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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Orléans--Tours}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Orléans--Tours juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression suivante : $K(x) = (5x - 3)^2 + 6 (5x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $K(x)$.
\item Calculer $K\left(\sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le groupe des onze latinistes de la 3\up{e} B du collège a obtenu les notes suivantes à un devoir :

\[7 ~;~ 9 ~;~ 9,5 ~;~ 9,5 ~;~ 10 ~;~ 10 ~;~ 12 ~;~ 14 ~;~ 16 ~;~ 16 ~;~ 19\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne du groupe.
\item Déterminer la médiane de cette série.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On pose $M = \dfrac{\np{20755}}{\np{9488}} - \dfrac38$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le plus grand diviseur commun $D$ aux deux nombres \np{20755} et \np{9488}. (On reportera avec soin sur la copie les calculs qui conduisent à $D$).
\item Écrire en détaillant les calculs, le nombre $M$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Le nombre $M$ est-il décimal ? Est-il rationnel ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On pose $N = \sqrt{20} - \sqrt{45} - 7\sqrt 5$.

Écrire le nombre $N$ sous la forme $p\sqrt q$ avec $p$ entier relatif et $q$ entier le plus petit possible.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Construire un cercle de centre O et de rayon 5 cm.

Soit [MN] un diamètre et K un point du cercle distinct de M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{MKN}}$ ? Justifier.
\item Construire la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{MKN}}$. Elle recoupe le cercle en P.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{MOP}}$.
\item Construire le point L, image du point M par la translation qui transforme O en P.

Quelle est la nature du quadrilatère OMLP ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La construction attendue à la question 1. sera effectuée sur la feuille annexe qui sera rendue avec la copie.

Les réponse à la question 2. seront données sur la copie.

La feuille annexe représente un carrelage du plan par des triangles équilatéraux. On y a schématisé deux drapeaux notés D$_1$ et D$_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le drapeau $\Delta_2$ image du drapeau D$_2$ par la symétrie centrale de centre O.
\item Indiquer :
	\begin{enumerate}
		\item Une transformation permettant de passer du drapeau D$_1$ au drapeau D$_2$.
		\item Une transformation permettant de passer du drapeau D$_1$ au drapeau $\Delta_2$.
		
On précisera les éléments caractéristiques de ces deux transformations à l'aide de points déjà nommés sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(16.4,11)
%\psgrid
\psframe(17,11)
\multido{\n=-8+1,\na=0.5+1.0}{19}{\psline(0,\n)(17,\na)}
\multido{\n=1+1,\na=-8+1.0}{19}{\psline(0,\n)(17,\na)}
\multido{\n=0.000+0.972}{19}{\psline(\n,0)(\n,11)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](4.86,7.42)(6.804,4.4)(5.832,0.92)(10.692,8.3)(7.776,7.92),%AOECB
\uput[dl](4.86,7.42){A} \uput[dl](6.804,4.4){O} \uput[dl](5.832,0.92){E} \uput[ur](10.692,8.3){C} \uput[dl](7.776,7.92){B} 
\def\drapeau{\pspolygon(0,0)(0,3)(2.916,2.5)(0,2)}
\rput(4.73,7.42){\drapeau}\rput{-180}(10.57,8.38){\drapeau}
\rput(5.1,9.9){D$_1$}\rput(10.2,5.9){D$_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Répondre sur la feuille annexe déjà utilisée pour l'exercice 2.
Attention : le barème de cet exercice sur trois points est le suivant :

1 point pour une réponse exacte, $- 0,5$ pour une réponse inexacte, 0 point s'il n'y a pas de réponse.

(La note globale de cet exercice ne pouvant pas être négative)

Pour chaque ligne du tableau ci-après, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte dont vous devez indiquer le numéro dans le tableau au bas de la feuille annexe.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Question} &Énoncé & Réponse 1 & Réponse 2 & Réponse 3\\ \hline
Q&Sachant que les coordonnées de deux points
dans un repère sont données par A$(1~;~- 4)$ et B $(3~;~- 6)$, alors
les coordonnées du milieu de [AB] sont :& (4~;~2) &(2~;~1) &(1~;~5)\\ \hline
R&Si on multiplie par $\frac15$ les dimensions d'un
trapèze, son périmètre est multiplié par :&$\dfrac45$&$\dfrac{1}{25}$&$\dfrac15$\\ \hline
S&Soit FGHI un rectangle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.5,1.6)
\pspolygon(0.2,0.2)(0.2,1.4)(3.3,1.4)(3.3,0.2)(0.2,1.4)(0.2,0.2)(3.3,0.2)(3.3,1.4)(0.2,0.2)%IFGHFIH
\uput[dl](0.2,0.2){I} \uput[ul](0.2,1.4){F} \uput[ur](3.3,1.4){G} \uput[dr](3.3,0.2){H} \uput[d](1.75,0.9){E}
\end{pspicture}
\end{center}

alors $\vect{\text{FG}}  + \vect{\text{FI}} = \ldots$&$\vect{\text{FH}}$&$\vect{\text{FE}}$&$\vect{\text{GI}}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}Dans tout ce problème, les figures données ne sont pas à l'échelle.

L'unité de longueur utilisée est le cm, l'unité d'aire est le cm$^2$ et l'unité de volume le cm$^3$.

