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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Clermont}
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\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Clermont juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en montrant les étapes intermédiaires et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible : 

\[A = \dfrac{1,6 \times 10^{- 10}}{4 \times 10^{-9}}\qquad  B = \left(\dfrac{11}{3} - 7\right) \div \dfrac{25}{6} \qquad C = \dfrac37 - \dfrac25 \times \dfrac{15}{4}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l’expression algébrique : $D = (3x + 1)(6x - 9) - (2x - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $D$ peut s’écrire sous la forme développée et réduite : $D = 14x^2 - 9x - 18$.
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac32$ puis pour $x = 2$.
(écrire le deuxième résultat sous la forme $a+b\sqrt2$, avec $a$ et $b$ entiers)
\item Factoriser $6x - 9$, puis factoriser $D$.
\item En déduire les solutions de l’équation $D = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La société ALO propose un abonnement téléphonique de 17,4~\euro{} par mois et 0,20~\euro{} la minute de communication.

La société OLA propose un abonnement téléphonique de 14,2~\euro{} par mois et 0,35~\euro{} la minute de communication.

On désigne par $x$ le nombre de minutes de communication par mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ le montant d'une facture de ALO, puis le montant d'une facture de OLA.
\item Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormal (O, I, J) placer les points A$(-7~;~1)$ et B(1~;~7)

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnée des vecteurs $\vect{\text{OA}},\, \vect{\text{OB}},\, \vect{\text{AB}}$ ?
		
Démontrer que AOB est un triangle rectangle isocèle.
		\item Soit $C$ le cercle circonscrit au triangle AOB.
		
Calculer les coordonnées de son centre S et son rayon.
	\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction affine définie par $f(- 7) = 1$ et $f(1) = 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f$.
		\item Quelle est la représentation graphique de la fonction $f$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
IR $= 8$ cm,\, RP $= 10$ cm,\, IP $= 4,8$ cm,

 IM $= 4$ cm,\, IS $= 10$ cm,\, IN $= 6$ cm, \, IT $= 6$ cm.

(on ne demande pas de refaire la figure)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (ST) et (RP) sont parallèles. 
\item En déduire ST.
\item Les droites (MN) et (ST) sont-elles parallèles ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(8.5,6)
%\psgrid
\psline(0,5.4)(8.7,0)%SN
\psline(2.4,0)(7.7,5.4)%TM
\psline(0.3,5.5)(2.7,0)%ST
\psline(1.3,5)(3.3,0.7)%RP
\psline(5.8,5.7)(8.1,0)%MN
\uput[u](4.8,2.4){I} \uput[u](6.43,4.17){M} \uput[ur](8,0.45){N} \uput[r](3.23,0.83){P} 
\uput[ur](1.57,4.42){R} \uput[dl](0.46,5.1){S} \uput[d](2.6,0.2){T} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
Lors d’un transport exceptionnel sur route, un objet est protégé dans une caisse dont la forme est un prisme droit représenté ci-contre.

Toutes les longueurs sont exprimées en mètres.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,3.5)
\pspolygon(0,0.7)(1.3,0)(5.3,0.1)(5.3,0.8)(4.7,2.4)(3.2,3.1)(2.3,3)
\psline(4.7,2.4)(3.8,2.3)(2.3,3)
\psline(1.3,0)(3.8,2.3)
\psline[linestyle=dashed](0,0.7)(3.8,0.8)(5.3,0.1)
\psline[linestyle=dashed](3.8,0.8)(3.8,1.5)(3.2,3.1)
\psline[linestyle=dashed](3.8,1.5)(5.3,0.8)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On considère une base du prisme, inscrite dans le rectangle FGCD : FG $= 12$ et GC $= 8$.

Sur le côté [GC],on a placé le point B tel que 

GB $= 3\sqrt{3}$.

Sur le côté [FG], on a placé :

le point E tel que EF = EG,

le point A tel que $\widehat{\text{GBA}} = 30\degres$.

On rappelle que $\sin 30\degres = \dfrac12$ et $\cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\pspolygon(0,0)(2.85,3.7)(4.25,3.7)(5.7,1)(5.7,0)%DEABC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3.7)(2.8,3.7)%DFE
\psline[linestyle=dashed](4.2,3.7)(5.7,3.7)(5.7,0)%AGB
\uput[u](4.2,3.7){A} \uput[r](5.7,1){B} \uput[r](5.7,0){C} \uput[dl](0,0){D}
\uput[u](2.85,3.7){E} \uput[ul](0,3.7){F} \uput[ur](5.7,3.7){G} \uput[u](3.5,3.7){3}
\uput[r](5.7,2.35){$3\sqrt{3}$} \uput[d](2.85,0){12} \uput[l](0,1.85){8}
\psarc(5.7,1){0.5}{90}{122}\rput(5.5,1.85){\footnotesize $30\degres$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{1\up{re} PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\cos 30\degres$ dans le triangle AGB. En déduire AB $= 6$.
\item Exprimer de même $\sin 30\degres$ dans le triangle AGB. En déduire AG $= 3$.
\item Calculer ED.
\item Vérifier que le pentagone ABCDE a un périmètre égal à $39 - 3\sqrt{3}$.
\item Sachant que le prisme droit a une hauteur de $5$~mètres, calculer son aire latérale.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{2\up{e} PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l’aire du rectangle FGCD.
\item Calculer les aires des triangles DFE et AGB.
\item En déduire la valeur exacte de l’aire du pentagone ABCDE.
\item Montrer que l’aire totale du prisme droit est égale à $339 - 24\sqrt3$. En donner une valeur arrondie au dixième de mètres carrés près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{3\up{e} PARTIE}

\medskip

On souhaite recouvrir cette caisse de deux couches de peinture. Un pot de peinture permet de recouvrir une surface de 25~m$^2$ pour la première couche ; la deuxième couche nécessite 35\,\% de peinture de moins que la première couche.

Pour des raisons pratiques on prendra pour valeur de l’aire totale, 298 m$^2$. 

Calculer :

\medskip

\begin{enumerate}
\item le nombre de pots nécessaires pour la première couche (résultat arrondi à l’unité près).
\item le nombre de pots nécessaires pour la seconde couche (résultat arrondi à l’unité près).
\item le nombre de pots indispensables pour la première couche (résultat arrondi à l’unité près).
\end{enumerate}
\end{document}