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%%%  Tapuscrit Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%é
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\makeatletter% Graduations décimales
\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Exercices pour la série ES}
\lfoot{}
\rfoot{}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Exercices pour la
      série ES~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 1 (enseignement de spécialité)}

\medskip

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous

\vspace{0,3cm}

\begin{center} 
\begin{pspicture}(4,4) 
\pspolygon(0.5,4)(0,2)(2.2,0)(3,3)%ABCF
\psline(0.5,4)(1,2.6)(2.2,0)(2,2.3)(3,3)(1,2.6)%AECDFE
\psline(1,2.6)(1.6,2)(2,2.3)(1,2.6)%EGDE
\uput[u](0.5,4){A} \uput[l](0,2){B} \uput[d](2.2,0){C}
\uput[r](2,2.3){D} \uput[l](1,2.6){E} \uput[r](3,3){F}
\uput[d](1.6,2){G}
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,3cm}
	
\parbox[c]{0.55\textwidth}{On donne une carte de  géographie, schématisée ci-contre, dans laquelle A, B, C, D,  E, F, G représentent des pays et la zone colorée représente un océan.
  
\begin{enumerate} 
\item Si l'on décide de modéliser cette carte par le graphe $\mathcal{G}$, quel sens faut-il donner à l'existence d'une arête entre deux sommets ?  
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Existe-t-il un parcours qui permette de franchir chacune des frontières terrestres entre ces pays une fois et une seule ?
		
Si oui, en citer un.  
		\item Existe-t-il un tel parcours pour lequel le pays de départ et le pays d'arrivée sont les mêmes ?  
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le nombre minimal de couleurs permettant de colorier cette carte de sorte que deux pays voisins n'aient jamais la même couleur. Réaliser un tel coloriage.
\end{enumerate}} 
\hfill
\parbox[c]{0.4\textwidth}{\begin{pspicture}(3.2,3.2)
\psline(0,3.2)(0,0)(3.2,0)(3.2,3.2) \psframe(2,0.4)(2.7,0.9)%G
\psframe(2.7,0.9)(1.8,1.7)%D
\psframe(1.8,1.7)(0.4,0.9)%F
\psline(1.8,0.9)(0.4,0.9)(0.4,1.7) \psline(0.4,1.7)(0,1.7)
% \psframe(1.2,1.7)(0,2.4)%A
% \psframe(1.2,1.7)(1.6,2.4) 
\psframe(1.6,2.4)(2.7,1.7)%C
\psframe(0.9,2.4)(2.1,2.9)%B
\psframe[linewidth=0.1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](1.2,1.7)(1.6,2.4)
% \psframe[linewidth=0.1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,2.4)(0.9,3.2)
% \psframe[linewidth=0.1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.1,2.9)(0.9,3.2)
% \psframe[linewidth=0.1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.1,2.4)(3.2,3.2)
% \psframe[linewidth=0.1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.7,2.25)(3.2,2.4)
\rput(0.6,2.1){A} \rput(1.5,2.6){B} \rput(2.1,2.1){C}
\rput(2.3,1.2 ){D} \rput(1.2,0.4){E} \rput(1.2,1.2){F}
\rput(2.4,0.65){G} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psline(0,3.2)(3.2,3.2)
\psline(3.2,2.2)(2.7,2.2)(2.7,2.4)(2.1,2.4)(2.1,2.9)(0.9,2.9)(0.9,2.4)(0,2.4) }
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 2 (enseignement de spécialité)}

\medskip

On considère le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous :

\vspace{0,3cm}

\begin{center} \begin{pspicture}(4,4)
\pspolygon(0.5,4)(0,2)(2.2,0)(3,3)%ABCF
\psline(0.5,4)(1,2.6)(2.2,0)(2,2.3)(3,3)(1,2.6)%AECDFE
\psline(1,2.6)(1.6,2)(2,2.3)(1,2.6)%EGDE
\uput[u](0.5,4){A} \uput[l](0,2){B} \uput[d](2.2,0){C}
\uput[r](2,2.3){D} \uput[l](1,2.6){E} \uput[r](3,3){F}
\uput[d](1.6,2){G}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie I}

On appelle $\chi$ le nombre chromatique du graphe $\mathcal{G}$.

\begin{enumerate}\item Que peut-on dire du sous-graphe CDEF?

