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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Rennes juin 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les nombres :

\[A = \left(\dfrac13 - \dfrac15 \right) : \dfrac25, \qquad B =\dfrac47 - \dfrac17 \times 53\]

Calculer $A$ et $B$. On écrira les résultats sous la forme de fractions au simples que possible.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $C$ et $D$ ci-dessous sous la forme $a\sqrt 3$, où $a$
est un entier :

\[C = 3\sqrt{27}  - \sqrt{108}, \qquad D = \sqrt{100 - 25}.\]

\item Développer et réduire : $E = \left(3 - \sqrt{15}\right)^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Éric dit à Zoé : \og Choisis un nombre $x$ ; ajoute 1 au triple de $x$; calcule alors le carré du nombre obtenu et retranche-lui le nombre 4 \fg.

Quel résultat trouvera Zoé si elle choisit : $x = 5$ ?
\item Éric propose à Zoé quatre expressions dont l'une correspond au calcul qu'il lui a fait faire.

Voici ces quatre expressions :

$A = 3(x+1)^2 - 4 \qquad B = 4 - (3x+1)^2$

$C = (3x + 1)^2 - 4 \qquad D = (x + 3)^2 - 4$.

Quelle expression Zoé doit-elle choisir?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser : $C = (3x + 1)^2 - 4$.
		\item Résoudre: $(3x - 1)(3x + 3) = 0$.
		\item Zoé rejoue ; elle choisit un nombre négatif et elle trouve alors zéro. Quel nombre a-t-elle choisi ? 
		
Vérifier alors le calcul de Zoé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip


\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3)
%\psgrid
\psline(10,2.9)
\psline(0,1.3)(10,0)
\psline(1.8,1.08)(2,0.6)%DC
\psline(7.4,2.15)(8.4,0.2)%AB
\uput[u](7.4,2.15){A} \uput[d](8.4,0.2){B} \uput[d](2,0.6){C} \uput[u](1.8,1.08){D} \uput[d](3.08,0.9){O}
\end{pspicture}
\end{center}
Sur le dessin ci-dessus, les droites (AB) et (CD) sont parallèles; les droites
et (BD) sont sécantes en O.

On donne :

OA = 8 cm, \quad OB = 10 cm, \quad OC = 2 cm, \quad DC = 1,5 cm.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [AB).
\item Calculer la longueur du segment [OD].

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}Dans le triangle ABC (croquis ci-contre), on donne :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] [AH] hauteur issue de A,
\item[$\bullet~~$] AH = 5 cm,
\item[$\bullet~~$] AB = 8 cm,
\item[$\bullet~~$] $\widehat{\text{ACH}} = 51\degres$.
\end{itemize}

\emph{On ne demande pas de refaire la figure.}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.7)
\pspolygon(0.2,0.2)(6,0.2)(2.4,3.1)%CBA
\psline(2.4,3.1)(2.4,0.2)%AH
\uput[u](2.4,3.1){A} \uput[dr](6,0.2){B} \uput[dl](0.2,0.2){C} \uput[d](2.4,0.2){H} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur, arrondie au dixième de degré, de l'angle $\widehat{\text{HBA}}$.
		\item Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur du segment [HB].

\item Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur du segment
[CH].
\item Déterminer une valeur approchée de l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\pspolygon(2;15)(2;75)(2;135)(2;195)(2;255)(2;315)%DEFABC
\uput[dl](2;195){A} \uput[dl](2;255){B} \uput[dr](2;315){C} \uput[ur](2;15){D}
\uput[ur](2;75){E} \uput[ul](2;135){F} \uput[ur](0,0){O}
\multido{\n=15+60}{6}{\psline(2;\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure ci-dessus, ABCDEF est un hexagone régulier de centre O.

On complétera le dessin et les phrases ci-dessous suivant les cas.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABO et le triangle CDO sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta)$.

Construire la droite $(\Delta)$ sur le dessin.
\item Le triangle ABO est l'image du triangle EFO dans la rotation de centre \ldots, d'angle\,  \ldots dans le sens de la flèche.

Indiquer, par une flèche, le sens de cette rotation.
\item L'image du triangle ABO, dans la translation qui transforme C en D, est le
triangle \ldots 
\item Compléter: $\vect{\text{EO}} + \vect{\text{OC}} = \dots$ ; 
 $\vect{\text{OF}} + \ldots  = \vect{\text{OE}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{minipage}{0.44\linewidth}
Paul en visite à Paris
admire la pyramide, réalisée en verre feuilleté au
centre de la cour intérieure du Louvre.

Cette pyramide régulière a une base carrée ABCD de côté $35$ mètres et pour hauteur le segment [SO] de longueur $22$ mètres.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.51\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(6.5,3.8)
%\psgrid
\pspolygon(3.3,3.2)(0.2,0.2)(4.3,0.2)(3.3,3.2)(6.4,1.4)(4.3,0.2)%SABSCB
\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](0.2,0.2)(2.3,1.4)(6.4,1.4)%ADCA
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt,dotsep=1.5pt](4.3,0.2)(2.3,1.4)(3.3,3.2)(3.3,0.8)%BDSO
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](4.3,0.2){B} \uput[ur](6.4,1.4){C}
\uput[ul](2.3,1.4){D} \uput[d](3.3,0.8){O} \uput[u](3.3,3.2){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur arrondie au mètre près de la longueur de la diagonale du carré ABCD.
\item Calculer la longueur de l'arête [SA) ; en donner une valeur arrondie au mètre près.
\item Réaliser un patron de cette pyramide à l'échelle 1/1 000.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Paul a tellement apprécié cette pyramide qu'il achète comme souvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir en verre a la forme d'une pyramide régulière à base carrée de côté $6$~cm et de hauteur $4$~cm.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume du réservoir de cette lampe est 48 cm$^3$.
\item Le mode d'emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm$^3$ d'huile par heure.

Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d'huile dans le réservoir ?
\item On désigne par $V$ le volume d'huile (en cm$^3$) restant dans la lampe et par $t$ la durée, exprimée en heures, où la lampe est restée allumée. Écrire $V$ en fonction de $t$.
\item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (placer l'origine en bas et à gauche de la feuille), on choisit :
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses: 1 cm pour une heure;
\item sur l'axe des ordonnées: 1 cm pour 5 cm$^3$.
\end{itemize}

Dans ce repère, construire la représentation graphique du volume $V$ en fonction de $t$ où $V = - 4t + 48$.
\item Comment peut-on retrouver graphiquement la réponse à la question \textbf{2.} ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, trouver au bout de combien de temps il ne reste
que 10~cm$^3$ d'huile.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul. Exprimer la réponse en heures et minutes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}