub} \psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{1}{12}{x ln 2 mul} \rput(6,11){\textbf{ANNEXE 1}} \uput[dl](0,0){O}\uput[u](4,6){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[d](4,2.8){\green $\mathcal{C}_{g}$} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\scriptsize{$\begin{array}{|*{5}{c|}} \multicolumn{5}{c}{\textbf{ANNEXE 2}}\\ \hline &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}\\ \hline 1& x & f(x) & g(x) & g(x)-f(x)\\ \hline 2& 7,00& 4,162 & 3,892 & -0,270\\ \hline 3& 7,01& 4,158 & 3,895 & -0,263\\ \hline 4& 7,02& 4,154 & 3,898 & -0,256\\ \hline 5& 7,03& 4,149 & 3,900 & -0,249\\ \hline 6& 7,04& 4,145 & 3,903 & -0,242\\ \hline 7& 7,05& 4,141 & 3,906 & -0,235\\ \hline 8& 7,06& 4,137 & 3,909 & -0,228\\ \hline 9& 7,07& 4,132 & 3,912 & -0,221\\ \hline 10& 7,08& 4,128 & 3,915 & -0,234\\ \hline 11& 7,09& 4,124 & 3,917 & -0,207\\ \hline 12& 7,10& 4,320 & 3,920 & -0,200\\ \hline 13& 7,11& 4,115 & 3,923 & -0,192\\ \hline 14& 7,12& 4,111 & 3,926 & -0,185\\ \hline 15& 7,13& 4,107 & 3,929 & -0,178\\ \hline 16& 714& 4,103 & 3,931 & -0,171\\ \hline 17& 7,15& 4,099& 3,934& -0,164\\ \hline 18& 7,16& 4,094& 3,937& -0,157\\ \hline 19& 7,17& 4,090& 3,940& -0,150\\ \hline 20& 7,18& 4,086& 3,943& -0,144\\ \hline 21& 7,19& 4,082& 3,945& -0,137\\ \hline 22& 7,20& 4,078& 3,948& -0,130\\ \hline 23& 7,21& 4,074& 3,951& -0,123\\ \hline 24& 7,22& 4.069& 3,954& -0,116\\ \hline 25& 7,23& 4,065& 3,956& -0,109\\ \hline 26& 7,24& 4,061& 3,959& -0,102\\ \hline 27& 7,25& 4,057& 3,962& -0,095\\ \hline 28& 7,26& 4,053& 3,965& -0,088\\ \hline 29& 7,27& 4,049& 3,968& -0,081\\ \hline 30& 7,28& 4,045& 3,970& -0,074\\ \hline 31& 7,29& 4,040& 3,973& -0.067\\ \hline 32& 7,30& 4,036& 3,976& -0,061\\ \hline 33& 7,31& 4,032& 3,978& -0,054\\ \hline 34& 7,32& 4,028& 3,981& -0,047\\ \hline 35& 7,33& 4,024& 3,984& -0,040\\ \hline 36& 7,34& 4,020& 3,987& -0,033\\ \hline 37& 7,35& 4,016& 3,989& -0,026\\ \hline 38& 7,36& 4,012& 3,992& -0,020\\ \hline 39& 7,37& 4,008& 3,995& -0,013\\ \hline 40& 7,38& 4,004& 3,998& -0,006\\ \hline 41& 7,39& 4,000& 4,000& 0,001\\ \hline 42& 7,40& 3,996& 4,003& 0,007\\ \hline 43& 7,41& 3,992& 4,006& 0,014\\ \hline 44& 7,42& 3,987& 4,008& 0,023\\ \hline 45& 7,43& 3,983& 4,011& 0,028\\ \hline 46& 7,44& 3,979& 4,014& 0,034\\ \hline 47& 7,45& 3,975& 4,016& 0,041\\ \hline 48& 7,46& 3,971& 4,019& 0,048\\ \hline 49& 7,47& 3,967& 4,022& 0,054\\ \hline 50& 7,48& 3,963& 4,024& 0,061\\ \hline 51& 7,49& 3,959& 4,027& 0,068\\ \hline 52& 7,50& 3,955& 4,030& 0,075\\ \hline \end{array}$}} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 3\\ À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm,comma=true} \begin{pspicture}(0.5,99)(8.5,122) \multido{\n=0.5+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,99)(\n,122)} \multido{\n=99+1}{24}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0.5,\n)(9,\n)} %\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0.5,99)(8.5,122) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Ox=0.5,Oy=99]{->}(0.5,99)(9,122) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Ox=0.5,Oy=99](0.5,99)(9,122) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.5}{8.4}{x dup mul 0.3 mul 0.1 x mul add 99.9 add} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,100)(2,101.5)(3,102.8)(4,104)(5,107.1)(6,109.4)(7,113.5) %\multido{\n=1.5+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,99)(\n,122)} \uput[u](7,115.5){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique La Réunion juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Métropole juin 2008 \hypertarget{MercaFrance}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small 23 juin 2008} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\23 juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).} \emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.} \medskip \emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \emph{Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip Les deux premières questions se rapportent au tableau de variations ci-dessous. On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~25]. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. La fonction $g$ admet le tableau de variations suivant : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline{->}(2.6,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$5$} \uput[u](7.8,2.5){$25$} \uput[u](1,1.9){$g'$} \uput[u](3.5,2){$-$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](6.5,2){$+$} \rput(1,1){$g$} \uput[d](2.2,2){e}\uput[u](5,0){$1$}\uput[d](7.8,2){$10$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item La fonction $g$ admet un minimum \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad qui vaut $1$ pour $x =5$ ;&\textbf{b.}\quad qui vaut $0$ pour $x = 5$ ; &\textbf{c.}\quad qui vaut $1$ pour $x = 0$.\\ \end{tabularx} \item Sur l'intervalle [0~;~25 ], l'équation $g(x) = 3$ admet : \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad aucune solution ;&\textbf{b.}\quad une unique solution ; &\textbf{c.}\quad deux solutions.\\ \end{tabularx} \item L'équation $\text{e}^{-3x} = 5$ admet pour solution dans $\R$ \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $- \dfrac{\ln (5)}{3}$ ;&\textbf{b.}\quad $3 + \ln (5)$ ; &\textbf{c.}\quad $- \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.\\ \end{tabularx} \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 10 - 3\ln (x)$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ; \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $f'(x)= 10 - \dfrac{3}{x}$ ;&\textbf{b.}\quad $f'(x) = \dfrac{7}{x}$ ; &\textbf{c.}\quad $f'(x) = - \dfrac{3}{x}$.