\item Démontrer que l'on a : $4 \leqslant \chi \leqslant 6$.

\item Déterminer la valeur de $\chi$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie II}  On considère un groupe d'élèves de 7
élèves appelés A, B, C, D, E, F et G.

\parbox[c]{0.5\textwidth}{Pour un exposé, les élèves se  
mettent en équipes
mais il faut respecter les incompatibilités entre les élèves.\\
Dans le tableau ci-contre, chaque croix indique une incompatibilité  
entre les élèves  correspondants.
\begin{enumerate}
\item Si l'on décide de modéliser ce tableau d'incom-
patibilité par le graphe $\mathcal{G}$, quel sens faut-il donner
à l'existence d'une arête entre deux sommets ?
\item Combien d'équipes faudra-t-il créer au minimum ? Proposer une  
répartition des
  élèves en équipes.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\cline{2-8  }
\multicolumn{1}{c|}{}	&A &B&C&D&E&F&G \\ \hline
A & & $\times$ & & & $\times$ & $\times$ & \\ \hline
B & $\times$ & & $\times$ & & & & \\ \hline
C & & $\times$ & & $\times$ & $\times$ & $\times$ & \\ \hline
D & & & $\times$ & & $\times$ & $\times$ & $\times$ \\ \hline
E & $\times$ & & $\times$ & $\times$ & & $\times$ & $\times$ \\ \hline
F & $\times$ & & $\times$ & $\times$ & $\times$ & & \\ \hline
G & & & & $\times$ & $\times$ & & \\ \hline
\end{tabular}}

\textbf{Remarque :} une équipe peut comporter un seul élève.

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 3 (enseignement de spécialité)}
Un guide touristique classe chaque année les hôtels d'une  
certaine région en deux catégories selon la qualité de leurs prestations. Les  
plus confortables  sont  classés dans la catégorie A, les autres dans la catégorie B.  
On constate que,  chaque année, $5\:\%$ des  hôtels de la catégorie A sont relégués  
dans la catégorie  B, alors que $20\:\%$ des hôtels de la  catégorie B sont promus  
dans la catégorie A.

\begin{enumerate}
\item Dessiner un graphe décrivant cette situation.
\item Écrire la matrice de transition associée à ce graphe en  
respectant l'ordre  alphabétique.
\item En 2002, le classement était tel que le quart des hôtels étaient
classés dans la catégorie A.

Calculer l'état de l'année 2003, puis l'état de l'année 2004.
\item L'état (0,5~;~0,5) est-il stable ? Justifier cette réponse.
\item Trouver vers quel état converge ce système.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 4 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur  
$[0~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{9}{3x + 1} \quad \text{et} \quad g(x) = \dfrac{9}{(x +  
1)^2},\]

et on désigne par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs  
courbes représentatives dans un  repère orthonormal.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la position  relative des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
		\item Donner, sur un même dessin, l'allure de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ restreintes à l'intervalle [0 ; 10]. On pourra utiliser une calculatrice.
	\end{enumerate}
\item On note, pour tout nombre réel $a > 0$, $F(a) = \displaystyle
  \int_0^a f(x)\:\text{d}x$ et $G(a) = \displaystyle\int_0^a
  g(x)\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F(a) =  3\ln (3a + 1)$ et $G(a) = \dfrac{9a}{a + 1}$.
		\item Donner les valeurs exactes de $F(2)$ et $G(2)$, puis une valeur
décimale arrondie au centième.
		\item Interpréter graphiquement $F(2)$ et $G(2)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} F(a)$ et
$\displaystyle\lim_{a \to + \infty} G(a)$. Ces résultats étaient-ils prévisibles au vu des questions  précédentes ?
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 5 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On considère les fonctions $f,~g$ et $h$, définies sur  
l'intervalle $]0~;~+\infty[$, respectivement par

