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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}
\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2004}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 2004}
\exo{(7 points)}
\centerline{{\it Dans tout l'exercice, on arrondira les prix au centime d'euro.}}
\vs

\es A compter du $1\up{er}$ janvier 2004, un restaurateur décide d'augmenter tous les ans au $1\up{er}$ janvier les prix de sa carte de $3$ \%.
\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item Quel est le prix, sur la carte 2004 d'un plat qui coûtait $9,50$ \eu en 2003 ?
    \item Quel était le prix en 2003 d'un dessert qui cûte $6,90$ \eu en 2004 ?
\end{enumerate}
\item La carte du restaurateur proposait en 2003 une \og Formule Midi \fg{} à $7,50$ \euros. On note $P_n$ le prix en \eu de la \og Formule Midi\fg{} au $1\up{er}$ janvier de l'année (2003$+n)$. (Ainsi $P_0=7,50$ pour 2003; $P_1$ pour 2004, etc $\dots$)
\begin{enumerate}
    \item Calculer $P_1$ et $P_2$.
    \item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$. Quelle est la nature de cette suite ? Quelle est sa raison ?
    \item En déduire $P_n$ en fonction de $n$.
    \item Combien coûtera la \og Formule Midi \fg{} en 2010 ?
    \item A partir de quelle année le prix de la \og Formule Midi \fg{} dépassera-t-il $10$ \eu ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreK1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}
\exo{(13 points)}
\es Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d'une étude effectuée sur une semaine par un restaurateur en vue de conna\^{\i}tre le coût moyen de production d'un repas en fonction du nombre de couverts servis.\\
Dans ce tableau, $x_i$ désigne le nombre de couverts servis, et $y_i$ désigne le coût moyen d'un repas en \eu pour le $i$ème jour de la semaine. Par exemple : le deuxième jour de la semaine, pour un service de $15$ couverts, chaque repas a coûté en moyenne $8,90$ \euros.
\vs

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}\\
\multicolumn{1}{|c|}{$x_i$}&$4$&$15$&$25$&$35$&$45$&$50$\\
    &&&&&&\\        \hline
    &&&&&&\\
$y_i$&$19,30$&$8,90$&$6,50$&$6,40$&$7,20$&$8,10$\\
    &&&&&&\\    \hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
    \item Représenter sur du papier millimétré le nuage de points $(x_i;y_i)$. On prendra :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item en abscisses : $1$ cm pour $5$ repas,
    \item en ordonnées : $1$ cm pour $2$ \euros.
\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\bf G$, le point moyen du nuage et placer $\bf G$ sur le graphique.
\item Le restaurateur décide d'effectuer un ajustement affine du nuage par la droite $D$ d'équation : $y=-0,2x+15,2$.
\begin{enumerate}
    \item Tracer $D$ sur le graphique.
    \item La droite $D$ passe-t-elle par $\bf G$ ? (On justifiera la réponse par un calcul).
    \item Que pensez-vous de cet ajustement ? (Expliquer).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\subsection*{Partie B}
\es On se propose dans cette partie d'effectuer un ajustement plus précis du nuage par la fonction $f$, définie sur $[ \, 4 \, ; \, 50 \, ]$ par :
$$f(x)=0,4x+35-12\ln x$$
\centerline{{\it Dans la suite, les valeurs trouvées par calcul seront arrondies au centième près.}}
\begin{enumerate}
    \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que :

    $$f'(x)=\frac{0,4x-12}{x}$$
    \item Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[ \, 4 \, ; \, 50 \, ]$ et dresser le tableau de variations de $f$.
    \item Compléter le tableau suivant :
        \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}\\
    \multicolumn{1}{|c|}{$x$}&$4$&$10$&$20$&$30$&$40$&$50$\\
    &&&&&&\\
        \hline
    &&&&&&\\
$f(x)$&&&&&&\\
    &&&&&&\\
    \hline
    \end{tabular}
\end{center}
\item Représenter la fonction $f$ dans le m\^{e}me repère que le nuage de points.
\item On considère que $f$ réalise un bon ajustement du nuage de points.
\begin{enumerate}
    \item Selon cet ajustement, pour quel nombre de couverts le coût moyen d'un repas est-il minimum ? Quel est ce coût minimum ?
    \item En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement pour quels nombres de couverts le coût moyen d'un repas est inférieur à $7$ \euros. (On fera figurer les traits de construction de la réponse sur le graphique).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreK2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\setcounter{exercice}{0}
\section*{Corrigé Btn 2004}
\hypertarget{ancreK1}{\exo{(7 points)}}

\begin{enumerate}
    \item
\begin{enumerate}
    \item L'augmentation de $3$ \% se traduit d'une année à l'autre par un coefficient multiplicateur  $b=1,03$. Le prix en 2004 est : $9,5\times 1,03=\approx \boxed{9,79 \,\text{\eu}}$
    \item Le prix en 2003 était de : $\frac{6,90}{1,03}\approx \boxed{6,70 \,\text{\eu}}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D'après la question précédente, on a : $P_1=1,03\times P_0=1,03\times 7,50\approx \boxed{7,73 \,\text{\eu}}$\\

    $P_2=P_1\times 1,03=P_0\times (1,03)^2\approx \boxed{7,96 \,\text{\eu}}$
\item Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $P_0=7,50$ et de raison $b=1,03$. On a donc :
$$P_{n+1}=1,03\times P_n$$
ce qui donne :$$\boxed{P_n=P_0\times (1,03)^n=7,50\times (1,03)^n}$$
\item En 2010, $n=7$, on cherche donc : $P_7=7,50\times (1,03)^7\approx 9,22$ \euros.
\item
\vs