\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Un club sportif multisports propose deux formules d'abonnement (et uniquement deux) ; la formule sport unique et la formule tous sports. Chaque adhérent ne souscrit qu'à une seule des deux formules. \medskip Dans le fichier des adhérents, en fin de saison, on constate que 40\:\% d'entre eux ont choisi la formule sport unique. \medskip Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85\:\% reçoivent une aide municipale, tandis que seulement 25\:\% des personnes qui ont choisi la formule tous sports bénéficient de l'aide municipale. \medskip On choisit une fiche au hasard. On admet que chaque fiche a la même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $U$ : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique \fg{}; \item $T$ : \og la fiche choisie est celle d'un adhérent ayant opté pour la formule tous sports \fg{}; \item $A$ : \og l'adhérent bénéficie de l'aide municipale \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer : \begin{enumerate} \item $P(U)$, la probabilité de l'évènement $U$. \item $P(T)$, la probabilité de l'évènement $T$. \item $P_{\text{U}}(A)$, la probabilité, sachant $U$, de l'évènement $A$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un adhérent ayant opté pour la formule sport unique et bénéficiant de l'aide municipale. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $0,49$. \item Déterminer $P_{A}(U)$, la probabilité, sachant $A$, de l'évènement $U$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip Une entreprise ne peut être créée en France que selon deux formes juridiques, à savoir soit sous la forme d'une société, soit sous la forme d'une entreprise individuelle. Le tableau ci-dessous rend compte, selon la forme juridique choisie, de la création d'entreprises en France lors des années 2000 à 2006. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2001&2002 &2003 &2004&2005&2006\\ \hline Pourcentage d'entreprises créées sous la forme d'une société& 39,3 &40,1&40,7 &41,9 &44,4&45,6&47,1\\ \hline Pourcentage d'entreprises créées sous la forme d'une entreprise individuelle& 60,7& 59,9& 59,3& 58,1&55,6&54,4 &52,9\\ \hline Nombre total d'entreprises créées&\np{270043}&\np{268619}&\np{268459}&\np{291 986}&\np{318757}& \np{316534}&\np{321938}\\ \hline \multicolumn{8}{r}{\emph{Source INSEE, répertoire des entreprises et des établissements (Sirene)}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d'entreprises créées sous la forme d'une société en 2001. \item On construit le tableau ci-dessous des indices du nombre total d'entreprises en prenant pour indice de référence 100 en 2000. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline Nombre total d'entreprises créées &\np{270043}&\np{268619}&\np{268459}&\np{291986}&\np{318757}&\np{316534}&\np{321938}\\ \hline Indice &100 & &99,41 &108,13 &118,04 & &119,22\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2001. \item Déterminer l'indice arrondi au centième pour l'année 2005. \end{enumerate} \item Déterminer le taux d'évolution moyen annuel de création d'entreprises de 2000 à 2006. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de \np{50 000}~\euro{} et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l'occasion jusqu'en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Valeur de la machine (en \euro) $y_{i}$ &\np{50000} &\np{42000} &\np{36000} &\np{32000}&\np{26500}&\np{22000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie 1} \medskip Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (\emph{arrondir les coefficients à l'unité}). \medskip Pour l'étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite $\Delta$ d'équation $y = - \np{5440}x + \np{48400}.$ \item Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie. \item En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010. \item Commenter le dernier résultat. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005 la machine s'est dépréciée d'environ 15\:\% par an. Il suppose alors qu'à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15\:\%. Il pose $v_{0} = \np{22000}$ et note $\left(v_{n}\right)$ la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de $n$ années de fonctionnement à partir de 2005. Ainsi, $v_{1}$ est la valeur estimée de la machine en 2006. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; déterminer sa raison. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~ v_{n} = \np{22000} \times (0,85)^n$. \end{enumerate} \item Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calculs. II donne la valeur estimée $v_{n}$ de la machine pour les années 2005 à 2011. Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.8}}c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor[gray]{0.8}&A&B&C&D\\ \hline 1&Année& Valeur réelle de la machine&Rang de l'année à partir de 2005&Valeur estimée de la machine\\ \hline 2&2000&\np{50000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline3&2001&\np{42000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline 4&2002&\np{36000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline 5&2003&\np{32000}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline 6&2004&\np{26500}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}\\ \hline 7&2005&\np{22000}&0&\np{22000}\\ \hline 8&2006&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}& 1& \np{18700}\\ \hline 9&2007&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}& 2& \np{15895}\\ \hline 10&2008&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}& 3& \np{13511}\\ \hline 11&2009&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}& 4& \np{11 484}\\ \hline 12&2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&5&\np{9762}\\ \hline 13&2011&\multicolumn{1}{>{\columncolor[gray]{0.8}}c|}{\quad}&6&\np{8297}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir la plage de cellules D8:D13. