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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1995}

\date{}
\begin{document}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
        \setcounter{exercice}{0}


\section{Btn 1995}
\exo{(8 points)}
\es Un sac contient $5$ jetons :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item Un jeton bleu valant $3$ points,
    \item deux jetons rouges valant chacun $2$ points,
    \item deux jetons verts valant chacun $1$ point.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[1)]
    \item On tire un jeton au hasard, quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ?
    \item On tire un jeton au hasard, quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux points ?
    \item On tire un jeton, puis un deuxième sans remettre le premier jeton dans le sac.
	\begin{enumerate}
    	\item Faire un tableau indiquant tous les tirages possibles et faisant apparaître les couleurs obtenues et la somme des points obtenue.
    	\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : \og Tirer deux jetons de couleurs différentes \fg.
    	\item Calculer la probabilité de l'évènement $B$ : \og Obtenir $4$ points \fg.
    	\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og Obtenir $4$ points avec deux jetons de couleurs différentes \fg.
    	\item Calculer la probabilité de l'évènement $D$ : \og Obtenir au moins $4$ points \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreB1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\exo{(12 points)}
\es Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle ${\bf I}=[\, 1 \, ; \, 6 \, ]$ par :

\[f(x) = \frac{x^2}{4}- 1 -2\ln x\]

et sa courbe représentative $C_f$ dans le plan rapporté \`{a} un repère orthonormal d'unité graphique $2$ cm.
\begin{enumerate}
    \item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que sur l'intervalle $\bf I$ on a :
 
\[f'(x) = \frac{x^2-4}{2x}.\]
    
    \item Étudier sur $\bf I$ le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variations de la fonction $f$.
    \item Tracer la courbe $C_f$ sur $\bf I$.
    \item Soit $g$ la fonction définie sur $\bf I$ par :
    $$g(x)=x\ln x-x$$

\begin{enumerate}
    \item Déterminer la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$.
    \item En déduire la primitive $F$ de la fonction $f$ telle que : $F(1)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreB2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 1995}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreB1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item $P(R)=\frac{2}{5}=0,4$.
    \item Si on note $p$ cette probabilité, $p=\frac{3}{5}=0,6$.
    \item

\begin{enumerate}
    \item On peut construire le tableau :
    \vs

        \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
    \hline
    \backslashbox{2ème tirage}{1er tirage}&\raisebox{4pt}{$B_3$}&\raisebox{4pt}{$R_2$}&\raisebox{4pt}{$R_2$}&\raisebox{4pt}{$V_1$}&\raisebox{4pt}{$V_1$}\\
\hline
$B_3$&\backslashbox{$$}{}&$RB_5$&$RB_5$&$VB_4$&$VB_4$\\
\hline
$R_2$&$BR_5$&\backslashbox{}{}&$RR_4$&$VR_3$&$VR_3$\\
\hline
$R_2$&$BR_5$&$RR_4$&\backslashbox{}{}&$VR_3$&$VR_3$\\
\hline
$V_1$&$BV_4$&$RV_3$&$RV_3$&\backslashbox{}{}&$VV_2$\\
\hline
$V_1$&$BV_4$&$RV_3$&$RV_3$&$VV_2$&\backslashbox{}{}\\
\hline
    \end{tabular}

    \end{center}
    \es Il y a $20$ tirages posibles.
    \vs

    \item $P(A)=\frac{16}{20}=0,8$.
    \item $P(B)=\frac{6}{20}=0,3$.
    \item $P(C)=\frac{4}{20}=0,2$.
    \item $P(D)=\frac{10}{20}=0,5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreB2}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item On a : $f'(x)=\frac{2x}{4}-2\times\frac{1}{x}=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}=\frac{x^2-4}{2x}$
    \item $$f'(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{2x}$$
Cette expression est du signe de $(x-2)$ sur l'intervalle $\bf I$. $(x+2)$ et $2x$ sont strictement positifs pour tout réel $x\in \bf I$.\\
On obtient donc le tableau :
\vs

$$
\begin{array}{|c|*{5}{c}|}
\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&1&&2&&6\\
\hline
&&&\vline&&\\
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&-&0&+&\\
&&&\vline&&\\
\hline
&&&&&\\
&-\frac{3}{4}&&&&8-2\ln 6\\
&=-0,75&&&&\approx 4,4\\
f(x)&&\dec&&\cro&\\
&&&-2\ln 2&&\\
&&&\approx -1,4&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item On obtient la courbe $C_f$ :
\vs

\begin{center}
\begin{pspicture}*(-2,-2)(8,5)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(8,5)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[u](0.5,0){$\vec i$}
\uput[l](0,.5){$\vec j$}
\psplot[plotpoints=800,linewidth=1pt,linecolor=blue]{1}{6}{x 2 exp 4 div 1 sub x ln 2 mul sub}
\uput[d](7.7,0){$\bf x$}
\uput[r](0,4.7){$\bf y$}
\uput[d](1,0){$\bf 1$}
\uput[l](0,1){$\bf 1$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.4pt](1,-.75)(0,-.75)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.4pt](2,-1.386)(0,-1.386)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.4pt](6,4.416)(0,4.416)
\uput[l](0,4.416){$\bf 4,4$}
\uput[l](0,-.75){$\bf -\frac{3}{4}$}
\uput[l](0,-1.386){$\bf -1,4$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item
\begin{enumerate}
    \item $g'(x)=\ln x+x\times\frac{1}{x}-1=\ln x$. On remarque que $g$ est une primitive de la fonction $\ln$.
    \item Les primitives de la fonction $f$ s'écrivent donc : $$F(x)=\frac{1}{3}\times\frac{x^3}{4}-x-2\left(x\ln x-x\right)+k=\frac{1}{12}x^3+x-2x\ln x+k,$$ d'après la question précédente.\\ En utilisant $F(1)=0$, on obtient : $F(1)=\frac{1}{12}+1+k=0$. Soit : $k=-\frac{13}{12}$. Et la primitive demandée s'écrit :
    $$\boxed{F(x)=\frac{1}{12}x^3+x-2x\ln x-\frac{13}{12}}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}