On considère une pyramide régulière à base carrée ABCD et de sommet principal S.

On nomme O le centre du carré ABCD et M le milieu du segment [BC].

On rappelle que le triangle OSM est rectangle en O.

On donne : OS $= 12$ et AB $= 6$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,6.8)
\uput[dl](0.3,0.3){A}\uput[dr](3.2,0.3){B}\uput[r](4.1,1.6){C}\uput[ur](1.2,1.6){D}
\uput[u](2.2,6.1){S}\uput[l](2.2,0.85){O}\uput[r](3.6,0.85){M}
\pspolygon(2.2,6.1)(0.3,0.3)(3.2,0.3)(4.1,1.6)(2.2,6.1)(3.2,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](0.3,0.3)(1.2,1.6)(2.2,6.1)(2.2,0.85)(3.6,0.85)%ADSOM
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](4.1,1.6)(1.2,1.6)%DC
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le triangle ABC démontrer que OM = 3.
		\item Dessiner en dimensions réelles le triangle OSM.
	\end{enumerate}	
\item Placer sur le segment [OS] un point O$'$ et sur le segment [SM] le point M$'$ tel que
(O$'$M$'$) soit parallèle à (OM).
	\begin{enumerate}
		\item On pose O'S = x, x désignant un nombre positif inférieur ou égal à 12.
Exprimer la longueur OO' en fonction de x.
		\item Démontrer que O'M' = 0,25x
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{minipage}{0.63\linewidth}
On coupe la pyramide SABCD précédente par un plan parallèle à la base et
passant par le point O$'$ du segment [OS].

On nomme A$'$, B$'$, C$'$, D$'$ les intersections respectives des segments [SA],
[SB], [SC] et [SD] les intersections respectives avec le plan de coupe. 

À partir du carré A$'$B$'$C$'$D$'$, on construit le parallélépipède A$'$B$'$C$'$D$'$HGFE tel
que le carré EFGH soit dans le plan ABCD.

On pose comme en partie A : O$'\text{S} = x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(5,6.8)
%\psgrid
\uput[dl](0.3,0.3){A}\uput[dr](3.2,0.3){B}\uput[r](4.2,1.6){C}\uput[ul](1.3,1.6){D}
\uput[u](2.25,6.1){S}\uput[r](3.65,0.85){M}
\uput[l](1.45,0.7){E}\uput[d](2.62,0.7){F}\uput[ur](3,1.2){G}\uput[ul](1.83,1.2){H}
\uput[dl](1.45,3.8){A$'$}\uput[dr](2.62,3.8){B$'$}\uput[r](3,4.3){C$'$}\uput[ul](1.83,4.3){D$'$}
\pspolygon(2.25,6.1)(0.3,0.3)(3.2,0.3)(4.2,1.6)(2.25,6.1)(3.2,0.3)%SABCSB
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](0.3,0.3)(1.3,1.6)(2.25,6.1)(2.25,0.95)(3.7,0.95)%ADSOM
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](4.1,1.6)(1.3,1.6)%DC
\psline(1.45,3.8)(2.62,3.8)(3,4.3)%A'B'C'
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](1.4,3.6)(1.83,4.3)(3,4.3)%A'D'C'
\psline[linecolor=red](0.3,0.3)(4.2,1.6)\psline[linecolor=red](3.2,0.3)(1.3,1.6)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](1.45,3.8)(1.45,0.7)%A'E
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](2.62,3.8)(2.62,0.7)%B'F
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](3,4.3)(3,1.2)%C'G
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](1.83,4.3)(1.83,1.2)%D'H
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](1.45,0.7)(2.62,0.7)(3,1.2)(1.83,1.2)%EFGH
\psdots(2.25,4.05)(2.25,0.95)\uput[l](2.25,4.05){O$'$}\uput[l](2.25,0.95){O}
\end{pspicture}

\end{minipage}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item La longueur A$'$B$'$ (on admettra que A$'$B$' = 2$ O$'$M$'$).
		\item L'aire du carré A$'$B$'$C$'$D$'$.
		\item Le volume $V(x)$ du parallélépipède A$'$B$'$C$'$D$'$HGFE.
		
(on montrera que $V(x) = 3 x^2 - 0,25x^3)$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 4 &7 &10\\ \hline
$V(x)$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On donne ci-dessous la représentation graphique de $V$ dans un repère du plan.
($V(x)$ est l'image de $x$ et se lit en ordonnée comme indiqué sur le graphique)

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(13,70)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0.0+0.2}{66}{\psline[linewidth=0.05pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(13,\n)}
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.05pt](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(13,70)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{x dup mul 3 mul x 3 exp 0.25 mul sub}
\uput[u](12.7,0){$x$}\uput[r](0,67){$V(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On peut lire sur le graphique deux valeurs de $x$ pour lesquelles $V(x) = 32$.

L'une figure dans le tableau de la question 2 précédente, l'autre sera lue au dixième près sur le graphique. Quelles sont ces deux valeurs ?
		\item Même question qu'au \textbf{a.} mais avec cette fois $V(x) = 50$.
		\item Sur le graphique, on constate et on admettra qu'il existe une valeur $a$ de $x$ pour laquelle le volume du parallélépipède est maximum.
		
Donner, à l'aide d'une lecture graphique, une valeur approchée de ce volume maximum ainsi qu'une valeur approchée du nombre $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}