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à \np{5000}~\euro{}? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.0003cm} \begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000) \multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60000)} \multido{\n=0+1000}{61}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(12,60000) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000](0,0)(12,60000) \uput[d](6,-10000){Rang de l'année} \rput{90}(-1.5,30000){Valeur estimée de la machine} \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique Métropole juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Poynésie juin 2008 \hypertarget{MercaPolynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Polynésie~\decofourright\\ juin 2008}} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée. Le formulaire officiel est autorisé. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour répondre, on demande de noter le numéro de la question et d'indiquer la réponse exacte (A, B ou C). \medskip Pour chaque question une seule des trois réponses est correcte. \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. \item[$\bullet~$] Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Question 1 :} Un article subit une diminution de 20\:\%. Pour qu'il retrouve son prix initial, il faut : \medskip {\small\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse A : L'augmenter de 20\:\%& Réponse B : Diviser par $0,8$& Réponse C : Ajouter 0,8\\ \end{tabularx}} \medskip \textbf{Question 2 :} Le prix d'un article a d'abord été doublé puis ensuite triplé. Le taux d'évolution global est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse A : 600\:\%& Réponse B : 500\:\%& Réponse C : 400\:\% \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3 :} \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\textwidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 & 2006\\ \hline Chiffre d'affaires (milliers d'euro)&\np{25000} &\np{42000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Le taux annuel d'évolution du chiffre d'affaires (arrondi au dixième) entre 2005 et 2006 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse A : 0,30& Réponse B : 1,68& Réponse C : 0,68\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4 :} Le nombre d'internautes en Europe était en 2001 de $143,3$~millions d'individus. En prenant ce nombre pour base 100, on obtient pour 2002 un indice égal à $133,2$. Le nombre d'internautes en Europe, en millions, en 2002 est d'environ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} Réponse A : $176,5$& Réponse B : $190,9$& Réponse C : $107,6$\\ \end{tabularx} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Monsieur François va ouvrir un marché \og puces et brocante \fg{} sur son terrain. Il y a délimité 120~emplacements. L'installation des exposants commencera à 6~h, le dernier exposant devra avoir fini de s'installer à 8~h. Il prévoit que chaque exposant arrivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item avec une voiture, paiera 10 euros de redevance et disposera de deux emplacements pour installer son stand, \item avec un fourgon, paiera 16 euros de redevance et disposera de trois emplacements. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Il faut en moyenne 1~min à une voiture pour se garer et 4 min à un fourgon. Pour des raisons de. sécurité, chaque exposant ne peut commencer à se garer que lorsque le précédent a fini de se garer. \medskip Monsieur François souhaite déterminer le nombre de voitures et le nombre de fourgons nécessaires pour que sa recette soit maximale. \medskip \textbf{Partie A :} On note $x$ le nombre de voitures et $y$ le nombre de fourgons. \medskip \begin{enumerate} \item Écrire un système d'inéquations correspondant aux contraintes du problème. \item En utilisant la feuille de papier millimétré fournie, déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) suivant avec comme unité graphique 1~cm pour 5~unités sur les deux axes. On hachurera la partie du plan qui ne convient pas. \[(\text{S}) \left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ y&\geqslant & 0\\ y&\leqslant& - \dfrac{2}{3}x + 40\\ y&\leqslant& - \dfrac{1}{4}x + 30\\ \end{array}\right.\] \item Après avoir justifié le lien entre les questions 1 et 2, préciser si Monsieur François peut accueillir : \begin{enumerate} \item 50 voitures et 20 fourgons ? \item 30 voitures et 15 fourgons ? \item 24 voitures et 24 fourgons ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} On note $R$ la recette de la journée \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $R$ en fonction de $x$ et $y$. \item Montrer que la droite D d'équation $y = - \dfrac{5}{8}x + 10$ correspond à une recette de 160~euros. \item \begin{enumerate} \item Représenter la droite D dans le repère précédent. \item Trouver le couple d'entiers $(x~ ;~y)$ qui permet d'obtenir la recette maximale. \item Calculer alors cette recette maximale et répondre au problème posé. