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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Caen Rennes}
\lfoot{\small septembre 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Caen Rennes septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On pose : $A = (4x - 3)(x - 1) - 5(4x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation : $(4x - 3) (x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'identité remarquable: $(a + b)^2 = \ldots$
\item En utilisant cette identité remarquable, calculer $103^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose : $B = \dfrac23 - \dfrac43 \times \dfrac52$ \qquad et \qquad $C = 5 + \left(1 + \dfrac18 \right) : \dfrac34$.

\smallskip

Calculer $B$ et $C$ en faisant apparaître les différentes étapes de calcul et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.


\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On pose : $D = \sqrt{3^2 \times 2 \times 4^2}$\qquad  et \qquad $E = - \dfrac{\sqrt{20}}{2}$.

Écrire $D$ et $E$ sous la forme $a \sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible.

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de \np{1512} et \np{3150}.
\item Écrire le nombre $\dfrac{\np{3150}}{\np{1512}}$ sous forme de fraction irréductible, en faisant apparaître les étapes de calcul. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La base ABC d'une pyramide SABC est un triangle rectangle et isocèle en A.

La hauteur de cette pyramide est [SA].

On donne :

AB = AC $= 4$ cm et SA $= 5,5$ cm.

Un plan parallèle à la base coupe les arêtes [SA], [SB] et [SC] respectivement en M, N et O.

On a SM $= 4,4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La figure ci-après représente la pyramide en perspective posée sur sa base ABC.

Compléter cette figure en nommant les sommets. Puis, sur cette même figure, représenter la section MNO.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est la nature du triangle MNO ?

Calculer MN.
\item Dessiner sur la copie le triangle MNO en vraie grandeur.

À partir de ce triangle, construire un patron de la pyramide SMNO.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{MSN}}$ (donner le résultat arrondi au degré).
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,6.3)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(4.5,1.9)(1.5,6.2)
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted,dotsep=1pt](0,0)(1.5,1.9)(4.5,1.9)
\psline[linewidth=1.4pt,linestyle=dotted,dotsep=1pt](1.5,1.9)(1.5,6.2)
\psline(1.5,2.1)(1.7,2.1)(1.7,1.9)
\psline(1.4,1.741)(1.6,1.741)(1.76,1.9)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en rouge l'image de la figure F par la symétrie centrale de centre O.

On obtient la figure F$_1$.
\item Construire en vert l'image de la figure F par la translation qui transforme O en A.

On obtient la figure F$_2$.
\item Construire en bleu l'image de la figure F par la rotation de centre B d'angle $90\degres$ dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

On obtient la figure F$_3$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(20,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](6,6)(15,6)(12,4)
\psline(6,6)(7,6)(7,5)(12,4)(6,4)
\psarc(6,5){1}{90}{270}
\uput[ul](6,6){O} \uput[u](15,6){A} \uput[dr](12,4){B} \rput(6,5){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Alain a décidé qu'il partirait en vacances fin juin pour quelques jours (15 au maximum). Il se renseigne auprès de trois agences de tourisme pour organiser son voyage. Il étudie les différents tarifs proposés afin de choisir le plus économique. Voici le détail :

\bigskip

\textbf{Première partie = (Agence  \no 1 \og Agence Vendéenne \fg)} 

\medskip

Cette agence propose le tarif unique de $200$ F par jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours	&5	&			&12	&15\\ \hline
Prix			&	&\np{1600}	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On suppose qu'Alain part $x$ jours avec l'Agence Vendéenne. 

Exprimer en fonction de $x$ le prix P$_1$ de son séjour.
\item Soit la fonction linéaire : $x \longmapsto  200x$.

Représenter graphiquement cette fonction, en rouge, pour $x$ compris entre 0 et 15, sur le graphique ci-après.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie: Agence \no 2 (\og Agence Aquitaine \fg)}

\medskip

La tarif de cette agence comporte une cotisation forfaitaire de $400$ F
et en plus chaque journée est facturée $150$ F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien paiera Alain s'il part $8$ jours, s'il part $15$ jours ?
\item Si Alain part $x$ jours, quel sera le prix P$_2$ de son séjour ?
\item S'il choisit cette agence, avec \np{1800}~F d'économies, combien de jours de vacances pourra-t-il s'offrir ?
\item Sur le graphique ci-après, représenter en vert la fonction $x \longmapsto \text{P}_2$ pour $x$ compris entre 0 et 15.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie : Agence \no 3 (\og Agence Bretagne \fg)}

\medskip

Cette agence propose le tarif représenté par le graphique noir sur la figure suivante. On l'appelle P$_3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner le prix du séjour pour 5 jours, pour 15 jours. 

Avec l'Agence Bretagne, combien pourrait-il s'offrir de jours de vacances s'il veut dépenser \np{2000} F ?
\item Finalement, après avoir consulté son compte, il dispose d'une somme de \np{2400} F. Il choisit l'agence qui lui permet le plus de jours de vacances. 

Par lecture graphique, indiquer quelle est cette agence et combien ainsi il pourra s'offrir de jours de vacances.

\begin{center}
\psset{xunit=0.66cm,yunit=0.0033cm}
\begin{pspicture}(-1,-200)(17,3400)
\multido{\n=0.0+0.2}{86}{\psline[linewidth=0.075pt](\n,0)(\n,3400)}
\multido{\n=0+40}{86}{\psline[linewidth=0.075pt](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(17,3400)
\uput[u](14.5,0){Nombre de jours}\uput[r](0,3300){Prix du séjour (F)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(5,1200)(11,2000)(16,2400)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}