\begin{CORRIGE}{1}
\Partie{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Le triangle $AMI$ est rectangle en $A$, donc d'après Pythagore,
  $MI^2 = AM^2 + IM^2$, Soit $(1-h)^2 = h^2 +\frac{1}{4}$. On en
  déduit que $ 1-2h + h^2 = h^2 + \frac{1}{4}$. D'où $ 4h =
  \frac{3}{4}$ et donc $ h = \frac{3}{8}$.
\item Les angles $\widehat{AIM}$ et $\widehat{BIN}$ sont
  complémentaires, leur somme vaut $\ang{90}$. On en déduit que les
  angles $\widehat{AMI} $ et $\widehat{BNI}$ sont eux aussi
  complémentaires.

  Les triangles $AIM$ et $BNI$ sont donc semblables.

  On peut bien sûr utiliser la trigonométrie dans les triangles semblables.
\item On en déduit que $ \frac{AI}{BN} = \frac{AM}{BI}$, et donc après
  un produit en croix : $\frac{AM}{AI} = \frac{IB}{BN}$.
\item Donc, $BN = \frac{AI \times IB}{AM} = \frac{1}{4} \times
  \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$.
\item Le côté contenant, $BN$ est coupé en $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\Partie{Partie B}
\begin{enumerate}
\item On a donc $ h^2 + x^2 = (1-h) ^2$, soit $ h = \frac{1-x^2}{2}$.
\item Toujours les triangles semblables $AIM$ et $BNI$, on a :
  \[
    \frac{AI}{AM} = \frac{BN}{BI}, \text{ soit } BN = \frac{AI \times
    BI}{AM} = \frac{2x(1-x)}{1-x^2} = \frac{2x}{1+x}.
  \]
\item Si $x = \frac{1}{6}$, alors $BN =
  \frac{\frac{2}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{2}{7}$.
\item On commence par faire la moitié, puis on applique l'algorithme
  précédant pour trouver le tiers de cette moitié, soit
  $\frac{1}{6}$. Puis, on applique l'algorithme, pour trouver
  $\frac{2}{7}$, on coupe ensuite en $2$ pour trouver $\frac{1}{7}$.
\item On cherche $x$ tel que $ \frac{2x}{1+x} = \frac{2}{5}$, soit $x
  = \frac{1}{4}$. On applique alors l'algorithme, puis, on recoupe en
  deux pour avoir $\frac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
    \begin{enumerate}
    \item Pour Annissa, il n'y a que deux possibilités suivant qu'elle
      révise le premier jour ou pas.
    \item Pour Blandine, chaque jour, il y a deux possibilités. Donc
      au bout de 10 jours, il y a $2^{10} = 1024$ possibilités.
    \item Pour Carla, faisons un arbre, $R$ note la révision,
      $\bar{R}$ note l'absence de révision.

      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[grow=east,
          level 1/.style={sibling distance=6em},
          level 2/.style={sibling distance=4.5em},
          level 3/.style={sibling distance=3em},
          level 4/.style={sibling distance=1em}
          ]
          \node {\textbullet}
          child{ node {$R$}
            child { node {$\bar{R}$}
              child{node {$R$}
                child{node{$\bar{R}$}}
              }
              child {node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
          }
          child{ node {$\bar{R}$}
            child{node {$R$}
              child{node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
            child {node {$\bar{R}$}
              child{node {$R$}
                child{node {$\bar{R}$}}}
              child {node {$\bar{R}$}
                child{node {$R$}}
                child {node {$\bar{R}$}}
              }
            }
          }
          ;
        \end{tikzpicture}
        \caption{ }
        \label{fig_Be17_01C}
      \end{figure}
      Chaque $R$ engendre un $\bar{R}$ et chaque $\bar{R}$ engendre un
      $R$ et un $\bar{R}$.

      Notons $U_n$ le nombre de $R$ et $V_n$ le nombre de $\bar{R}$.
      On a :
      \begin{itemize}
      \item $U_1 = V_1 = 1$ ;
      \item $U_2 = V_1 = 1$ et $V_2 = U_1 + V_1 = 2$ ;
      \item $U_3 = V_2 = 2 $ et $V_3 = U_2 + V_2 = 3 $ ;
      \item $U_4 = V_3 = 3$ et $V_3 = U_3 + V_3 = 5$ ;
      \item $U_5 = 5$ et $V_5 = 8$ ;
      \item $U_6 = 8$ et $V_6 = 13$ ;
      \item $U_7 = 13$ et $V_7 = 21$ ;
      \item $U_8 = 21$ et $V_8 = 34$ ;
      \item $U_9 = 34$ et $V_9 = 55$ ;
      \item $U_{10} = 55$ et $V_{10} = 89$.
      \end{itemize}
      On a reconnu la suite de Fibonacci.

      Au bout de $10$ jours, il y a donc $U_{10} + V_{10}$ façons de
      s'organiser, soit $144$ façons de s'organiser.
    \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
