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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small juin 2000}
\rfoot{\L'année 2000}
\lfoot{\small Polynésie }
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Polynésie  septembre 2000 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

\[A=\frac{16}{45}\times\frac{35}{8}\qquad
B=-\frac{4}{3}+\frac{11}{12}\div\frac{22}{18}\qquad
C=\frac{2,1\times 10^{-5}}{70\times 10^{-7}}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression $A=\left(5-\sqrt2\right)\left(5+\sqrt2\right)$.

Montrer, par le calcul, que $A = 23$.
\item On donne le produit suivant $B = \sqrt{21}\times\sqrt{42}$.

Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt2$, où $a$ est un entier.
\item Écrire sous la forme d'une fraction simplifiée : $C = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{45}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $E = (x + 2)^2- (x + 2)(5x - 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(x+2)(-4x+3)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre le système d'équations à deux inconnues $x$ et $y$ suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x+2y&=&14\\
3x-5y&=&30\\
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.8,3.6)
\pspolygon(0,0)(3.6,0)(0.2,3)%BCA
\psline(0.1,1.2)(2.3,1.2)%EF
\uput[ul](0.2,3){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](3.6,0){C}
 \uput[l](0.1,1.2){E} \uput[r](2.3,1.2){F}
\end{pspicture}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}Dans tout cet exercice, les mesures sont exprimées en cm.

La figure n'est pas à l'échelle.

On donne : AB $= 5$ ; AE $= 3$ ; AF $= 4,5$ ; AC $= 7,5$.

Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un bateau est amarré par sa proue$^*$ A à une bouée B, située au niveau de la mer.

\emph{Les mesures des longueurs sont exprimées en mètres.}

\emph{Le dessin ci-dessous n'est pas à l'échelle.}

\emph{$(^*)$ La proue désigne l'avant du bateau.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,1.2)
\pspolygon(1.8,0)(5.4,0)(7,0.85)(0,0.85)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](5.4,0)(9.4,0)(7,0.85)(7,0)%DBAC
\uput[u](7,0.85){A} \uput[d](9.4,0){B} \uput[d](7,0){C} \uput[d](5.4,0){D}
\psframe(7,0)(7.2,0.2)
\psarc(9.4,0){0.4}{160}{180}\rput(8.8,0.15){\footnotesize $30\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle ABC est rectangle en C, l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure $30\degres$.
		
On a AB $= 6$ ; montrer que AC $= 3$.
		\item Construire le triangle ABC, à l'échelle $1/100$.
		\item Calculer la longueur BC ; on donnera le résultat arrondi au décimètre.
	\end{enumerate}
\item On veut calculer DB.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que AD $= 4$, calculer DC, dont on donnera une valeur arrondie au décimètre.
		\item En déduire DB, arrondi au mètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que :

\[\text{AB} = 4\quad \text{AC} = 5\quad \text{BC} = 6.\]

\item Construire le point D, image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item Démontrer que les segments [AC] et [BD] ont le même milieu, que l'on nommera I.
\item Construire le point M tel que $\vect{\text{AM}} =\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AI}}$.
\item Recopier et compléter les égalités suivantes :

$\vect{\text{CD}}=\vect{\text{B...}}$ et $\vect{\text{MC}}=\vect{\text{...I}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\emph{Dans tout le problème, les longueurs sont exprimées en $cm$ et les volumes en $cm^3$.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\psellipticarc(1.2,0.3)(1.2,0.3){180}{360}
\psellipse(1.2,2.7)(1.2,0.3)
\psline(0,0.3)(0,2.7)\psline(2.4,0.3)(2.4,2.7)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3,0.3)(3,2.7)\uput[r](3,1.5){$2x$}
%verre
\psellipticarc(5,2)(1.2,0.3){180}{360}
\psellipse(5,2.7)(1.2,0.3)
\psline(3.8,2)(3.8,2.7)\psline(6.2,2)(6.2,2.7)
\psline(3.8,2)(5,0.6)(6.2,2)
\psellipse(5,0.3)(0.6,0.15)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(6.6,0.6)(6.6,2)\uput[r](6.6,1.3){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(6.6,2)(6.6,2.7)\uput[r](6.6,2.35){$2$}
\psline(5,0.6)(5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que le volume du cylindre de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V = S \times h$.

On rappelle que le volume d'un cône de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V = \dfrac13S \times h$.

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}} 
\end{center}

On considère les deux verres représentés ci-dessus.

\begin{itemize}
\item le premier verre est un cylindre de révolution dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $2x$, où $x$ est un nombre positif, $x \leqslant 4$.
\item Le deuxième verre est constitué d'un cône dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $x$, surmonté d'un cylindre dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur vaut 2.
\end{itemize}
Soient $V_{1}$ le volume du premier verre et $V_{2}$ le volume du deuxième verre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer ces volumes en fonction de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $V_{1}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
		\item $V_{2}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}} 
\end{center}

\emph{Cette partie peut être traitée même sans avoir résolu la partie I.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer un repère orthogonal (O, I, J) en prenant :

\begin{itemize}
\item 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
\item 1 cm pour $10$ unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}

On placera l'origine O du repère en bas à gauche de la feuille.
\item Dans ce repère, construire les représentations graphiques des fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies par :

\[f_{1}(x)=60x\quad  \text{et}\quad f_{2}(x) = 10x + 60.\]

\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation suivante :

\[ 60x = 10x + 60.\]

\item Retrouver sur le graphique la solution de cette équation, en faisant apparaître en couleur les tracés effectués.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}} 
\end{center}

En utilisant les résultats obtenus dans la partie I et la partie II, déterminer pour quelles valeurs de $x$ le deuxième verre a une contenance inférieure à celle du premier.
\end{document}