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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2000}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 2000}
\exo{(8 points)}

\es Un hôtel dispose de $40$ chambres soit avec bains soit avec douche. Toutes les chambres ne disposent pas de la télévision. La moitié des chambres avec bains ont la télévision. Les deux tiers des chambres sans télévision disposent d'une douche. Il y a un quart des chambres de cet hôtel qui disposent d'une douche mais pas d'une télévision.
\begin{enumerate}[1)]
    \item Compléter le tableau ci-dessous :
    \vs

    \begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
&&&\rule{2.5cm}{0cm}\\
&Avec télévision $T$&Sans télévision $\bar{T}$&Totaux\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Avec bain $B$&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Avec douche $D$&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Totaux&&&$40$\\
&&&\\
\end{tabular}
\end{center}
\vs
\item Une chambre est choisie au hasard parmi les $40$ chambres de l'hôtel. {\bf Toutes les chambres ont la même probabilité d'être choisies}.
	\begin{enumerate}
    	\item  On note $D$ l'événement : \og la chambre possède une douche".\\
    Montrer que $P(D)=0,75$.
    	\item Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
    	\begin{enumerate}[$\bullet$]
    		\item $T$: \og la chambre possède la télévision \fg{};
    		\item $D\cap T$: \og la chambre possède une douche et la télévision\fg.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item Exprimer par une phrase claire chacun des événements suivants et en déterminer la probabilité :

$\bar{D}$ \q;\q $\bar{D}\cup T$ \q;\q $D\cup \bar{T}$ \q;\q $\bar{D}\cap \bar{T}$.
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreG1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}

\exo{(12 points)}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
    	\item Dans un repère orthonormal o\`{u} $1$ cm représente une unité, construire les droites :

\[D_1: \, 2x+y = 10\]

\[D_2: \, 4x+3y = 50\]

\[D_3: \, 2x+y = 20\]

\es On se limitera aux points d'abscisses et d'ordonnées positives.
    	\item Déterminer par un calcul les coordonnées du point d'intersection $\bf I$ de $D_2$ et $D_3$.
	\end{enumerate}
\item Un restaurateur veut acheter, pour sa salle de restaurant d'une surface de $100$ $\text{m}^2$, des tables rondes et des tables carrées. Une table ronde permet de servir $8$ couverts, occupe $8$ $\text{m}^2$ et coûte $3000$ F. Une table carrée permet de servir $4$ couverts, occupe $6$ $\text{m}^2$ et coûte \np{1500} F. Le restaurateur dispose d'un budget de \np{30000} F et veut servir au moins $40$ couverts. On note $x$ le nombre de tables rondes et $y$ le nombre de tables carrées qu'il veut acheter.
	\begin{enumerate}
    	\item Exprimer, à l'aide d'un système d'inégalités sur $x$ et $y$, les contraintes imposées par l'énoncé.
    	\item Déterminer graphiquement l'ensemble $\mathcal S$ des points du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système obtenu (on hachurera la partie du plan qui n'est pas solution).
    	\item On suppose que les tables sont complètement occupées. Les tables rondes laissent alors chacune un bénéfice de $400$ F au restaurateur et les tables carrées chacune un bénéfice de $250$ F. Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le bénéfice total $B(x~;~y)$ en F réalisé.
    \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
    	\item Représenter les ensembles (droites) $B_1$ et $B_2$ obtenus pour un bénéfice respectivement de $3500$ F et $4500$ F.
    	\item Peut-on avoir un bénéfice de $6000$ F ?
    	\item Quel est le bénéfice maximal et quels sont alors les nombres de tables que le restaurateur doit acheter (on justifiera la méthode utilisée) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreG2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage

\section*{Corrigé Btn 2000}

\setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreG1}{\exo{(8 points)}}
\begin{enumerate}[1)]
    \item Il faut bien analyser les données :
    \vs
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
&&&\rule{2.5cm}{0cm}\\
&Avec télévision $T$&Sans télévision $\bar{T}$&Totaux\\
&&&\\\hline
&&&\\
Avec bain $B$&5&5&10\\
&&&\\\hline
&&&\\
Avec douche $D$&20&10&30\\
&&&\\\hline
&&&\\
Totaux&25&15&$40$\\
&&&\\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\item
\parbox[]{7cm}{\fbox{\parbox{7cm}{Il y a équiprobabilité, les probabilités sont donc obtenues en calculant le rapport :\\

\centerline{
$\frac{\mbox{nombre de cas favorables }}{\mbox{nombre de cas possibles }}$}
}}
\vspace{.3cm}

\begin{enumerate}
    \item $P(D)=\frac{30}{40}=0,75$.
    \item $P(T)=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}=0,625$.\\