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Ulysse, Victor et Walter sont nés tous les trois le 1\up{er} janvier 2008. À leur naissance, leurs pères respectifs ont décidé de leur mettre de l'argent de côté. Le père d'Ulysse dépose 100~euros le 1\up{er} janvier 2008 dans son coffre-fort et y ajoutera 200 euros tous les ans ; Le père de Victor place \np{2000} euros le 1\up{er} janvier 2008 à intérêts composés au taux annuel de 3\:\%. Le père de Walter met 1~euro dans une tirelire le 1\up{er} janvier 2008 puis y mettra 2~euros en 2009, 4~euros en 2010, 8~euros en 2011, 16~euros en 2012 \ldots Il déposera donc dans la tirelire chaque année, le double de la somme versée l'année précédente. \medskip On note $U_{n},~V_{n},~W_{n}$ les capitaux acquis par Ulysse, Victor et Walter à l'année $2008 + n$. \medskip \textbf{Partie A : } On s'intéresse aux suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$. \medskip On utilise un tableur. Voici un tableau représentant l'écran, les résultats ayant été demandés à 0,1 près. \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline &A&B&C\\ \hline 1&$n$&$U_{n}$&$V_{n}$\\ \hline 2& 0& 100 &\np{2000}\\ \hline 3& 1& 300 &\np{2060}\\ \hline 4& 2& 500 &\np{2121,80}\\ \hline 5& 3& 700 &\np{2185,50}\\ \hline 6& 4& 900 &\np{2251}\\ \hline 7& 5& 1100&\np{2318,50}\\ \hline \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Quelle formule faut-il entrer en B3 pour obtenir par recopie vers le bas, les valeurs des termes de la suite $\left(U_{n}\right)$ ? Quelle formule faut-il entrer en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs des termes de la suite la suite $\left(V_{n}\right)$ ? \item \begin{enumerate} \item Justifier que $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera le terme initial et la raison. \item Justifier que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial et la raison. \end{enumerate} \item À 5 ans Victor dit à Ulysse \og Je suis deux fois plus riche que toi \fg. Et à 10~ans, est-ce encore vrai ? Justifier votre réponse. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $U_{n}$ et $V_{n}$ en fonction de $n$. \item A 18~ans, Ulysse et Victor veulent s'acheter chacun une moto qui coûte \np{3500}~euros. Qui pourra le faire ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} On s'intéresse à la suite $\left(W_{n}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les termes $W_{1},\:W_{2},\:W_{3}$ et $W_{4}$. \item Exprimer $W_{n}$ fonction de $n$. \item Walter affirme qu'à 18 ans, il pourra acheter 149 motos à \np{3500}~euros. Vrai ou Faux ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise de maroquinerie fabrique des sacs. On désigne par $x$ le nombre de centaines de sacs fabriqués par jour dans l'entreprise. Le coût de fabrication de $x$ centaines de sacs, exprimé en centaines d'euros, est donné par : \[C(x) = 2x + \text{e}^{0,5x}.\] Chaque sac est vendu 10 euros, on note $R(x)$ la recette, exprimée en centaines d'euros, correspondant à la vente de $x$ centaines de sacs. \[R(x) = 10x.\] \textbf{Partie 1 -Lecture graphique} \medskip Voici les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$ : \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(15,130) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15,130) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(15,130) \multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,130)} \multido{\n=0+5}{027}{\psline[linecolor=orange,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)} \psplot{0}{13}{10 x mul} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{9.43}{2.71828 0.5 x mul exp x 2 mul add} \uput[u](14.7,0){$x$} \uput[l](0,127.5){$y$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi ces deux représentations graphiques, quelle est celle de la fonction $R$ ? \item À l'aide du graphique, recopier et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & & &8\\ \hline $C(x)$ &10 & &\\ \hline $R(x)$ & & 40& \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Arrondi à la centaine de sacs, combien de centaines de sacs faut-il fabriquer pour que l'entreprise soit certaine d'être bénéficiaire ? \end{enumerate} \textbf{Partie 2 :} \medskip On note $B(x)$ le bénéfice journalier, exprimé en centaines d'euros réalisé par l'entreprise. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $B(x) = 8x - \text{e}^{0,5x}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $B'(x)$. La notation $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. \item Montrer que dans [0~;~15], résoudre $B'(x) \leqslant 0$ revient à résoudre l'inéquation $\text{e}^{0,5x} \geqslant 16$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur [0~;~15]. \item En déduire la valeur exacte de $x$ pour laquelle $B$ admet un maximum. On donnera une valeur arrondie de cette valeur exacte à $10^{-2}$. \end{enumerate} \item En déduire la valeur maximale du bénéfice arrondi à l'euro. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique Polynésie juin 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane Mercatique septembre 2008 \hypertarget{Antillesmercasept}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2008}} \vspace{0,25cm} Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information \hfill DurŽée 3 heures \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification n'est demandée. \emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire $0,5$~point, une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro}. \medskip \begin{enumerate} \item On place un capital de 100~euros à 3,8\,\% par an à intérêts composés. Pour tout entier naturel $n$, on note $D_{n}$ le capital obtenu au bout de $n$ années, On a donc $D_{0} = 100$. La suite $\left(D_{n}\right)$ ainsi obtenue est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.} arithmétique de raison $1,038$& \textbf{b.} géométrique de raison $1,038$& \textbf{c.} géométrique de raison $3,8$\\ \end{tabularx} \medskip \item Le prix de l'immobilier dans une ville a augmenté de 22\,\% en un an. Le taux d'évolution mensuel moyen équivalent, arrondi à $0,001$\,\%, est de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ 1,833\,\% & \textbf{b.}~~ 1,017\,\% & \textbf{c.}~~ 1,671 \,\% \\ \end{tabularx} \medskip \item Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, la fonction $f$ définie par : $f(x) = x^2- \ln (x)$ admet pour fonction dérivée la fonction $f'$ définie par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $f'(x) = \dfrac{2x^2-1 }{x}$& \textbf{b.}~~ $f'(x) = \dfrac{2x- 1}{ x}$& \textbf{c.