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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Espagne}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Espagne juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne $G = (2x - 3)^2 - 36$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $G$.
\item Factoriser $G$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 9) (2x + 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voici un système de deux équations du premier degré à deux inconnues
$x$ et $y$ :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{9}x + \phantom{5}y&=&40\\
9x+5y&=&312
\end{array}\right.\]

Démontrer, en le résolvant, que ce système admet pour solution $x = 28$ et $y = 12$.
\item Un groupe de $40$ personnes s'est inscrit pour une visite guidée en bus de Paris. 

Ce groupe est composée de $x$ adultes et de $y$ enfants. 

Les adultes paient $90$ F et les enfants $50$ F. Le responsable du groupe a remis \np{3120} F à l'organisateur du circuit.

Combien y a-t-il d'adultes et d'enfants dans ce groupe ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Calculer en donnant les étapes intermédiaires et présenter les résultats sous la forme de fractions irréductibles :

\[A = \dfrac78  - \dfrac34 \times \dfrac{20}{9},\quad B = \dfrac{18}{25} \div \left(\dfrac{27}{15} \right), \quad C = \dfrac{36 \times 10^{-4} \times 22 \times 10^3}{
33 \times 10^2 \times 30 \times 10^{-3}}\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On donne $D= 3\sqrt{28} -2\sqrt{700}$.

Écrire $D$ sous la forme $a\sqrt7$ où $a$ est un entier relatif.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la feuille de papier numérotée Annexe 1, que l'on pensera à rendre avec le devoir en fin d'épreuve,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en bleu l'image du triangle ABC par la symétrie orthogonale d'axe (OI).
\item Construire en vert l'image du triangle ABC par la translation qui transforme D en E.
\item Construire en rouge l'image du triangle ABC par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n'est pas en vraie
grandeur.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(7.8,0.3)(2.7,4.5)%CDA
\psline(0.9,1.55)(6.13,1.7)
\uput[dl](0,0){C} \uput[dr](7.8,0.3){D} \uput[u](2.7,4.5){A} \uput[l](0.9,1.55){B} \uput[r](6.13,1.7){E}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On donne
AB $= 4$ cm, \, AE $= 5$ cm

AC $= 6,4$ cm, \, AD $= 8$ cm.

Question :

Les droites (BE) et (CD) sont- elles parallèles 
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n'est pas en vraie
grandeur.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(4.5,2.6)%ACB
\psline(4.5,2.6)(4.5,0)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6,0){C} \uput[u](4.5,2.6){B} \uput[d](4.5,0){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
ABC est un triangle rectangle en B. 

H est le pied de la hauteur issue de B.

On donne AB $= 8$ cm BH $= 4$ cm

$\widehat{\text{BCA}} = 60\degres$.
\end{minipage}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en centimètres, la mesure du segment [AH], arrondie au
mm.
\item Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC], approchée à 0,1 près par défaut.
\item Soit J le point du segment [AC] tel que $\dfrac{\text{AJ}}{\text{AC}} = \dfrac{1}{4}$. 

La parallèle à la droite (BC) passant par J coupe le segment [AB] en K. 

Expliquer pourquoi AK $= 2$ cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J). L'unité de longueur est le centimètre.

On donne les points A$(1~;~-3)$ ; B $(-3~;~-5)$ et C(3~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur la feuille de papier millimétré que vous joindrez à votre copie le repère orthonormal (O ; I, J) et placer les trois points A, B, C, dans ce repère.

On veillera à placer le point O au centre de la feuille.
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AC, BC et AB.

Expliquer pourquoi le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.
\item Montrer que le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées $(-1~;~1)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{CK}}$.
\item Construire le point D tel que $\vect{\text{KD}} = \vect{\text{CK}}$.

Montrer que le point D est le symétrique du point C par rapport au point K.

Montrer que le quadrilatère ADBC est un carré.
\item Construire les points A$'$, B$'$ et D$'$, symétriques respectifs des points A, B et D dans la symétrie de centre C.

Quelle est la nature du quadrilatère A$'$D$'$B$'$C ? Quels résultats de cours permettent d'arriver à cette conclusion ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE\\[7pt] PARTIE GÉOMÉTRIQUE\\[7pt]
Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-9,-3)(10,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=12,Dy=12](0,0)(-9,-3)(10,9)
\pspolygon[linewidth=1.25pt](5,6)(5,2)(2,3)%ABC
\psline[linewidth=1.25pt](-5,2)(-5,6)
\psdots(1,0)(0,1)(5,6)(5,2)(2,3)
\uput[ur](5,6){A} \uput[dr](5,2){B} \uput[dl](2,3){C}
\uput[dl](-5,2){D} \uput[ul](-5,6){E} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}