\[f(x) = \dfrac{1}{x} \qquad   g(x) = \text{e}^x \qquad h(x) = - 3x+  
2.\]

\begin{enumerate}
\item Rappeler les sens de variation des fonctions $f,~g$ et $h$.
\item Écrire l'expression, en fonction de la variable $x$, des fonctions
$h \circ f$ et $g \circ h$, définies sur l'intervalle $]0~;~+\infty 
[$ puis, en utilisant la composition desfonctions, étudier le sens de variation de ces deux fonctions.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 6 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\parbox[c]{0.50\textwidth}{La courbe $\mathcal{C}$ ci-contre
est la représentation graphique d'une fonction $f$, définie dans l'intervalle $[0~;~4]$, dans le plan muni d'un repère orthonormal.\\
La mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan hachurée sous cette courbe est égale a $\dfrac{34}{3}$.\\
\begin{enumerate}
\item Exprimer cette mesure à l'aide d'une intégrale.
\item Déterminer, après avoir rappelé la formule utilisée, la valeur  
moyenne de
la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 4]$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox[c]{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(4,4)
\psaxes[Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(5,5)
\pscurve(0,0)(0.2,1)(0.5,2)(1,3)(2.3,4)(3.2,3)(3.5,2)(4,1.5)
\rput(3.5,3){$\mathcal{C}$}
\psline(4,0)(4,1.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\pscurve(0,0)(0.2,1)(0.5,2)(1,3)(2.3,4)(3.2,3)(3.5,2)(4,1.5)
\psline(4,0)(0,0)}
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 7 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Soit A et B deux évènements liés à une expérience aléatoire.
Les probabilités des évènements A, B et A $\cap$ B sont données par les
égalités

\[P(\text{A}) = \dfrac{5}{3} \qquad 	P(\text{B}) = \dfrac{3}{4} \qquad
P(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{2}{5}.\]

\begin{enumerate}\item L'une des données ci-dessus est aberrante,  
laquelle ? pourquoi ?

\item Modifier cette donnée de façon que les évènements A et B soient
indépendants.

\item En conservant cette nouvelle donnée, déterminer la valeur de
$P_{\text{A}}(\text{B})$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}


\subsection*{Exercice \no 8 (enseignement obligatoire)}

\medskip

On donne ci-dessous les variations d'une fonction $f$,  
définie et
dérivable sur $\R$, et on nomme $\mathcal{C}$
sa représentation graphique dans un repère orthonormal \Oij.

\begin{center} \begin{pspicture}(9,3)
     \psframe(9,3)
     \psline(1,0)(1,3)
     \psline(0,2)(9,2)
     \psline{->}(1.3,1.5)(2.7,0.4)
     \psline{->}(3.3,0.4)(4.7,1.5)
     \psline{->}(5.3,1.5)(6.7,0.4)
         \psline{->}(7.3,0.4)(8.7,1.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.3,2){$-\infty$} \uput[u](3,2){$0$}
\uput[u](5,2){$4$} \uput[u](7,2){$9$} \uput[u](8.7,2){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,0.8){$f(x)$} \uput[d](1.3,2){$+ \infty$}
\uput[u](3,0){$-2$}
\uput[d](5,2){$3$} \uput[u](7,0){$-1$} \uput[d](8.8,2){$0$}
\end{pspicture} \end{center}

Répondre, par VRAI ou FAUX, aux questions suivantes (une
justification est demandée lorsque la réponse est FAUX, aucune
justification n'est demandée lorsque la réponse est VRAI)

\begin{enumerate}\item Pour tout réel $x,~ f(x) \geqslant -2$.

\item L'équation $f(x) = - 3$ admet au moins une solution dans $\R$.

