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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Grenoble}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Grenoble juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient les nombres $A = \dfrac{117}{63}$ et $B = - \dfrac87$.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la fraction $A$ n'est pas irréductible.
		\item Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
		\item Montrer, en indiquant les étapes du calcul, que $A - B$ est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre $C = \sqrt{27} - 3 \sqrt{75}$.
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $C$ sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
		\item Montrer, en indiquant les étapes, que $C^2$ est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\item On considère l'expression: $D = (3x - 5)^2 - 16$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer $D$.
		\item Factoriser $D$.
		\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac13$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

A la sortie d'une agglomération, on a relevé, un certain jour, la répartition par tranches horaires des \np{6400} véhicules quittant la ville entre 16 heures et 22 heures. 

Les résultats sont donnés dans le tableau ci- dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
Tranche horaire		&16 h - 17 h &17 h -18 h& 18 h - 19 h& 19 h - 20 h	&20 h - 21 h&21 h - 22 h\\ \hline
Nombre de véhicules	&\np{1100} 		&\np{2000} 		&\np{1600}		& 900			& 450		&350\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter l'histogramme des effectifs de cette série statistique.
\item Calculer la fréquence de la tranche horaire 19 h - 20 h (on donnera le résultat arrondi à $0,01$ près, puis le pourcentage correspondant).
\item Calculer le pourcentage de véhicules quittant la ville entre 16 h et 20 h.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Au musée du jouet, le prix d'entrée est de $50$ F pour un adulte et $35$ F pour un enfant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage de réduction consenti sur le prix d'entrée« enfant» par rapport au prix d'entrée \og adulte \fg.
\item Un dimanche, le musée du jouet a reçu 125 personnes et a fait une recette de \np{5125} F. Calculer le nombre d'adultes et le nombre d'enfants qui ont visité le musée ce dimanche là.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O ; I ; J) du plan, on considère les points suivants: A$(-2~;~2)$, B(3~;~1) et C$(0~;~- 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure et placer ces points.
\item Calculer la distance AC.
\item On admet que AB $= \sqrt{26}$ et BC $= \sqrt{13}$.

Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
\item Construire le point E, image du point A par la translation qui transforme C en B.
\item Déduire des précédents résultats la nature du quadrilatère ACBE.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}L'unité est le centimètre.

On considère un triangle ABC. Soit E un point du segment [AB] ; la parallèle à la droite (BC) passant par E coupe le segment [AC] au point D.

On donne AE = BC $= 3$ et EB = AD $= 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ED $= 1,8$.
\item Sur la demi-droite [DE), on place, comme indiqué sur la figure ci-contre, le point F tel que DF $= 3$.

Les droites (AD) et (BF) sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.31\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(2.9,0)(3.5,3)%BCA
\uput[dl](0,0){B} \uput[dr](2.9,0){C} \uput[u](3.5,3){A}
\uput[r](3.17,1.2){D} \uput[ul](1.3,1.2){E} \uput[l](0.25,1.2){F}
\psline(3.17,1.2)(0.25,1.2)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
L'unité est le centimètre.

Un jouet a la forme d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet A, comme l'indique la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.1)(2,4)
\psarc(0,0){1.9}{180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.9,0.45){0}{180}
\psellipticarc(0,0)(1.9,0.45){180}{360}
\psline(1.9,0)(-1.9,0)(0,3.2)(1.9,0)%BAC
\psline(0,0)(0,3.2)%OA
\uput[d](0,0){O} \uput[u](0,3.2){A} \uput[l](-1.9,0){B} \uput[r](1.9,0){C}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)
\end{pspicture}
\end{minipage}


Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône; le point O est le centre de cette base. On donne AB $= 7$ et BC $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB. 
		\item Calculer la valeur exacte de AO.
		\item Calcule la valeur exacte du sinus de l'angle $\widehat{\text{BAO}}$.
En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAO}}$ (on donnera le résultat arrondi au degré près).
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume de ce jouet, cône et demi-boule réunis (on donnera le résultat arrondi au cm$^3$ près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Un artisan réalise des boites métalliques pour un confiseur. Chaque boite a la forme d'un parallélépipède rectangle à base carrée; elle n'a pas de couvercle.
L'unité de longueur est le cm; l'unité d'aire est le cm$^2$ ; l'unité de volume est le cm$^3$.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Les côtés de la base mesurent 15 cm, la hauteur de la boite mesure 6 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la nature des faces latérales de la boite et leurs dimensions. 
		\item Montrer que l'aire totale de la boite est 585 cm$^2$.
	\end{enumerate}
\item L'artisan découpe le patron de cette boite dans une plaque de métal de $0,3$~mm d'épaisseur.
La masse volumique de ce métal est 7 g/cm$^3$, ce qui signifie qu'un centimètre cube de métal a une masse de 7 grammes.

Calculer la masse de cette boite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de cette boite.
\item Le confiseur décide de recouvrir exactement le fond de la boite avec un coussin.
Ce coussin est un parallélépipède rectangle. Le côté de sa base mesure donc 15 cm et on note $x $ la mesure, en cm, de sa hauteur variable ($x$ est un nombre positif inférieur à 6).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume du coussin.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le volume que peuvent occuper les bonbons dans la boite.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction affine: $f$ : $x\longmapsto  \np{1350} - 225x$.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement cette fonction affine pour $x$ positif et inférieur à 6 (on prendra $2$ cm pour unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $100$ unités sur l'axe des ordonnées).
		
Dans la pratique, $x$ est compris entre $0,5$ et $2,5$.
		\item Colorier la partie de la représentation graphique correspondant à cette double condition.
		\item Calculer $f(0,5)$ et $f(2,5)$.
		\item On vient de représenter graphiquement le volume que peuvent occuper les bonbons dans la boite.
		
Indiquer le volume minimal que peuvent, dans la pratique, occuper les bonbons.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

À l'occasion d'une fête, le confiseur partage chacune de ses boites en trois compartiments, pour y mettre trois sortes de bonbons. Pour cela, il supprime le coussin et place deux séparations verticales comme le montre les figures ci-dessous.

\medskip


\begin{minipage}{0.45\linewidth}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(13,11.5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.7,1)(7,5.3)(7,9)(0.7,4.7)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(12.2,4.2)(12.2,7.8)(6,3.7)
\psframe(0,0)(9.3,3.7)
\psline(9.3,0)(13,5.3)(13,9)(9.3,3.7)%côté droit
\psline(13,9)(3.7,9)(0,3.7)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.7,5.3)(3.7,9)
\psline[linestyle=dashed](3.7,5.3)(13,5.3)
\rput(6.5,11.25){Vue en perspective}
\uput[r](9.3,3.7){A} \uput[ur](13,9){B} \uput[ul](3.7,9){C} \uput[ul](0,3.7){D}
\uput[u](7,9){E} \uput[ul](0.7,4.7){F} \uput[dl](6,3.7){G} \uput[r](12.1,7.8){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(13,12)
\psframe(0,0)(10,10)
\psframe(0.5,0.5)\psframe(10,0)(9.5,0.5)\psframe(10,10)(9.5,9.5)
\psframe(0,10)(0.5,9.5)
\psline(0,2.8)(6,10)\psline(4,0)(10,7.3)
\uput[r](10,0){A} \uput[ur](10,10){B} \uput[ul](0,10){C} \uput[ul](0,0){D}
\uput[u](6,10){E} \uput[ul](0,2.8){F} \uput[d](4,0){G} \uput[r](10,7.3){H}
\uput[u](3,10){9}\uput[r](10,3.65){12}\uput[l](0,6.4){12}\uput[d](7,0){9}
\rput(6.5,12){Vue de dessus}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

Calculer la longueur EF{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer la forme et les dimensions des deux séparations verticales placées dans la boite.
\item Deux compartiments sont des prismes droits à base triangulaire.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume du prisme de base CEF est $324$ cm$^3$.
		\item Calculer le volume du compartiment central.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}