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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Paris--Créteil}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Paris--Créteil\footnote{Amiens, Lille, Versailles} juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[A = (x - 5)^2 - (2x - 7)(x - 5).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation: $(x-5)(-x+2)= 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\[B = \dfrac{5 \times 10^{-3} \times 125 \times 10^4}{3 \times 10^5} \quad \text{et} \quad C = \dfrac95 - \dfrac34 \times 7.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner l'écriture scientifique de $B$.
\item Écrire $C$ sous la forme d'une fraction (le détail des calculs doit apparaître).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un philatéliste possède \np{1631} timbres français et $932$ timbres étrangers. 

Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.
\item Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lot ?
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $D = \sqrt3 - 1$ et  $E = \sqrt3 + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer $D^2$ et $E^2$ et donner les résultats sous la forme a+ b où a et b sont des nombres entiers.
		\item Démontrer que $D \times E$ est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\item KLM est un triangle rectangle en L.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur KM.
		\item Calculer l'aire du triangle KLM.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.8)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(0.5,2.4)%LMK
\uput[dl](0.5,0.5){L} \uput[dr](5.3,0.5){M} \uput[u](0.5,2.4){K} \uput[l](0.5,1.48){$\sqrt3 - 1$} \uput[d](2.9,0.5){$\sqrt3 + 1$}
%\psframe(0.5,0.5)(0.75,0.75)
\psline(0.5,0.75)(0.75,0.75)(0.75,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Construire sur la feuille annexe l'image du nombre \np{2000} par :

\medskip

\begin{enumerate}
\item La symétrie de centre O.
\item La symétrie d'axe $\Delta$.
\item La translation qui transforme A en C.
\item La rotation de centre O qui transforme A en B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On complétera la figure sur la feuille annexe au fur et à mesure de l'exercice.

ABCD est un parallélogramme.

AB $= 8$ cm et AD $= 4,5$ cm.

E est le point de la droite (AD) tel que AE $= 1,5$ cm et E n'est pas sur le segment [AD]. 

La droite (EC) coupe le segment [AB] en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AM.
\item Placer le point N sur le segment [DC] tel que $\text{DN} = \dfrac34 \text{DC}$.

Démontrer que les droites (AN) et (EC) sont parallèles.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.25\linewidth}
Voici le plan d'un terrain d'entraînement de javelot.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.72\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2.4)(9,2.4)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){8.8}{-15}{15}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){0.8}{-15}{15}
\psline(8.8;15)(0,0)(8.8;-15)%BOF
\rput(5,0){Gazon}\rput(1.6,1.4){Aire de lancement}\psline{->}(1.6,1.3)(0.4,0)
\uput[u](0,0){O}\uput[u](0.8;15){A}\uput[d](0.8;-15){E}
\uput[r](8.8;15){B}\uput[r](8.8;-15){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

(Les dimensions ne sont pas respectées dans le schéma)

La piste d'élan se termine par l'arc de cercle $\widearc{\text{AE}}$ de centre O.

Le javelot doit atterrir dans le gazon délimité par les arcs de cercle AE et BF de même centre O et par les segments [AB] et [EF].

On donne OA $= 8$ m, OB $= 90$ m et $\widehat{\text{AOE}} = 30\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On remarque que l'aire de la portion de disque OAE est une fraction de l'aire du disque de centre O et de rayon OA.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer cette fraction et déduire que l'aire de la portion OAE est égale à
$\dfrac{16}{3}\pi$~m$^2$.
		\item Montrer que l'aire de la zone en gazon est égale à $\dfrac{\np{2009}}{3}\pi$ m$^2$.
	\end{enumerate}
\item  I est le milieu du segment [AE].
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans explication la valeur de $\widehat{\text{AOI}}$.
		\item Calculer AI à 1 cm près. En déduire AE.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2.3,-3.3)(4.2,0.5)
\pspolygon(-1.6,-0.3)(0.3,-0.3)(1.6,0.3)(-0.3,0.3)%ABCD
\psline(-1.6,-0.3)(1.6,0.3)
\psline(0.3,-0.3)(-0.3,0.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,0)(0,-2.5)%OS
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,-2.5)(-0.3,0.3)%SD
\uput[dl](0,-0.9){T}\uput[dl](0,-2.4){S}\uput[l](-1.6,-0.3){A}\uput[u](0.3,-0.3){B}
\uput[ur](1.6,0.3){C}\uput[ul](-0.3,0.3){D}\uput[u](0,0){O}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,-0.9)(-1.6,-0.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,-0.9)(0.3,-0.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,-0.9)(1.6,0.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotsep=1pt](0,-0.9)(-0.3,0.3)
\psline(0,-2.5)(-1.6,-0.3)%SA
\psline(0,-2.5)(0.3,-0.3)%SB
\psline(0,-2.5)(1.6,0.3)%SC
\pspolygon(-2.2,-2.8)(1.1,-2.8)(2.2,-2.2)(-1.1,-2.2)%haut socle
\psframe(-2.2,-2.8)(1.1,-3.3)
\psline(1.1,-3.3)(2.2,-2.7)(2.2,-2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Cette figure représente une fontaine en pierre ; il s'agit d'une pyramide régulière SABCD dans laquelle on a creusé une pyramide régulière TABCD correspondant au bassin qui reçoit l'eau.

SABCD a pour base le carré ABCD de centre O, de côté AB $= 6$, et pour hauteur SO $= 9$.

Les longueurs sont données en dm.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Dans cette partie, OT $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume du bassin TABCD.
		\item Donner sa capacité en litres.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le volume de pierre de la fontaine est $36$~dm$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On s'intéresse ici au cas où les faces latérales de TABCD sont des triangles équilatéraux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de AT.
\item Dans le triangle ABC, calculer AC. 

On donnera la réponse sous la forme $a\sqrt b$, avec $a$ et $b$ entiers et $b$ le plus petit possible.
\item En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que le triangle ACT est rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Dans cette partie, OT $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $x$ possibles?
\item Exprimer le volume de pierre de la fontaine en fonction de $x$.
\item Représenter la fonction $f\, : \,x \longmapsto 108 - 12x$ sur la feuille annexe.
\item Retrouver, à l'aide de tracés en pointillés sur le graphique, le résultat de la partie A 2.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $x$ pour que le volume de
pierre de la fontaine soit $80$ dm$^3$.
		\item Trouver la valeur exacte de $x$ en résolvant l'équation $108 - 12x = 80$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}