\item L'équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans $[4~ ;~9]$.

\item Pour tout réel $x,~ f'(x) \geqslant 0$.

\item $f'(1) < 0$.

\item La droite d'équation $y = 0$ est asymptote à la courbe $\mathcal 
{C}$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{1}{f(x)} = + \infty$.

\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{f(x)} = + \infty$.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 9 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormal (unité  graphique : 1 cm), on donne les tableaux de variations et les trois représentations graphiques $\mathcal{C}_{f},~ \mathcal{C}_{g},~ \mathcal{C}_{h}$ respectives des fonctions $f,{}g,{}h$ définies sur l'intervalle
$]0~;~+ \infty[$.

\parbox[c]{0.4\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin 
{pspicture}(7,7)
\psframe(7,7)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,4)(7,4) \psline(0,6)(7,6)
\psline(1,0)(1,7)
\psline{->}(1.5,5.6)(6.5,4.4)
\psline{->}(1.5,2.6)(3.6,3.6)
\psline{->}(4.3,3.6)(6.5,2.5)
\psline{->}(1.5,1.5)(3.9,0.6)
\psline{->}(4.1,0.6)(6.5,1.5)
\uput[u](0.5,6){$x$} \uput[u](1.2,6){$0$} \uput[u](3,6){$1$}
\uput[u](4,6){$3$} \uput[u](5,6){$5$} \uput[u](6.5,6){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,4.8){$f(x)$} \uput[d](1.4,6){$+ \infty$} \uput[u](3,4.9){$1$}
\uput[u](5,4.4){$1/5$} \uput[u](6.7,4){$0$} \uput[u](0.5,2.8){$g(x)$}
\uput[u](1.4,2){$-\infty$} \uput[u](3,3){$1$} \uput[d](4,4){$4$}
\uput[u](5,2.9){$1/5$} \uput[u](6.5,2){$-\infty$}
\uput[u](0.5,0.8){$h(x)$}
\uput[d](1.2,2){$6$} \uput[u](3,0.55){$0$} \uput[u](4,0){$-3/2$}
\uput[u](5,0.55){$0$} \uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}
(-1,-3)(8,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-1,-3)(8,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-1,0)(7,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot{0.2}{8}{1 x div}
\pscurve(0.2,-3)(0.7,0)(1,1)(2,3.1)(3,4)(4,2.85)(5,0.2)(6,-1.2)(7,-2) 
(8,-2.2)
\pscurve(0.3,5)(.5,3.5)(1,0)(2,-1.2)(3,-1.4)(4,-1.2)(5,0)(6,3)(6.35,5)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchsep=8pt]{
\pscurve(0.2,-3)(0.7,0)(1,1)(2,3.1)(3,4)(4,2.85)
\psplot{4}{1}{1 x div}}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchsep=8pt]{
\pscurve(1,0)(2,-1.2)(3,-1.4)(4,-1.2)(5,0)
\psline(5,0)(1,0)}
\rput(2.7,1.7){$\mathcal{A}_{1}$}
\rput(2.7,-0.8){$\mathcal{A}_{2}$}
\rput(6.3,0.5){$\mathcal{C}_{f}$}
\rput(6.3,-2.1){$\mathcal{C}_{g}$}
\rput(6.3,3){$\mathcal{C}_{h}$}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Exprimer à l'aide d'intégrales, les mesures, exprimées en cm$^2$, des aires des domaines plans $\mathcal{A}_{1}$ et $\mathcal{A}_{2}$.
\item Sachant que $f(x) = \dfrac{1}{x}$, calculer à $0,1$cm$^2$ près,
la mesure de l'aire du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 3$.
\item Sachant que sur l'intervalle $[1~;~ 3],~ 1 \leqslant  g(x)
\leqslant 4$, en déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^3
g(x)\:\text{d}x$.
\item Déterminer le signe des intégrales suivantes en justifiant précisément chacune des réponses

\[\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \qquad\int_{1}^3 - g(x)\:\text{d}x \qquad \int_{1}^2  h(x)\: \text{d}x.\]

