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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn h\^{o}tellerie}



\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 1999}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
        \setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 1999}

\exo{(9 points)}

Une enquête d'un service commercial a permis de conna\^{\i}tre l'évolution de la demande de déjeuners en fonction du prix proposé dans un restaurant:

    \begin{center}
\[\begin{array}{|c|*{2}{c|}}\hline
&&\\
\text{N° de la donnée}&\text{Prix proposé}~~ p_i&\text{Demande hebdomadaire} ~~d_i\\
&&\\\hline
&&\\
1&70&520\\
&&\\
2&90&433\\
&&\\
3&110&325\\
&&\\
4&130&169\\
&&\\
5&150&110\\
&&\\
6&170&45\\
&&\\\hline
\end{array}\]
    \end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement cette distribution dans un repère orthogonal.
\item Peut-on envisager un ajustement affine?
\item On utilise la méthode des points moyens :
	\begin{enumerate}
    	\item Calculer les coordonnées des points moyens $G_1$ et $G_2$. Tracer la droite $(G_1G_2)$.
    	\item Déterminer une équation de cette droite.
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que la demande $d$ en fonction du prix $p$ est définie par $d(p)=-5,3~p~+~903$ pour $p$ compris entre $70$ et $170$.
	\begin{enumerate}
    	\item Déterminer la recette $R(p)$ en fonction de $p$.
    	\item Déterminer le prix du repas (arrondi à l'unité) qui donne la recette maximum. Pour cela on pourra chercher quelle valeur de $p$ annulle la dérivée $R'$ de la fonction recette $R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreF1}{\textcolor{red}{\underline{\textbf{Corrigé exercice 1}}}}

\exo{(11 points)}

\subsection*{Partie A}

Le gérant du restaurant fixe finalement le prix du repas à 85 F. La recette hebdomadaire est alors en centaines de F : $R(n)=0,85~n$ o\`{u} $n$ est le nombre de clients par semaine.

Il prévoit que son coût de production hebdomadaire exprimé en centaines de F, est fonction du nombre $n$ de clients et est donné par :

\[C(n)=40+7\ln (n+1).\]

\begin{enumerate}
    \item Montrer que la fonction $C$ définie par $C(x) = 40 + 7\ln (x + 1)$ est croissante sur $[0~;~150]$.
    \item Représenter graphiquement la fonction $C$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 1 cm pour 10 unités sur chaque axe.
    \item Tracer dans le même graphique la droite d'équation $y=0,85~x$.
    \item Déterminer à l'aide du graphique le nombre de repas à partir duquel le gérant réalise un bénéfice.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

Le gérant souhaite investir pour l'achat de matériel de cuisine une somme $S$ amortissable sur 7 ans. Les amortissements forment une suite géométrique de raison $0,8$.
\begin{enumerate}
    \item Soit $u_0$ le premier amortissement. Exprimer les amortissements $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$ en fonction de $u_0$.
    \item Exprimer la somme $S$ en fonction de $u_0$.
    \item Sachant que cette somme provient d'un placement financier sur 5 ans d'un montant de \np{269000} F à 6\,\% à intérêts composés, quelle est cette somme ?
    \item Calculer alors le montant du premier amortissement $u_0$, puis des 6 suivants (arrondir au F près).
\end{enumerate}
\vs

\textbf{Remarque} : le capital $C_n$ obtenu par placement de $C_0$ sur $n$ années au taux $t$\,\% à intérêts composés est donné par :

\[C_n=C_0\left(1 + \frac{t}{100}\right)^n.\]

\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreF2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage

\section*{Corrigé Btn 1999}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreF1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item Représentation graphique :
    \vspace{.5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=.5cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}*(-2,-1)(20,6)

\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(20,6)
\uput*[d](1,0){$\bf 10$}