}~~ $f'(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$\\ \end{tabularx} \medskip \item On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Sachant que la carte tirée est un c{\oe}ur, la probabilité que ce soit un roi est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{2}$&\textbf{b.}~~ $\dfrac{1}{4}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{1}{8}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip L'évolution des ventes d'un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 \\ \hline Ventes $y_{i}$ (en millions d'unités) &200 &202 &213 &225 &233 &241 &247 &252 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10~millions sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 190). \item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points, Placer G dans le repère précédent. \medskip \end{enumerate} On cherche à faire une prévision pour l'année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles. \bigskip \textbf{Partie B : Modèle affine} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite ($D$) d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l'unité). \item Tracer cette droite dans le repère précédent. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Modèle exponentiel} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ~;~ 10]$ par : $f(x) = 1 99\text{e}^{0,04x}$. \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$ ? Justifier la réponse. \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l'unité) : \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline $f(x)$ & & &216& & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D} \medskip Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l'on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l'année 2009. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~13] par : \[f(x) = x \ln (x) - 3x + 10. \] Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l'entreprise fabrique $x$ centaines de litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à $f(x)$ ($x$ est compris entre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros. \medskip \begin{enumerate} \item Si l'entreprise produit 500~litres par jour, quel sera le coût moyen de production du litre, en euros, arrondi au centime ? \item Montrer que $f'(x) = \ln(x) - 2$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. \item Étudier le signe de $f'(x)$ puis établir le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. \item En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de production du litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au litre près. Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litre correspondant. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \medskip À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de \np{2000}~billets de banque. Les coupures de 20~\euro{} représentent 40\,\% de l'ensemble des billets contrôlés. On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20~\euro{} représentent 60\,\% des fausses coupures. \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~} &Coupure de 10~\euro &Coupure de 20~\euro&Coupure de 50~\euro&Total \\\hline Billets falsifiés & & & 2 & \\ \hline Billets authentiques &600 & & &\\ \hline Total & & & &\np{2000}\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible. Un billet est choisi au hasard parmi les \np{2000} billets contrôlés. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[] $F$ : \og le billet choisi est falsifié \fg{} ; \item[] $C$ : \og le billet choisi est une coupure de 50~\euro{} \fg{} ; \item[] $V$ : \og le billet choisi est une coupure de 20~\euro{} \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Définir par une phrase l'évènement $V \cap F$ et calculer $p(V \cap F)$. \item Calculer la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$ notée $p_{C}(F)$. \item Calculer $p(F)$. Peut-on dire que les évènements $F$ et $C$ sont indépendants ? Justifier la réponse. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%% fin Antilles Mercatique septembre 2008 %%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Métropole septembre 2008 %%%%%%%%%%%% \hypertarget{MercatiqueFrancesep}{} \lfoot{\small{MéŽtropole--La Réunion}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique septembre 2008~\decofourright\\MéŽtropole--La Réunion}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisŽée. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \emph{Cet exercice est un test vrai/faux.} \medskip \emph{Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \emph{Une réponse juste rapporte $1,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip Un groupe d'élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l'argent pour tir voyage scolaire. Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat, et les vendre respectivement 6~\euro{} et 8~\euro{} pièce. Ils disposent en quantités nécessaires des yaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l'huile, mais n'ont que 4,8~kg de farine, 5,4~kg de sucre et 150~{\oe}ufs. \medskip La préparation d'un gâteau au yaourt nécessite 240~g de farine, 240~g de sucre et 3~{\oe}ufs. La préparation d'un gâteau au chocolat nécessite 80~g de farine, 150~g de sucre et 6~{\oe}ufs. \medskip Les élèves notent $x$ le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et $y$ le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. Ils supposent que tous les gâteaux fabriqués seront vendus. Ils souhaitent gagner le plus d'argent possible. Ils réalisent un graphique permettant de traiter ce problème. Ce graphique est donné à la page suivante. Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives (0~;~25), (10~;~20), $\left(\dfrac{120}{7}~;~\dfrac{60}{7}\right)$ et (20~;~0). Les couples d'entiers $(x~;~y)$ respectant les contraintes sont les coordonnées des points à coordonnées entières situés à l'intérieur du pentagone OABCD ou sur ses côtés. La droite d'équation $6x + 8y = 160$ est tracée en pointillés. Elle correspond aux cas où la recette est de 160~\euro. \bigskip \textbf{Proposition 1 :} La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduire par : $3x + y \leqslant 60$. \textbf{Proposition 2 :} La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d'{\oe}ufs. \textbf{Proposition 3 :} En fabriquant 19~gâteaux au yaourt et 4~gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées. \textbf{Proposition 4 :} En respectant toutes les contraintes, le maximum d'argent gagné lors de la vente sera de 220~\euro. \begin{center} \psset{unit=0.475cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(24,26) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(24,26) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(24,26) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(24,26) \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,25){A} \uput[ur](10,20){B}\uput[ur](17.4,8.57){C} \uput[ur](20,0){D} \psline[linestyle=dashed](-1,20.75)(24,2) \psline(-1,25.5)(24,13)%(AB) \psline(6.25,26)(23.125,-1)%(BC) \psline(11.333,26)(20.333,-1)%(CD) \uput[d](23,0){$x$} \uput[l](0,26){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \emph{On rappelle que si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si $v$ ne s'annule pas sur I, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur I et sa fonction dérivée est donnée par la formule : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.} \medskip On se propose d'étudier la capacité pulmonaire moyenne de l'être humain de 10 à 90 ans. On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [10~;~90] par \[ f(x) = \dfrac{110 \ln (x) - 220}{x}.\] On admet que, pour un être humain d'âge $x$, en années, appartenant à l'intervalle [10 ~;~ 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par $f(x)$. Une représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \medskip \psset{xunit=0.12cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(100,6) \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)} \multido{\n=0+2}{50}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,6)} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)} \multido{\n=0+0.2}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10]{->}(0,0)(100,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10](0,0)(100,6) \uput[u](100,0){$x$} \uput[r](0,6){$y$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{10}{90}{x ln 110 mul 220 sub x div} \end{pspicture} \bigskip \begin{enumerate} \item Répondre avec la précision permise par la représentation graphique. \begin{enumerate} \item À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ? Quelle est cette capacité maximale ? \item À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5~litres ? \end{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [10~;~90], $f'(x) = \dfrac{110(3 - \ln (x))}{x^2}$. \item Résoudre sur l'intervalle [10~;~90] l'équation $3 - \ln(x) = 0$. Donner une valeur arrondie de la solution au dixième. \item On considère sur l'intervalle [10~;~90] l'inéquation $3 - \ln (x) > 0$. Montrer que l'ensemble des solutions de cette inéquation est $\left[10~;~\text{e}^3\right[$. En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [10~;~90]. \item Indiquer comment retrouver les résultats de la question \textbf{1.}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip Les rations journalières conseillées sur des sacs de croquettes pour chien des marques Topdog et Friskas sont données ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.1cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Poids du chien $x_{i}$ (kg) &5 & 10&15 &30 &40 &60\\ \hline Ration journalière conseillée $y_{i}$ (g) &50 &90 &120 &200&250&340\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Les parties I et II sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie I} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer s'il y a proportionnalité entre le poids du chien et la ration journalière conseillée. Justifier. \item Le chien de Julie pèse 26~kg. Julie souhaite calculer la ration journalière conseillée. Une représentation graphique du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée ci-dessous. \end{enumerate} \medskip \psset{xunit=0.171cm,yunit=0.0333cm} \begin{pspicture}(0,-20)(70,360) \multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)} \multido{\n=0+1}{70}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,360)} \multido{\n=0+20}{19}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)} \multido{\n=0+10}{37}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(70,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20]{->}(0,0)(70,360) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=20](0,0)(70,360) \psdots[dotstyle=triangle*](5,50)(10,90)(15,120)(30,200)(40,250)(60,340) \uput[u](70,0){$x$} \uput[r](0,360){$y$} \psline(0,38)(62,360) \end{pspicture} \bigskip Julie a obtenu par la méthode des moindres carrés la droite d'ajustement de $y$ en $x$, et l'a tracée. Déterminer la ration journalière conseillée pour le chien de Julie. \medskip \textbf{Partie II} \bigskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{X|}}\hline \multicolumn{3}{|c|}{Formulaire}\\ \hline Suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$& Premier terme $u_{1},~ u_{n+1} = u_{n} + r$&$u_{1}+u_{2} +\cdots +u_{n} = nu_{1}+ \dfrac{n(n-1)r}{2}$\\ \hline Suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$&Premier terme $u_{1},~u_{n+1} = qu_{n}$&$u_{1}+u_{2} +\cdots +u_{n} = u_{1}\dfrac{q^n - 1}{q - 1}$.