\item Comparer les nombres $I,{}J,{}K$ définis par :

\[I = \int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x \qquad  J =\int_{1}^3 g(x)\:\text{d}x \qquad  K = \int_{1}^3 h(x)\:\text{d}x.\]

\item Calculer, à $0,1$ près, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1~;~4]$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 10 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textbf{Première partie}

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction
dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle
$[-1~;~3]$. La fonction $f'$ est strictement croissante et admet
comme valeurs particulières

\[f'(-1) = - 11 \quad  f'(0) = -2 \quad f'(1)= 0 ,\quad f'(3) = 0,3.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[-1~;~3]$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$.
\item La fonction $f$ admet-elle sur l'intervalle $[-1~;~3]$
un maximum en 1 ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-11)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-11)(3,4)
\psgrid[gridcolor=orange,gridlabels=0pt]
\uput[dl](0,0){O}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000](-1,-11)(0,-2)(1,0)(2,0.27)(3,0.3)
\rput(1,3){\textbf{Représentation graphique de } \boldmath $f'(x)$ \unboldmath}
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1~;~3]$  
par $g(x)= \text{e}^{-x^2+2x}$.

Démontrer que $g$ admet un maximum en $1$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Troisième partie}

Déterminer une fonction $h$, définie sur l'intervalle $[-1~;~3]$,
qui admet un minimum en 1. On exprimera $h(x)$ en fonction de $x$.

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 11 (enseignement obligatoire)}

\medskip

\textsl{Dans ce questionnaire à choix multiples, sur chaque ligne, deux
affirmations sont proposées, \textbf{au moins une est vraie}. On  
demande d'écrire dans chaque case si le résultat proposé est vrai ou faux.}\par\medskip
\textsl{Aucune justification n'est demandée.}\par\medskip
\textsl{Un certain nombre de points est affecté à chaque case. Une  
réponse correcte rapporte alors le nombre de points affecté, une réponse  
incorrecte enlève la moitié  du nombre de points affecté.}

\textsl{Le candidat peut décider de ne pas se prononcer sur certains
résultats. Il ne gagne alors aucun point et n'en perd aucun. Si le  
total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\begin{center}
  %\renewcommand{\arraystretch}{3}
  %\begin{tabular}{|m{7cm}|*{2}{>{\hfil}m{3cm}<{\hfil}|}}\hline 
\begin{tabular}{|m{7cm}|*{2}{>{\centering}m{3cm}|}}\hline
    % 1ere question
    Soit $a$ un réel strictement positif \[\ln\left(\dfrac{a^2}{25}\right) = \ldots\]& $2(\ln a - \ln 5)$ & 	
    $\ln\left(a^2\right) - 2 \ln 5$\tabularnewline \hline
L'inéquation $2 \ln(1 - x) - \ln(x + 5)  
    \leqslant 0$ a pour ensemble de solutions :\par\medskip&$[-2~;~ 1[$&$[-1~;~1[$\tabularnewline \hline
La dérivée de la fonction $g$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = (-1 + \ln x)^2$ est donnée par $g'(x)= \cdots$\par\medskip&$ - 2  + 2 \ln x$ & $\dfrac{-2 +2\ln x}{x}$\tabularnewline \hline
% 4e
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, $D$ est la droite d'équation $y =  x + 3$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$,  
    définie sur $]0~;~ + \infty[$ par $f(x) = 3 + x - 2
    \dfrac{\ln x}{x}$\par\medskip&$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = +
    \infty$&\raggedright la droite $D$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en 
    $+\infty$.\tabularnewline \hline
  \end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 12 (enseignement obligatoire)}

\medskip

Une entreprise envisage de lancer sur le marché une gamme  
de nouveaux produits. Dans le tableau ci-dessous figure une partie des résultats d'une enquête  
réalisée pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels (noté $y_{i}$) en fonction du prix de  
vente des produits en euros (noté $x_{i}$).