\uput*[d](10,0){$\bf 100$}
\uput*[l](0,1){$\bf 100$}
\uput*[l](0,5){$\bf 500$}
\rput*(2.4,5.6){\bf Demande $d$}
\rput*(18,-.5){\bf Prix $p$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{17}{-.53 x mul 9.03 add}
\rput(7,5.2){$\blacktriangle$}
\rput(9,4.33){$\blacktriangle$}
\rput(11,3.25){$\blacktriangle$}
\rput(13,1.69){$\blacktriangle$}
\rput(15,1.1){$\blacktriangle$}
\rput(17,.45){$\blacktriangle$}
\rput(9,4.26){$\bullet$}
\rput(15,1.08){$\bullet$}
\uput[d](9,4.26){$\bf G_1$}
\uput[d](15,1.08){$\bf G_2$}

\end{pspicture}
\end{center}
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.
\item
\begin{enumerate}
    \item $G_1~(90;426)$ et $G_2~(150;108)$.
    \item $$d=ap+b$$
    $$a=\frac{108-426}{150-90}=-5,3$$
    $$d=-5,3p+b$$
    $$426=-5,3\times 90+b$$
    $$b=426+477=903$$
    $$\boxed{d=-5,3p+903}$$
\end{enumerate}
\item $$R(p)=p\times d(p)=p(-5,3p+903)=-5,3p^2+903p$$
\item $R$ est une fonction du second degré :
$$R'(p)=-10,6p+903$$
La dérivée $R'$ de $R$ est successivement positive puis négative (à cause de $-10,6$), elle est nulle si $ p=\frac{903}{10,6}\approx 85$.

Le prix qui donne une recette maximum est donc :$85$ F.
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreF2}{\exo}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
    \item On calcule la dérivée : $C'(x)=7\times\frac{1}{x+1}=\frac{7}{x+1}$. Elle est clairement positive sur l'intervalle et $C$ est donc croissante.
    \item Représentation graphique :

\vspace{.5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}*(-2,-1)(16,9)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(16,9)
\uput*[d](1,0){$\bf 10$}
\uput*[d](10,0){$\bf 100$}
\uput*[l](0,1){$\bf 10$}
\uput*[l](0,5){$\bf 50$}
\uput*[d](15.7,0){$\bf x$}
\uput*[l](0,8.7){$\bf y$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{15}{10 x mul 1 add ln .7 mul 4 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{15}{.85 x mul}
\rput(5,4){\colorbox{yellow}{\bf recette}}
\rput(12,7.3){\colorbox{yellow}{\bf coût}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=1.2pt](8.360722,0)(8.360722,7.106614)
\rput(8.360722,7.106614){$\bullet$}
\uput*[d](8.1,0){$\approx 84$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item On trace la droite $y=0,85~x$ avec l'origine et $(100;85)$.
\item Ce nombre $n$ est tel que :$R(n)\geqslant C(n)$. On l'obtient graphiquement : $n\approx 84$


\end{enumerate}
\subsection*{Partie B}
Toutes les sommes sont en francs.
\begin{enumerate}
    \item On a de fa\c{c}on claire : $u_1=O,8~u_0$ ; $u_2=0,8^2~u_0$ ; $u_3=0,8^3~u_0$ ; $u_4=0,8^4~u_0$ ; $u_5=0,8^5~u_0$ et $u_6=0,8^6 ~u_0$.
    \item
    $$S=u_O+u_1+ \cdots \cdots +u_6=u_0\times\frac{1-0,8^7}{1-0,8}\approx 3,951~u_0$$
    \item 
    
    \[S=C_0\times 1,06^5 = \np{269000} \times 1,06^5\approx \np{359983}.\]
    
    \item On en déduit que : $u_0=\frac{\np{359983}}{3,951}\approx 91~112$ puis les autres en multipliant successivement par $0,8$. $u_1\approx \np{72890}$ ; $u_2\approx \np{58312}$ ; $u_3\approx \np{46649}$ ; $u_4\approx \np{37319}$ ; $u_5\approx \np{29856}$ et $u_6\approx \np{23884}$.
\end{enumerate}
\end{document}