\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Nancy-Metz juin 2000},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Nancy-Metz\footnote{Besançon, Dijon, Lyon, Reims, Strasbourg} juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous forme irréductible la fraction $\dfrac{630}{924}$ en donnant le détail de tous les calculs.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer les expressions $A$, $B$, $C$ en faisant apparaître chaque étape du calcul et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.


\[A = \dfrac34 + \dfrac54  \times  \dfrac{7}{15}, \qquad B = \dfrac{\dfrac56 - \dfrac54}{\dfrac58}, \qquad C = \dfrac{8 \times 10^{15} \times 15 \times 10^{- 6}}{20 \times \left(10^2\right)^5}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Trois cahiers et un stylo coûtent 57 F{}.

Cinq cahiers et trois stylos coûtent 107 F{}. 

Calculer le prix d'un cahier et le prix d'un stylo.


\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression algébrique $E$ suivante : 

\[E = (2x + 3)^2 + (x - 7)(2x + 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(2x + 3)(3x - 4) = 0$.
\item Calculer $E$ pour $x = 2$ . On donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

%%%%%%figure

L'unité est le centimètre. La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle.

On ne demande pas de refaire cette figure.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(11,2.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0)(10.4,0)(7.6,1.9)(3.9,-2.5)%EBCF
\psline(2.9,0)(4.9,-1.3)%MP
\uput[u](0.5,0){E} \uput[r](10.4,0){B} \uput[u](7.6,1.9){C}
\uput[d](3.9,-2.5){F} \uput[u](2.9,0){M} \uput[dr](4.9,-1.3){P}
\uput[ul](6,0){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Les points E, M, A, B sont alignés dans cet ordre, Les points F, P, A, C sont alignés dans cet ordre.

Les droites (EF) et (MP) sont parallèles.

AM $= 6$ ;\, MP $= 4,8$ ;\, AP $= 3,6$ ;\, EF $= 6$ ;\, AC $= 4,5$ ;\, AB $= 7,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle.
\item Calculer AE et en déduire la longueur ME (on justifiera les calculs).
\item Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles.
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{CBA}}$ et $\widehat{\text{AMP}}$ sont égaux.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un cercle de centre O et de rayon 3~cm.

Placer sur ce cercle trois points A, B, C de telle façon que BC $= 4$ cm et $\widehat{\text{BCA}} = 65\degres$.

Construire le point F diamétralement opposé au point B sur ce cercle.
\item Démontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{BFC}}$ et en déduire la mesure de cet angle arrondie à un degré près.
\item Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle BOC.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

La partie supérieure d'un verre a la forme d'un cône de 6 cm de diamètre de base et de hauteur AS $= 9$ cm.

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume du cône est $27\pi$ cm$^3$.
\item On verse un liquide dans ce verre (comme indiqué ci-contre), le
liquide arrive à la hauteur du point H.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que HS $= 4,5$ cm. La surface du liquide est un disque.
		
Calculer le rayon HC de ce disque (on justifiera les calculs).
		\item Exprimer en fonction de $\pi$ le volume correspondant du liquide en
cm$^3$.
		\item On pose maintenant HS $= x$ (en centimètres). Montrer que le
rayon HC de la surface du liquide est égal à : $\dfrac{x}{3}$. 

Montrer alors par le calcul que le volume, $V$, de liquide est donné par la
formule : 

$V = \dfrac{\pi \times x^3}{27}$~cm$^3$.
		\item En utilisant la formule précédente, calculer le volume de liquide
lorsque : HS $= 3$ cm puis lorsque HS $= 6$ cm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-7)(2.4,0.8)
\psellipse(0,0)(2.2,0.8)
\psellipse[linestyle=dashed](0,-3)(1.15,0.5)
\psline(-2.18,-0.1)(0,-6.3)(2.18,-0.1)
\uput[u](0,0){A} \uput[r](2.18,-0.2){B} \uput[l](0,-3){H} \uput[r](1.1,-3.1){C} \uput[d](0,-6.3){S}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-6.3)(0,0)(2.18,-0.2)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-6.3)(0,-3)(1.1,-3.1)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

On verse ensuite le liquide contenu dans ce cône dans un verre cylindrique de même section de 6 cm de diamètre et de même hauteur 9 cm (figure ci-contre).

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume total du cylindre est 81
cm
\item Combien de cônes remplis à ras bord faudra-t-il ainsi vider pour
remplir le cylindre ?
\item On désigne par $y$ la hauteur en cm de liquide contenu dans le cylindre
(y = GF sur le dessin).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume, en cm$^3$ , du liquide contenu dans le
cylindre est $9 \pi y$.
		\item Montrer que lorsqu'on verse, dans le cylindre , le volume $V =
\dfrac{\pi x^3}{27}$~cm$^3$ du liquide contenu dans le cône, la hauteur $y$ obtenue est reliée à $x$ par la relation : $x^3 = 243y$.
		\item Recopier et remplir le tableau suivant où $x$ et $y$ sont reliés par la relation précédente (on donnera les valeurs décimales approchées de $y$, avec trois décimales exactes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-5.4)(1.8,0.4)
\psellipse(0,0)(1.7,0.52)
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-3)(1.7,0.52){0}{180}
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,-4.4)(1.7,0.52){0}{180}
\psellipticarc(0,-3)(1.7,0.52){180}{360}
\psellipticarc(0,-4.4)(1.7,0.52){180}{360}
\uput[l](0,0){E} \uput[l](0,-3){G} \uput[l](0,-4.4){F}
\psline(-1.7,0)(-1.7,-4.4)\psline(1.7,0)(1.7,-4.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0)(0,-4.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$y$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\hspace{1.3cm}\textbf{d.} Représenter graphiquement les huit points obtenus dans le tableau (on prendra 1 cm comme unité sur l'axe des abscisses et $10$ cm comme unité sur l'axe des ordonnées, l'origine du repère sera placée sur le bord inférieur gauche de la feuille).
\end{document}