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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Djibouti}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Djibouti juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A$ et $B$ en faisant apparaître chaque étape de calcul et en donnant les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

\[A = 1 - 5 \times \dfrac52 \times \dfrac{4}{15}, \qquad B =  \dfrac{2 -  \dfrac{1}{4}}{2 +  \dfrac{1}{4}}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On rappelle que la notation scientifique d'un nombre décimal est de la forme  : $a \times 10^p$ , où $a$ est un nombre décimal ayant un seul chiffre différent de zéro à gauche de la virgule et où $p$ est un nombre entier relatif.

Calculer $C$ en faisant apparaître chaque étape de calcul et en donnant le résultat en notation scientifique.

\[C = 7,5 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-14}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que: $\sqrt{48} = 4\sqrt 3$.
\item Soit : $E = 4\sqrt{48}  + 8\sqrt{3}$.

Écrire $E$ sous la forme $b\sqrt{3}$,où $b$ est un  entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Voici un programme de calcul : 
\begin{center}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]on choisit un nombre 
\item[$\bullet~~$]on lui ajoute 3
\item[$\bullet~~$]on élève le résultat au carré
\item[$\bullet~~$]on retranche 25 au nombre obtenu
\end{itemize}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Appliquer ce programme de calcul au nombre 2. Quel nombre obtient-on ?
\item On appelle $n$ le nombre auquel on applique le programme de calcul précédent.

Exprimer, en fonction de $n$, le résultat de ce programme de calcul.

Tester l'expression obtenue en donnant à $n$ la valeur 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression: $F = (x - 7)^2 - 81$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer, puis réduire l'expression $F$.
		\item Factoriser l'expression $F$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre l'équation: $(x + 2)(x - 16) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O dont le diamètre [EF] mesure $10$ cm. Une droite (D), passant par le point F, coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en un point G tel que: FG $= 6$ cm. 

La figure ci-dessous n'est pas dessinée en vraie grandeur.

%%%%%%figure
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,2.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.9}
\psline(-1.9,0)(1.9,0)\uput[l](-1.9,0){E}\uput[r](1.9,0){F}
\uput[ul](-1.6,1){$(\mathcal{C})$}
\psline(2.3,-0.6)(0.45,2.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](-1.4,0)(0.92,1.65)(1.13,1.3)(0,0)
\uput[ur](0.92,1.65){G}\uput[dl](1.13,1.3){H}\uput[ur](0.4,2.2){(D)}\uput[d](0,0){O}
\uput[d](-1.4,0){K}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le triangle EFG est un triangle rectangle en G.
		\item Démontrer: EG $= 8$ cm.
	\end{enumerate}
\item H est le point du segment [FG) tel que: FH $= 5,4$ cm et K le point du segment [EF] tel que: FK $= 9$ cm.

Les droites (EG) et (HK) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse donnée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On prendra \np{6367}~km comme valeur approchée du rayon de la sphère terrestre représentée par le dessin ci-dessous.

Sur cette sphère figure la ville de Québec (Canada) dont la longitude est $72\degres$ O et la latitude $46\degres$ N.

%%%%%figure
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,2.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2.15}
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0,0)(2.15,0.45){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(2.15,0.45){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0,1.15)(1.85,0.25){0}{180}
\psellipticarc(0,1.15)(1.85,0.25){180}{360}
\psellipticarc(0,0)(1.7,2.15){-90}{90}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](1.5,1)(0,0)(1.65,-0.24)
\psarc(0,0){0.4}{-12}{30}\rput(0.75,0.18){\footnotesize $46\degres$ N}
\uput[u](0,2.4){\footnotesize Nord}\uput[d](0,-2.35){\footnotesize Sud}
\uput[l](0,0){O}\rput{55}(0.8,-1.45){\footnotesize méridien}\rput(0,0.7){\footnotesize parallèle}\rput(2,0.8){\footnotesize Québec}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

On se place dans la figure ci-dessous qui représente la section de la sphère terrestre par le plan du méridien de longitude $72\degres$ O. Ce grand cercle de la sphère est noté $(\mathcal{C}')$ et a donc pour rayon \np{6367} km.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2.15}
\uput[u](0,2.4){\footnotesize Nord}\uput[d](0,-2.35){\footnotesize Sud}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](2.15;46){\footnotesize Q}
\rput(-1.85,1.6){\footnotesize $(\mathcal{C}')$}
\psline(0,0)(2.15;46)(1.54;90)
\psline(-2.15,0)(2.15,0)\psline(0,-2.15)(0,2.15)
\psframe(0,1.54)(0.2,1.34)\uput[l](1.54;90){H}\psframe(0,0)(-0.2,0.2)
\psarc(0,0){0.4}{0}{46}\rput(0.7,0.32){\footnotesize $46\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir par un calcul que l'angle $\widehat{\text{QOH}}$ mesure $44\degres$.
\item En déduire que l'arrondi au kilomètre du rayon HQ du parallèle de latitude $46\degres$ N est \np{4423}~km.
\item Dans cette question on prendra $3,14$ comme valeur approchée de $\pi$.

En utilisant le résultat de la question précédente, calculer l'arrondi au kilomètre de la longueur du parallèle de latitude $46\degres$ N.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Une société de location d'avions de tourisme propose à ses clients pour un modèle d'avion donné et pour une journée de location, trois types de tarifs : 

\medskip

\textbf{Tarif A :} \np{3000} F l'heure de vol.

\textbf{Tarif B :} Un versement de \np{10000} F auquel s'ajoutent \np{1750} F par heure de vol.

\textbf{Tarif C :} Un forfait de \np{41500} F quel que soit le nombre d'heures de vol effectuées durant la journée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant représentant le coût total de la location de l'avion pour chacun des tarifs lorsque le client utilise :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10 heures de vol dans la journée.
\item[$\bullet~~$] 20 heures de vol dans la journée.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&10 heures de vol&20 heures de vol\\ \hline
Tarif A &&\\ \hline
Tarif B&&\\ \hline 
Tarif C&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Préciser lequel des trois tarifs est le plus avantageux pour 10 heures de vol, puis pour 20 heures de vol.
	\end{enumerate}	
\item Soit $x$ le nombre d'heures de vol effectuées durant la journée. 

Exprimer, en fonction de $x$, le coût total en francs de la location pour les différents tarifs A, B, C.
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal dont l'origine sera placée en bas et à gauche de cette feuille. Dans ce repère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]1 cm représente 2 heures sur l'axe des abscisses;
\item[$\bullet~~$]1 cm représente \np{5000} francs sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}

Construire dans ce repère les représentations graphiques limitées aux points dont l'abscisse est positive :

\begin{itemize}
\item de la fonction linéaire qui, à $x$ heures, associe $\np{3000} x$ (francs) ;
\item de la fonction affine qui, à $x$ heures, associe $\np{1750} x + \np{10000}$ (francs) ;
\item de la fonction affine qui, à $x$ heures, associe \np{41500} (francs).
\end{itemize}


\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système: $\left\{\begin{array}{l c l}y &=& \np{3000}x\\
		y &=& \np{1750}x + \np{10000}
		\end{array}\right.$
		\item Que représente sur le graphique la solution de ce système ? 
		\item En utilisant le graphique, répondre à la question suivante : \og À partir de combien d'heures de vol dans la journée, le tarif B est-il plus avantageux que
le tarif A ? \fg.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation:
$\np{1750}x + \np{10000} \geqslant \np{41500}$.
		\item En déduire à partir de combien d'heures de vol dans la journée le tarif C est plus avantageux que le tarif B ?
		\item Comment cela se traduit-il sur le graphique ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}