\parbox[t]{8cm}{
\ud{Il s'agit ici de résoudre l'inéquation} :
$$7,50\times (1,03)^n\geqslant 10$$
$$(1,03)^n\geqslant \frac{10}{7,50}$$
$$(1,03)^n\geqslant \frac{4}{3}$$
}
\hfill
\parbox[t]{8cm}{
\ud{Par utilisation des Logarithmes} :
$$\ln (1,03)^n\geqslant \ln \left(\frac{4}{3}\right)$$
$$n\ln 1,03\geqslant \ln \left(\frac{4}{3}\right)$$
$$n\geqslant\frac{ \ln {\displaystyle\left(\frac{4}{3}\right)}}{\ln 1,03}$$
}

\centerline{Soit finalement : $\boxed{n\approx 10}$ \, ce qui donne l'année 2013.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreK2}{\exo{(13 points)}}
\subsubsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
\parbox[]{8cm}{
    \item Représentation du nuage :
\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}*(-1,-2)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-1,-2)(11,11)
\psdots[linecolor=black,linewidth=6pt,dotstyle=+,dotscale=.7,dotangle=45,fillstyle=solid](.8,9.65)(3,4.45)(5,3.25)(7,3.2)(9,3.6)(10,4.05)
\uput[d](8.4,1){Nombre de couverts $x$}
\uput[r](0,10.7){Coût moyen $y$}
\uput[d](1,0){$\bf 5$}
\uput[d](5,0){$\bf 25$}
\uput[d](10,0){$\bf 50$}
\uput[l](0,1){$\bf 2$}
\uput[l](0,10){$\bf 20$}
\uput[l](0,5){$\bf 10$}
\uput[l](0,3.5){$\bf 7$}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,linecolor=gray](0,3.5)(11,3.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,linecolor=gray](4.0522,3.5)(4.0522,0)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,linecolor=gray](8.4899,0)(8.4899,3.5)
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{.8}{10}{x 17.5 add x 5 mul ln 6 mul sub}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](0,7.6)(11,2.1)
\rput(8.4899,3.5){$\bullet$}
\rput(4.0522,3.5){$\bullet$}
\rput(5.8,4.7){$\blacksquare$}
\uput[u](5.8,4.7){$\bf G$}
\uput[d](3,7){$\bf D$}
\uput[d](6,3){$\bf C_f$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=gray,linewidth=1.6pt](4.2,0)(4.2,-1.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=gray,linewidth=1.6pt](8.4,0)(8.4,-1.5)
\psline[linewidth=1.2pt]{<->}(8.4,-1.5)(4.2,-1.5)
\rput(6.3,-1.8){\tiny {Intervalle solution (entiers)}}
\uput[d](4.2,0){\colorbox{white}{$21$}}
\uput[d](8.4,0){\colorbox{white}{$42$}}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\hfill
\parbox[]{8cm}{
\item Le point $G\,(29;9,4)$ est placé en noir sur le graphique.
\vs

\item
\begin{enumerate}
    \item Voir ci-contre : $D$ est tracée avec les points $(0;15,2)$ et $(50;5,2)$.
    \vs

    \item $D$ passe par $G$ car : $-0,2\times 29+15,2=9,4$. Les coordonnées de $G$ vérifient l'équation de $D$.
    \vs

    \item On observe que la forme du nuage (courbe) ne justifie pas cet ajustement affine. Ce qui était évident dès le début !
\end{enumerate}
}
\hfill\hfill
\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
    \item On a : $f'(x)=0,4-12\times \frac{1}{x}=0,4-\frac{12}{x}=\frac{0,4x-12}{x}$.
    \item On constate que sur l'intervalle, $f'(x)$ s'annule si $x=30$ et est du signe du binôme $0,4x-12$. On obtient donc le tableau de variations :
    \vs

        $$
\begin{array}{|c|*{5}{c}|}
\hline
\vrule height.4cm width0pt depth.2cm x&4&&30&&50\\
\hline
&&&\vline&&\\
\vrule height.4cm width0pt depth.2cm f'(x)&&-&0&+&\\
&&&\vline&&\\
\hline
&\approx 20&&&&\approx 8,10\\
f(x)&&\dec&&\cro&\\
&&&&&\\
&&&\approx 6,20&&\\
&&&min&&\\
\hline
\end{array}
$$
\item Le tableau de valeurs :
                                    \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}&\rule{.8cm}{0cm}\\
    \multicolumn{1}{|c|}{$x$}&$4$&$10$&$20$&$30$&$40$&$50$\\
    &&&&&&\\
        \hline
    &&&&&&\\
$f(x)$&$19,96$&$11,37$&$7,05$&$6,19$&$6,73$&$8,06$\\
    &&&&&&\\
    \hline
    \end{tabular}
\end{center}
\item Voir ci-dessus $C_f$ en bleu.
\item
\begin{enumerate}
    \item D'après l'étude de $f$, le coût moyen est minimum pour $x=30$ couverts et est d' $\approx 6,19$ \euros.
    \item On trace la droite $y=7$ et on lit graphiquement les valeurs de $x$ entières pour lesquelles la courbe $C_f$ est au-dessous de cette droite : on obtient de $21$ à $42$ couverts.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}