\\ \hline \end{tabularx} \medskip Le chien d'Arthur pèse 30~kg et mange des croquettes Topdog. Arthur décide de changer pour la marque Friskas. Mais la transition doit être progressive. Arthur suit les recommandations des deux marques et donne à son chien une ration journalière de 200~g. \medskip Arthur choisit de donner le premier jour 20~g de croquettes Friskas, et le reste de la ration, soit 180~g, en croquettes Topdog ; puis il étudie deux programmes d'alimentation : \begin{itemize} \item premier programme : augmenter la part de croquettes Friskas de 15~g par jour. \item second programme : augmenter chaque jour de 20\,\% la part de croquettes Friskas présente dans la ration. \end{itemize} Dans les deux cas, la ration quotidienne reste au total à 200~g. \medskip Arthur utilise un tableur pour étudier les deux programmes d'alimentation de son chien. La feuille de calcul est donnée à la page suivante. Le format d'affichage est un format numérique à 0 décimale. \medskip \begin{enumerate} \item Premier programme \begin{enumerate} \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3:B14. \item Donner une formule qui, entrée dans la cellule C2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules C2:C14. \item Calculer la quantité totale de croquettes Topdog que doit prévoir Arthur dans ce premier programme d'alimentation durant la période de transition. \end{enumerate} \item Second programme \begin{enumerate} \item Une formule entrée dans la cellule D3 a permis d'obtenir la plage de cellules D3:D16 par recopie vers le bas. Cette formule permet de limiter la ration de croquettes Friskas à 200~g. Recopier la seule des trois formules ci-dessous qui peut convenir. \begin{center} =D2 * 1,20 \quad SI(D2 * 1,20 > 200; 200; D2 * 1,20)\quad = \$D\$2*1,2Â2 \end{center} \item Soit $u$ la suite géométrique de premier terme $u_{1} = 20$ et de raison $1,2$. Calculer la somme des treize premiers termes $u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{13}$. \item Montrer que la quantité totale de croquettes Topdog utilisées pendant la période de transition dans le second programme est à l'unité près égale à \np{1630}~g. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Avant la période de transition, il reste à Arthur un sac de 2~kg de croquettes Topdog. Il souhaite en utiliser le plus possible durant la période de transition entre les deux marques de croquettes. Lequel des deux programmes d'alimentation Arthur choisira-t-il ? Justifier. \end{enumerate} \newpage \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx} {\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E\\ \hline 1&Jour & Premier programme Quantité de croquettes Friskas (g)&Premier programme Quantité de croquettes Topdog (g)&Second programme Quantité de croquettes Friskas (g)& Second programme Quantité de croquettes Topdog (g)\\ \hline 2& 1& 20 &180 &20 & 180\\ \hline 3& 2& 35 &165 &24 & 176\\ \hline 4& 3& 50 & \ldots &29 &\ldots\\ \hline 5& 4& 65 & \ldots &35 &\ldots\\ \hline 6& 5& 80 & \ldots &41 &\ldots\\ \hline 7& 6& 95 & \ldots &50 &\ldots\\ \hline 8& 7& 110 & \ldots &60 &\ldots\\ \hline 9& 8& 125 & \ldots &72 &\ldots\\ \hline 10& 9& 140 & \ldots &86 &\ldots\\ \hline 11& 10& 155 & \ldots &103&\ldots\\ \hline 12& 11& 170 &\ldots &124&\ldots\\ \hline 13& 12& 185 & \ldots &149&\ldots\\ \hline 14& 13& 200 &0 &178&22\\ \hline 15& 14& & &200&0\\ \hline 16& 15& & &200&0\\ \hline \end{tabularx} %%%%%%%%%%%%%% fin Mercatique Métropole septembre 2008 \newpage %%%%%%%%%%%%%% Mercatique Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \hypertarget{MercatiqueCaledo}{} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~BaccalauréŽat STG Mercatique Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2008}} \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). \emph{Source INSEE} M. Lasserre y a porté le montant des loyers mensuels de l'appartement qu'il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l'indice de référence. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(12,3.25) %\psgrid \rput(6,1.84){\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline 2 &Indice de référence&95,5 &97,7 &100 & &105,5\\ \hline 3 &Loyer &334,25 &341,95 &350 &359,10 &369,25\\ \hline 4 &Taux d'évolution annuel en pourcentage & & & & &\\ \hline \end{tabularx}} \psline(4,0.52)(5.6,1.4) \psline(4,1.4)(5.6,0.52) \end{pspicture} \medskip \textbf{Partie A Questionnaire à Choix Multiples} \emph{Pour chaque question, une seule proposition est exacte. \\ Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie. \\ Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse est comptée $0$ point.} \medskip \begin{enumerate} \item L'indice 105,5 en 2006 signifie : A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 \euro{} entre 2004 et 2006. B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5\,\% entre 2002 et 2006. C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10\,\% entre 2002 et 2006. D: le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5\,\% entre 2004 et 2006. \item Le taux d'évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à $10^{-2}$ près) est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} A : + 2,20\,\%& B : + 2,30\,\%& C : + 7,70\,\%& D : + 2,25 \,\%\\ \end{tabularx} \medskip \item On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d'évolution annuel des loyers ? \begin{itemize} \item[] A : =(\$C3 - \$B3)* 100/ \$B3 \item[] B : =C\$3 - B\$3)* 100/C\$3 \item[] C : =(C\$3 - B\$3) * 100/ B\$3 \item[] D : =(C\$3 - B\$3) * B\$3 / 100 \end{itemize} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'indice de référence pour l'année 2005. \item Calculer le taux moyen annuel d'évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Un grand journal a fait réaliser en 2006 une enquête sur un échantillon représentatif de la population française des 18--34 ans. 35\,\% des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la télévision ; parmi elles, 40\,\% lisent aussi la presse écrite. 