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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Nantess juin 1994},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2022}
\rfoot{\small Métropole Antilles-Guyane}
\lfoot{\small 12 septembre  2022}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet
 ~\decofourright}}\\[6pt]
{\Large \textbf{Métropole  Antilles-Guyane\hspace{1.5em}12 septembre 2022}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
\medskip

\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\
L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé\\
L'utilisation du dictionnaire est interdite.}

\vspace{0,5cm}
\framebox[16cm]{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}
\end{center}
 Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la 
recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}
}
\vspace{0.75cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples).

Chaque question n'a qu'une seule bonne réponse.

Pour chaque question, précisez \textbf{sur la copie} le numéro de la question et la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée pour cet exercice.

Aucun point ne sera retiré en cas de mauvaise réponse.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.~} $\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2}$&$5^{13}$&$5^5$&$5^8$\\ \hline
\textbf{2.~} La fraction irréductible égale à $\dfrac{630}{882}$ est :&$\dfrac57$&$\dfrac{35}{49}$&$\dfrac{315}{441}$\\ \hline
\textbf{3.~} Une expression développée de 
$A = (x - 2)(3x + 7)$ est:&$3x^2 +13x +14$&$3x^2 +x +5$&$3x^2 +x -14$\\ \hline
\textbf{4.~} 
Les solutions de l'équation $(2x + 1)(- x + 3) = 0$ sont:&2 et $- 3$&$- \dfrac12$ et 3&$- 1$ et $- 3$\\ \hline
\textbf{5.~} 
Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]3 boules noires,
\item[$\bullet~~$]4 boules blanches,
\item[$\bullet~~$]2 boules rouges.
\end{itemize}

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule noire ?&$\dfrac29$&$\dfrac13$&$\dfrac69$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 20 points}

\bigskip

Yanis vit en France métropolitaine. Il part cet été en Guadeloupe en vacances.

Il se renseigne quant aux locations de véhicules.

Une société de location de voitures à Pointe-à-Pitre propose les tarifs suivants pour unvéhicule  5 places de taille moyenne,  assurances non comprises :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Tarif \og Affaire \fg{} : 0,50~\euro{} par kilomètre parcouru.
\item[$\bullet~~$]Tarif \og Voyage court \fg{} : un forfait de 120~\euro{} puis 20 centimes par 
kilomètre parcouru
\item[$\bullet~~$]Tarif \og Voyage long \fg : un forfait de 230~\euro, quel que soit le nombre de kilomètres effectués.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Yanis a préparé son plan de route et il fera $280$~km. Il choisit le tarif
\og Affaire \fg. 

Combien va-t-il payer ?
\item S'il parcourt $450$~km, quelle offre est la plus avantageuse financièrement ?
\item Dans la suite, $x$ désigne le nombre de kilomètres parcourus en voiture.

On considère les trois fonctions  $l,\:m,\:n$ suivantes :

\[l(x) = 230 \qquad m(x) = 0,5x \qquad n(x) = 0,2x + 120\]

	\begin{enumerate}
		\item Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
		\item Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que le tarif \og Voyage court \fg{} soit égal au tarif \og Affaire \fg.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur l'annexe jointe, tracer les courbes représentatives des fonctions $l,\:m$ et $n$ sur la feuille \og Annexes \fg.
		\item Déterminez graphiquement le nombre de kilomètres que devra atteindre Yanis  pour que le tarif \og Voyage long \fg soit le plus avantageux.
		
\emph{On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 20 points}

\bigskip

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.

Les triangles SLP et PLA ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.8,4.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(4.6,0.2)(6.8,4.01)(2.4,4.01)%SLAP
\psline(2.4,4.01)(4.6,0.2)%PL
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.4,4.01)(1.3,2.105)(2.4,1.4)(3.5,2.105)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,2.105)(4.6,0.2)(5.7,2.105)(4.6,2.7)
\psline(2.4,0.2)(2.4,1.4)
\psline(4.6,4.01)(4.6,2.7)
\uput[dl](0.2,0.2){S} \uput[dr](4.6,0.2){L} \uput[ur](6.8,4.01){A} \uput[ul](2.4,4.01){P} \uput[u](3.5,2.105){J}
\rput(2.4,2.5){1} \rput(1.5,0.9){2} \rput(3.4,0.9){3} \rput(3.7,3.3){4} \rput(5.4,3.3){5} \rput(4.6,1.7){6}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{PSL}}$.
\item Quelle est l'image du cerf-volant 2 par la symétrie d'axe (PL)? On ne demande pas de
justification.
\item Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 ? 

On ne demande pas de justification.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.

Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l'aide d'un logiciel de programmation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.6,3.6)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(3.6,0.2)(3.6,1.9)(2.17,2.95)
\rput{-120}(2.17,2.95){\psframe(0.2,0.2)}
\rput{90}(3.6,0.2){\psframe(0.2,0.2)}
\psline(2.75,2.4)(2.95,2.6)
\psline(3.5,1.)(3.7,1.1)
\psline(2,0.05)(2,0.35)\psline(2.1,0.05)(2.1,0.35)
\psline(1.15,1.8)(1.35,1.6)\psline(1.2,1.9)(1.4,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

Ils écrivent tous un programme \og  Cerf-volant \fg{} différent.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Programme de Essya&Programme de Nicolas&Programme de Tyago\\ \hline
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Cerf-volant}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{173} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{173} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\end{scratch}&\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Cerf-volant}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\end{scratch}&\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Cerf-volant}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{173} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{173} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{300} pas}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer le programme \og Cerf-Volant \fg{} de Nicolas, en prenant $1$~cm pour $100$ pas.
\item Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 20 points}

\bigskip

Voici le nombre de passages de véhicules au péage du pont de l'île de Ré au cours de l'année 2020, reporté dans une feuille de calcul :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		&B\\ \hline
1 	&Mois 	&Nombre de passages\\ \hline
2 	&Janvier&\np{210320}\\ \hline
3 	&Février&\np{218464}\\ \hline
4 	&Mars 	&\np{138395}\\ \hline
5 	&Avril 	&\np{62930}\\ \hline
6 	&Mai 	&\np{179699}\\ \hline
7 	&Juin 	&\np{295333}\\ \hline
8 	&Juillet&\np{389250}\\ \hline
9 	&Août	&\np{376551}\\ \hline
10 	&Septembre&\np{313552}\\ \hline
11 	&Octobre &\np{267864}\\ \hline
12 	&Novembre&\np{142152}\\ \hline
13 	&Décembre&\np{206662}\\ \hline
14 	&Total&\np{2801172}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule B14 pour obtenir le nombre total de passages en 2020?
\item Calculer le nombre moyen de passages par mois.
\item Donner l'étendue de la série.
\item Afin d'étudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de
passages de véhicules sur le pont de l'île de Ré du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021.

En mai 2021, \np{305214} véhicules ont passé le péage du pont.

Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir à l'unité.
\item Sachant que le pont a une longueur de \np{3000} mètres, quelle est la vitesse moyenne, exprimée en km/h, d'un cycliste qui le traverse en $10$~minutes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 20 points}

\bigskip

Lya passe la journée dans un parc aquatique. 

Elle y trouve une cabane dans un chêne d'où part une tyrolienne qui mène au-dessus d'une piscine.

Le câble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situé juste derrière la piscine.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-1)(12,5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue!30](5,-0.8)(8.5,0.8)
\rput(6,4.7){\textbf{Document 1} : schéma de la situation}
\pspolygon(1,0)(1,2.8)(11.6,0)%BAC
\psframe(1,0)(1.2,0.2)\psline(7,0)(7,1.2)
\psframe(7,0)(7.2,0.2)\uput[dl](7,0){D}\uput[ul](7,1.2){E}
\rput{90}(6.8,0.6){1,50 m}
\rput(2,3.6){Départ}\rput(8,2.4){Arrivée}
\psline{->}(2,3.4)(1,2.8)\psline{->}(8,2.2)(7,1.2)
\uput[ul](1,0){B} \uput[ul](1,2.8){A} \uput[dr](11.6,0){C} 
\rput{90}(11.6,01){peuplier}\rput{90}(0.8,3.8){chêne}
\rput{90}(0.8,1.4){5,50 m}\rput(7,-0.6){Piscine}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1,-0.6)(5,-0.6)\uput[d](3,-0.6){12,20 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(8.5,-0.6)(11.6,-0.6)\uput[d](10.05,-0.6){1,80 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Document 2 :}  La réglementation exige que l'angle formé par le câble de la tyrolienne et l'horizontale ait une mesure inférieure à $30\degres$.

\textbf{Document 3 :} La piscine a la forme d'un parallélépipède rectangle de longueur
$6$~m, largeur $6$~m et profondeur $1,60$~m.

\textbf{Document 4 :}  Lorsque Lya est suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement $1,50$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par un calcul que BC $= 20$~m.
\item Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation en vigueur ?
\item Déterminer la longueur AC, en mètres, de câble nécessaire. Arrondir à l'unité.
\item Lya est suspendue à la tyrolienne verticalement. À quelle distance DC du peuplier,
en mètres, les pieds de Lya toucheront-ils l'eau de la piscine ? Arrondir au centième.
\item  Calculer le volume de la piscine, en m$^3$ ?

\emph{Rappel: Le volume d'un parallélépipède rectangle est } \:$V = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times  \text{hauteur}$.
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\psset{xunit=0.0325cm,yunit=0.05cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(600,260)
\multido{\n=0+20}{31}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(600,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=40,Dy=40]{->}(0,0)(0,0)(600,260)
\uput[u](528,0){distance parcourue en km}
\uput[r](0,255){Coût en euro}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}