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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Poitiers juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

On considère l'expression: A = (2x + 1)2 - (x - 3)(2x + 1). ... 

\medskip

1. Développer et réduire A
2. Factoriser A
1 ... 3. Calculer A pour x = - 2"

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

En utilisant la méthode de votre choix, démontrer que les nombres \np{1432} et $587$ sont premiers entre eux.

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
3x + y &=& -1\\
6x - y &=& 7
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip

L'an 2000 est l'année internationale des mathématiques. Pour fêter l'événement, un commerçant a décidé d'afficher certains prix à l'aide d'une suite de calculs mathématiques.

\emph{Les prix sont exprimés en francs.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|}\hline
Gomme&Équerre&Compas\\ \hline
$- \dfrac12 + \dfrac14 \times 10$&$29 \times 10^{-2} + 133,1 \times 10^{-1} - 0,036 \times 10^2$&$5\sqrt2 - \sqrt{50} + \left(5 + \sqrt2 \right)\left(5 - \sqrt2\right)$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


En détaillant les calculs, retrouver l'écriture habituelle du prix, en francs, de chacun de ces trois articles.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}Un cône de révolution a pour sommet le point S; sa hauteur est de $9$~cm, sa base est un cercle de centre O et de rayon $6$~cm, dont le segment [AB] est un diamètre.

\smallskip

\emph{On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, à $0,1$ cm$^3$ près, le volume de ce cône.
\item Calculer la longueur SA à $0,1$ cm près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(2.4,3)
\psellipticarc(0,0)(2.4,0.3){180}{360}
\psline(-2.4,0)(0,2.8)(2.4,0)%ASB
\uput[dl](-2.4,0){A} \uput[u](0,2.8){S} \uput[dr](2.4,0){B} \uput[d](0,0){O} 
\psellipticarc[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0)(2.4,0.3){0}{180}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](-2.4,0)(2.4,0)(0,2.8)(0,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.4)
%\psgrid
\psline(2,1.8)(8,1.8)%CE
\psline(0,3.8)(5.3,0)%FB
\psline(4.4,3.8)(5,0)%DB
\psline(3.8,3.8)(8,0.9)%DE
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0.4,3.5)
\uput[ur](4.7,1.8){A} \uput[dl](5,0.2){B} \uput[dl](2.8,1.8){C}
\uput[ur](4.45,3.37){D} \uput[ur](6.75,1.8){E} \uput[ur](0.4,3.5){F}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure ci-dessus :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les points F{}, C et B sont alignés dans cet ordre;
\item[$\bullet~~$] les segments [CE] et [BD] se coupent au point A;
\item[$\bullet~~$] les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
\end{itemize}

On donne les longueurs :

BC $= 4$,  CA $ = 3$,  AD $= 3,5$,  FC $= 7$,  AE $= 5,25$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que AB $= 2$.
\item Démontrer que les droites (AC) et (DF) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(-9,-5)(8,7)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,-4)(4,-2)%OAB
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-9,-5)(8,7)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt](-0.2,1)(0.2,1)
\psarc{->}(0,0){7}{25}{65}

\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,-4){A} \uput[r](4,-2){B}  \uput[u](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}


À partir du repère orthonormal (O, I, J) donné :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\item Construire le triangle OGH, image du triangle OAB par la symétrie de centre O.
\item Construire le triangle OMN, image du triangle OAB par la rotation de centre O et d'angle $90\degres$ dans le sens mentionné sur le schéma.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point C, image du point O par la translation de vecteur 
		$\vect{\text{BA}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME }

\bigskip

Les deux parties sont indépendantes.

\medskip

Chargé de créer un espace vert, un paysagiste propose d'implanter deux massifs de fleurs, l'un ayant la forme d'un triangle équilatéral et l'autre celle d'un rectangle. Son projet est illustré par le schéma ci-après.

\begin{center}
%%%  figure
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\pspolygon(0,2)(3,2)(1.5,4.67)%AMC
\psframe(3,2)(6.5,0)%MBED
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.75,3.36)
\uput[l](0,2){A} \uput[ur](3,2){M} \uput[u](1.5,4.67){C} \uput[ul](0.75,3.36){I}
\uput[ur](6.5,2){B} \uput[dl](3,0){D} \uput[dr](6.5,0){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

M est un point du segment [AB].

De part et d'autre du segment [AB] sont représentés :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un triangle équilatéral AMC;
\item[$\bullet~~$] un rectangle MDEB.
\end{itemize}

L'unité de longueur est le mètre.

On a : AB $= 13$,  BE $ = 4$.

On note : AM $= x$.

On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Dans un premier projet, le paysagiste fixe $x = 6$. On a donc :

AM $= 6$ et MB $= 7$.

On appelle I le milieu du segment [AC]. Le paysagiste se demande si les points I, M et E sont alignés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{AMI}}$ ? Justifier.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{DME}}$.

En déduire une mesure à 0,1 degré près de l'angle $\widehat{\text{DME}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions précédentes une mesure à $0,1$ degré près 
de $\widehat{\text{IME}}$.
		\item Les points I, M et E sont-ils alignés ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Souhaitant entourer par des bordures ces deux massifs, le paysagiste s'intéresse à leurs périmètres en fonction de la longueur AM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle AMC. 

On appelle $f$ la fonction qui à $x$ associe ce périmètre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer BM en fonction de $x$.
		\item On appelle $g$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du rectangle MDEB.
	\end{enumerate}
Montrer que la fonction $g$ est définie par : $x \longmapsto 34 - 2x$.

\item Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J). Sur une feuille de papier millimétré, on placera l'origine en bas à gauche de la feuille et on prendra comme unités graphiques :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des abscisses : 1 cm pour 1 unité ;
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 2 unités.
\end{itemize}

\emph{On fera figurer sur la copie les explication utiles pour effectuer les représentations graphiques demandées ci-dessous.}
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement la fonction $f$ pour $0 \leqslant x \leqslant 13$.
		\item Sur le même graphique, représenter la fonction $g$ pour $0 \leqslant x \leqslant 13$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle les deux massifs ont le même périmètre.
		\item Vérifier graphiquement le résultat précédent; on tracera les pointillés utiles à la lecture.
	\end{enumerate}
\item Le paysagiste décide de n'entourer que le massif rectangulaire MDEB.

Il dispose de $25$~m de bordure.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation: $34 - 2x \leqslant 25$.
		\item En déduire la plus petite valeur de AM pour laquelle le paysagiste peut border complètement le massif rectangulaire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}