25\,\% des personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est la radio ; parmi elles, 60\,\% lisent aussi la presse écrite. Les autres personnes interrogées indiquent que leur principale source d'information est l'Internet ; parmi elles, 75\,\% lisent aussi la presse écrite. \medskip On choisit une personne au hasard dans l'échantillon et on note : $T$ l'évènement : \og la personne a pour principale source d'information la télévision \fg. $R$ l'évènement: \og la personne a pour principale source d'information la radio \fg. $I$ l'évènement : \og la personne a pour principale source d'information l'Internet \fg. $E$ l'évènement : \og la personne lit la presse écrite \fg. Pour tout évènement $A$, on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire et $P(A)$ sa probabilité. \begin{enumerate} \item À l'aide des informations fournies par le texte, indiquer la valeur de la probabilité conditionnelle $P_{T}(E)$, puis calculer la probabilité conditionnelle $P_{R}\left(\overline{E}\right)$. \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$T$}\taput{0,35}} { \TR{$E$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$R$}\tbput{\ldots}} { \TR{$E$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$I$}\tbput{\ldots}} { \TR{$E$}\taput{$0,75$} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Décrire à l'aide d'une phrase l'évènement $T \cap E$, puis démontrer que $P(T \cap E) = 0,14$. \item Calculer la probabilité des évènements $R \cap E$ et $I \cap E$. En déduire que $P(E) = 0,59$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{E}(I)$, en donnant un résultat approché arrondi à $10^{-2}$ près. Les évènements $E$ et $I$ sont-ils indépendants ? Justifier sa réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Les parties A et B sont largement indépendantes et peuvent être traitées séparément.} \medskip Le tableau ci-dessous donne à partir de 1998 le nombre de tués sur les routes françaises. \emph{(Les valeurs données sont arrondies à la dizaine.)} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Années&1998& 1999&2000&2001& 2002& 2003&2004&2005& 2006\\ \hline Rang de l'année : $x_{i}$& 0& 1&2&3& 4&5&6&7& 8\\ \hline Nombre de tués : $y_{i}$&\np{8440} &\np{8030}& \np{7640}&\np{7720} &\np{7240}&\np{5800} &\np{5590}&\np{5320} &\np{4700}\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize Insee mars 2007}\\ \end{tabularx} \medskip On donne en ANNEXE le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. \medskip \textbf{Partie A Recherche d'un ajustement affine} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G. Placer G sur le graphique de l'ANNEXE. \item \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide d'une calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carres sous la forme $y = ax + b$. (Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à $0,1$ près). \item Tracer la droite (D) d'équation $y = - 485 x + \np{8660}$ sur le graphique de l'ANNEXE. \end{enumerate} \item On admet que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points. Déterminer graphiquement une estimation du nombre de tués en 2009. \emph{On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B Recherche d'un ajustement à l'aide d'une fonction exponentielle} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 20] par \[f(x) = \np{8890}\text{e}^{-0,075x}.\] \begin{enumerate} \item \emph{Étude de la fonction} $f$ \begin{enumerate} \item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20]. \item Justifier que la fonction dérivée $f'$ est strictement négative sur l'intervalle [0~;~20]. \item En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \end{enumerate} \item \emph{Représentation de la fonction} $f$ \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant ; on donnera les valeurs approchées entières arrondies à la dizaine la plus proche. \medskip \begin{tabularx}{1\linewidth}{|*{12}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 & 2 &4 &6&8 &10 &12 & 14 &16 &18 &20\\ \hline $f(x)$ & &\np{7650} &\np{6590} & &\np{4880} & & &\np{3110} & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En utilisant les valeurs du tableau de la question précédente, construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur le graphique de l'ANNEXE. \item On admet que la fonction $f$ réalise un deuxième ajustement du nuage de points. Estimer par la méthode de son choix le nombre de tués en 2009. \emph{On fera apparaître sur le graphique les traits de construction nécessaires.} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C Comparaison des deux ajustements} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de l'ajustement affine de la partie A, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à \np{2500}. \item À l'aide de l'ajustement de la partie B, estimer, par un calcul, en quelle année le nombre de tués sera inférieur à \np{2500}. \item Quel est, parmi les deux ajustements étudiés, celui qui semble le plus réaliste ? Expliquer son choix. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE : nuage de points de l'exercice 3} \bigskip \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.54cm,yunit=0.0022cm} \begin{pspicture}(-1,-400)(21,9400) \multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9400)} \multido{\n=0+100}{95}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(21,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=1000]{->}(0,0)(21,9400) \psdots[dotstyle=*,dotscale=1.3](0,8440)(1,8030)(2,7640)(3,7720)(4,7240)(5,5800)(6,5590)(7,5320)(8,4700) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%% fin Mercatique Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \end{document}