          $P(D\cap T)=\frac{20}{40}=0,50$.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{10cm}{
\item
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item $\bar{D}$ : \og la chambre n'a pas de douche \fg{} et $P(\bar{D})=\frac{10}{40}=0,25$.
    \item $\bar{D}\cup T$ : \og la chambre a un bain ou la télévision\fg{}

     $P(\bar{D}\cup T)=\frac{20+5+5}{40}=\frac{3}{4}=0,75$
    \item $D\cup \bar{T}$ : \og la chambre a une douche ou n'a pas de télévision\fg{}

    $P(D\cup \bar{T})=\frac{20+10+5}{40}=\frac{7}{8}=0,875$.
    \item $\bar{D}\cap \bar{T}$ : \og la chambre n'a pas de douche et pas de télévision\fg{}

$P(\bar{D}\cap \bar{T}) = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0,125$.
\end{enumerate}}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreG2}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Représentation graphique pour tout l'exercice :
    \vspace{.5cm}

\begin{center}
\psset{yunit=.7cm,xunit=1cm}
\begin{pspicture}*(-2,-2)(12,20)

\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray](-2,19.3333)(-2,20)(12,20)(12,-2)(11,-2)(5,10)(-2,19.3333)
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray](-2,19.3333)(0,16.6667)(0,-2)(-2,-2)
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchsep=12pt,hatchcolor=gray](0,10)(0,-2)(11,-2)(10,0)(5,0)(0,10)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(12,20)

\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,1)
\rput(-.3,-.4){\colorbox{white}{$\bf O$}}
\uput[d](11.4,0){\colorbox{white}{$\bf x$}}
\uput*[l](0,19.5){$\bf y$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=blue]{-2}{12}{-2 x mul 10 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=red]{-2}{12}{-2 x mul 20 add}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linecolor=magenta]{-2}{12}{-4 x mul 50 add 3 div}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-2}{12}{-8 x mul 70 add 5 div}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-2}{12}{-8 x mul 90 add 5 div}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{-2}{12}{-8 x mul 120 add 5 div}
\rput(3.5,8){\colorbox{yellow}{solution graphique}}
\rput(5,10){$\bullet$}
\rput(2,6){\colorbox{yellow}{$D_1$}}
\rput(2,14){\colorbox{yellow}{$D_2$}}
\rput(2,16){\colorbox{yellow}{$D_3$}}
\rput(10,8){\colorbox{yellow}{$B_3$}}
\rput(5,6){\colorbox{yellow}{$B_1$}}
\rput(10,2){\colorbox{yellow}{$B_2$}}
\uput*[d](4.9,9.9){$\bf I$}
\uput*[l](0,10){$10$}
\uput*[l](0,5){$5$}
\uput*[d](10,0){$10$}
\uput*[d](5,0){$5$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vs

\item Il faut résoudre :

\[(S) \q\left\{
\begin{array}{l}
4x+3y=50\q \; (L_1)\\
2x+y=20\q (L_2)
\end{array}
\right.\]

Par combinaison $L_1-2L_2$ on obtient presque directement la solution :

\[(S) \q\left\{
\begin{array}{l}
y=10\\
2x+y=20
\end{array}
\right.\]

$S=\left\{\left(~5~;~10~\right)\right\}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
    \item Les contraintes de l'énoncé conduisent au système d'inéquations :

\[(S') \q\left\{
\begin{array}{l}
8x+4y\geqslant 40 \\
8x+6y\leqslant 100\\
\np{3000}x+ \np{1500}y\leqslant \np{30000}\\
x\geqslant 0\\
y\geqslant 0
\end{array}
\right.\]

on peut simplifier :

\[(S') \q\left\{
\begin{array}{l}
2x+y\geqslant 10 \\
4x+3y\leqslant 50\\
2x+y\leqslant 20\\
x\geqslant 0\\
y\geqslant 0
\end{array}
\right.\]
\vs

\item Les méthodes d'analyse des demi-plans conduisent à hachurer comme le montre la figure ci-dessus.
\vs

\item Le bénéfice en fonction de $x$ et $y$ est :$$B(x,y)=400x+250y$$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $400x+250y=3500$ se simplifie : $8x+5y=70$. C'est l'équation d'une droite $B_1$ passant par :$(5~;~6)$ et $(0~;~14)$.\\
$400x+250y=4500$ se simplifie : $8x+5y=90$. C'est l'équation d'une droite $B_2$ passant par :$(5~;~10)$ et $(0~;18)$.
\vs

\item
Un bénéfice de $6000$ F correspond à la droite $B_3$ : $8x+5y=120$. Il est impossible (voir graphique).
\vs

\item Les droites $B_1$ , $B_2$ et $B_3$ sont parallèles et la position maximale est celle de $B_2$ passant par $\bf I$ : il faut donc acheter $x=5$ et $y=10$ tables de chaque sorte pour un bénéfice de  :$400\times 5+250\times 10=4500$ F.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}