\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Aix-Marseille juin 2000},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Aix-Marseille}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Aix-Marseille\footnote{Montpellier, Nice--Corse, Toulouse} juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

On considère les nombres :

\[A = \dfrac13 + \dfrac23  \times \dfrac25, \qquad 
B = \left(5\sqrt2 - 7\right)\left(5\sqrt2 + 7\right)\]

En faisant apparaître les différentes étapes des calculs :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d’une fraction irréductible. 
\item Écrire B sous la forme d’un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

On donne : $D = (2x - 3)(5x + 4) + (2x - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer, en détaillant les calculs, que $D$ peut s’écrire : $D = (2x - 3)(7x + 1)$.
\item Résoudre l’équation : $(2x - 3)(7x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Voici un problème :

Une salle de spectacles propose des spectacles pour un tarif A et des spectacles pour un tarif B. 

Laura réserve 1 spectacle au tarif A et 3 spectacles au tarif B. Elle paie $480$ F.

Michel réserve 2 spectacles au tarif A et 1 spectacle au tarif B. Il paie $410$ F.

On cherche à calculer le prix d’un spectacle au tarif A et le prix d’un spectacle au tarif B.

Pour faire ces calculs, ton professeur te propose de résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{2}x+3y&=&480\\
2x + \phantom{2}y &=& 410
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Que représentent dans le système ci-dessus les lettres $x$ et $y$ ?
\item Quelle information donnée par l’énoncé est traduite par l’équation $x + 3y = 480$ ?
\item Quelle information donnée par l’énoncé est traduite par l’équation $2x + y = 410$ ?
\item Résoudre le système.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

La figure ci-dessous est donnée à titre d’exemple pour préciser la disposition des points. 

Ce n’est pas une figure en vraie grandeur.

On donne :
 
\begin{itemize}
\item les points K, O, L sont alignés ; O est entre K et L; OK $= 2$ cm ; OL $= 3,6$ cm ;
\item les points J, O, N sont alignés ; O est entre J et N ; OJ $= 3$ cm ; ON $= 5,4$ cm ;
\item le triangle OKJ est rectangle en K.
\end{itemize}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer l’angle $\widehat{\text{OJK}}$ (on donnera l’arrondi au degré près).
\item Démontrer que les droites (JK) et (LN) sont parallèles.
\item Déduire de la question 2, sans effectuer de calculs, que les angles $\widehat{\text{OJK}}$ et $\widehat{\text{ONL}}$ sont égaux.
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill 
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(3,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1,0.4)(0.2,2.8)(2.4,3.3)%JKLN
\uput[dl](0,0){J} \uput[dr](1,0.4){K} \uput[ul](0.2,2.8){L} \uput[ur](2.4,3.3){N} 
\uput[l](0.8,1){O} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon $10$~cm selon un cercle (C) de centre H. La distance OH du centre de la sphère à ce plan P vaut $6$~cm.

La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.

Cette figure ci-dessous représente la sphère et le cercle (C) . Le point A est un point du cercle (C).

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item En utilisant uniquement les données de l’énoncé, tracer en vraie grandeur le triangle OHA, rectangle en H. On laissera les traits de constructions apparents.
\item Calculer le rayon du cercle (C) .
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(2,2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0.75)(1.85,0.35){0}{180}
\psellipticarc(0,0.75)(1.85,0.35){180}{360}
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(0,0.75)(1.4,0.53)%OHA
\psline(0,0.5)(0.25,0.45)(0.25,0.7)
\uput[l](0,0){O} \uput[ul](0,0.75){H} \uput[dr](1.4,0.53){A} \uput[d](-1,0.4){(C)} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Dans ce problème, l’unité de longueur est le centimètre et l’unité d’aire est le cm$^2$
La figure ci-dessous est donnée à titre d’exemple pour préciser la disposition des points. Ce n’est pas une figure en vraie grandeur.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{itemize}
\item ABC est un triangle rectangle tel que : AC $= 20$ cm ; BC $= 16$ cm ; 
AB $= 12$ cm;
\item F est un point du segment [BC] ;
\item la perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe [CA] en E.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(5,3.5)
\pspolygon(0,2.8)(0,0)(4.2,0)%ABC
\psline(0,0)(2.2,1.35)%AE
\psline(2.2,1.35)(2.2,-0.35)%RF
\uput[ul](0,2.8){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4.2,0){C} \uput[ur](2.2,1.35){E} \uput[dr](2.2,0){F}
\psframe(2.2,0)(2.45,0.25)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie 1 \hfill 3,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Calculer l’aire du triangle ABC.
\item Démontrer, en s’aidant de la question 1 que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 \hfill 4 points}

\medskip

On se place dans le cas où CF $= 4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que EF = 3 cm.
\item Calculer l’aire du triangle EBC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 \hfill 4,5 points}

\medskip

On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C.

Dans cette partie, on pose CF $= x$ ($x$ étant un nombre tel que : $0 < x < 16$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à : $\dfrac34 x$.
\item  Montrer que l’aire du triangle EBC, exprimée en cm$^2$, est égale à $6x$.
\item Pour quelle valeur de x l’aire du triangle EBC, exprimée en cm$^2$, est-elle égale à $33$ ?
\item Exprimer en fonction de $x$ l’aire du triangle EAB. 

Pour quelle valeur exacte de $x$ l’aire du triangle EAB est-elle égale au double de l’aire du triangle EBC ?
\end{enumerate}
\end{document}