\[{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7} 
{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ & 30& 50& 70& 80& 90&  100\\ \hline
$y_{i}$&	632& 475& 305& 275& 266& 234\\ \hline
\end{tabularx}}\]

On décide d'effectuer le changement de variable $z_{i} =
\ln \left(y_{i}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous en  
arrondissant  les valeurs de $z_{i}$ à  $10^{-4}$.

\[{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7} 
{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$& 30& 50&70& 80& 90& 100\\ \hline
$z_{i}$& & & & & & \\\hline
\end{tabularx}}\]

\item Dans un repère orthogonal \Oij, construire le nuage de points
$(x_{i},~ z_{i})$ et placer le point $K$ de coordonnées $(\overline{x},~\overline{z})$, $\overline{x}$ et $\overline{z}$   étant les moyennes respectives des $x_{i}$ et des $z_{i}$.
\item Donner, par la méthode des moindres carrés, une équation de la
droite de régression de $z$ en $x$, sous la forme $z = ax + b$ ($a$ et $b$ seront donnés à $10^{-4}$ près par excès). Tracer la droite   sur le graphique précédent.
\item En déduire une estimation du nombre d'acheteurs potentiels $y$, en fonction de $x$, sous la forme $y = C\text{e}^{- kx}$~~ ($C$ et $k$  étant des constantes avec $C$ arrondi à l'entier le plus proche).
\item Utiliser cette estimation pour déterminer le nombre d'acheteurs
potentiels pour un produit vendu à 75~\euro.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{Exercice \no 13 (enseignement de spécialité)}

\medskip
Dans la plaine du Serengeti, en Tanzanie, huit prés sont  
identifiés par les lettres A, B, C, D, E, F, G et H. Un troupeau de zèbres doit
partir du pré A pour rejoindre le pré H en se déplaçant de pré en pré.
Pour passer directement d'un pré à l'autre, les zèbres peuvent, dans certains cas, emprunter un chemin. Tous les chemins   traversent un certain nombre de rivières. Bien entendu, la traversée d'une rivière est extrêmement dangereuse pour les zèbres  à cause des crocodiles
qui les attendent impatiemment.

Les chemins possibles entre les prés sont représentés par  les arêtes du graphe ci-dessous, dont les sommets représentent les prés. Le  nombre de rivières coupant un chemin est le poids affecté à l'arête représentant ce  chemin. Le poids de chaque arête est indiqué sur le graphe.

\begin{center}\psset{unit=1.3cm} \begin{pspicture}(8,4)
\cnodeput(0,1.5){A}{A} \cnodeput(0.9,0.3){B}{B}
\cnodeput(4.6,0){C}{C} \cnodeput(1.4,2.8){D}{D}
\cnodeput(5.3,3){E}{E} \cnodeput(4.8,1.2){F}{F}
\cnodeput(7.5,0.1){G}{G} \cnodeput(8.5,1.6){H}{H}
\ncline{A}{B} \ncput*{2}\ncline{A}{D} \ncput*{3}
\ncline{A}{C} \ncput*{2} \ncline{A}{F} \ncput*{4}
\ncline{D}{B} \ncput*{2} \ncline{F}{B} \ncput*{2}
\ncline{E}{B} \ncput*{3}
\ncline{C}{D} \ncput*{1} \ncline{C}{G} \ncput*{2}
\ncline{E}{D} \ncput*{2} \ncline{F}{D} \ncput*{2}
\ncline{E}{H} \ncput*{1}
\ncline{F}{H} \ncput*{1}
\ncline{G}{H} \ncput*{1}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre minimal de fleuves que  les zèbres devront traverser, en remplissant le tableau situé sur la feuille annexe.  Indiquer alors leuritinéraire.
\item Existe-t-il d'autres parcours donnant ce même nombre minimal de
fleuves ? Si oui, les donner tous.
\end{enumerate}
\end{document}