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\title{
\textbf{\huge{ANNALES}} \\
\textbf{de}\\
\textbf{\huge{MATHEMATIQUES}}\\
Btn hôtellerie}

\author{Michel Charrier\\
Professeur Agrégé
\and
Juin 2005}

\date{}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\setcounter{secnumdepth}{-1}
%\maketitle
\setcounter{exercice}{0}

\section{Btn 2006}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

La région Centre accueille chaque année un grand nombre de touristes français et étrangers qui passent un total de $18,5$ millions de nuitées dans la région. Ces nuitées se décomposent en deux types d'hébergement :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item L'hébergement marchand (hôtels, auberges, campings...)
    \item L'hébergement non-marchand (familles, amis, résidence secondaire...)
\end{enumerate}

Les hébergements se répartissent de la façon suivante entre touristes français et étrangers :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item Les touristes étrangers passent 3,85 millions de nuitées dans des hébergements marchands.
    \item 78\,\% des nuitées sont dûes à des touristes français.
    \item 50,4\,\% des nuitées sont passées en hébergement marchand.
    \end{enumerate}

\begin{enumerate}
    \item Calculer le nombre de nuitées des touristes français ainsi que le nombre de nuitées passées en hébergement marchand.
    \item Recopier et compléter le tableau suivant o\`{u} \textbf{tous les résultats seront donnés en milliers de nuitées.}
    \vs

    \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}\\
&Touristes français &Touristes étrangers &Total\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Hébergement marchand&&3~850&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Hébergement non-marchand&&&\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Total&&&18~500\\
&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Déterminer le pourcentage, arrondi à l'entier le plus proche, de nuitées passées en hébergement marchand parmi les touristes étrangers.
\vs

\emph{On réalise une enquête auprès des clients ayant passé un nuit en région Centre en 2002. On considère que tous les clients ont la même probabilité d'être interrogés.}

\item Calculer la probabilité des événements suivants : on donnera les résultats à 0,01 près.
\begin{enumerate}
    \item A : \og le client est un touriste étranger \fg.
    \item B : \og Le client est français et sa nuitée est en hébergement non-marchand \fg.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 1. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreM1}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 1}}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

\subsection*{Partie A : étude d'une suite}

En 2004 on dénombrait \np{1900}~chambres d'hôtes dans la région Centre. On estime que, chaque année, le nombre de chambres d'hôtes dans la région augmente de 3 \% par rapport à l'année précédente.

On appelle $u_0$ le nombre de chambres d'hôtes en 2004 (c'est à dire $u_0 = \np{1900}$), $u_1$ le nombre de chambres d'hôtes en 2005 ... et de façon générale $u_n$ le nombre de chambres d'hôtes en (2004 + $n$).
\begin{enumerate}
    \item Déterminer $u_1$ et $u_2$ (arrondir à l'entier le plus proche).
    \item
\begin{enumerate}
    \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
    \item En déduire le nature de la suite, son premier terme et sa raison.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
    \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
    En déduire le nombre de chambres d'hôtes prévisible en 2015 (arrondir à l'entier le plus proche).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B : étude d'une fonction}
En fait, le nombre annuel de chambres d'hôtes dans la région Centre peut également être donné par la fonction $f$ définie sur $[~0~;~15~]$ par :$$f(x)=1~900~e^{\displaystyle{0,03x}}$$
o\`{u} $x$ est le nombre d'années écoulées depuis 2004.
\begin{enumerate}
    \item Montrer que : $f'(x)= 57~\text{e}^{0,03x}$
    \item
\begin{enumerate}
    \item Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[~0~;~15~]$.
    \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[~0~;~15~]$.
\end{enumerate}
Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs à la dizaine près).
\vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*8{c|}}
\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$x$&0&1&2&4&6&10&15\\
&&&&&&&\\
\hline
&&&&&&&\\
$f(x)$ &&&&&&&\\
&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vs

\item Tracer sur papier millimétré la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan ; unité graphiques :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
    \item 1 cm sur l'axe des abscisses.
    \item 1 cm pour 50 sur l'axe des ordonnées et commencer à graduer à \np{1900}.
\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement puis par un calcul le nombre de chambres d'hôtes en 2015 (justifier par un tracé en pointillés). Comparer avec \textbf{A. 3b.}
\end{enumerate}
\vs

\es \textbf{Pour voir le corrigé de l'exercice 2. cliquez sur le lien :} \hyperlink{ancreM2}{\textcolor{red}{\textbf{Corrigé exercice 2}}}
\newpage
\section*{Corrigé Btn 2006}
        \setcounter{exercice}{0}

\hypertarget{ancreM1}{\exo}
\begin{enumerate}
    \item $18,5\times\frac{78}{100}=14,43$ millions de nuitées des touristes français.\\

    $18,5\times\frac{50,4}{100}=9,324$  millions de nuitées en hébergement marchand.
    \item On obtient :
    \vs

    \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}&\rule{2.5cm}{0cm}\\
&Touristes français &Touristes étrangers &Total\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Hébergement marchand&~5~474&3~850&9~324\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Hébergement non-marchand&8~956&220&9~176\\
&&&\\
\hline
&&&\\
Total&14~430&4~070&18~500\\
&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vs

\item
On calcule : $\frac{\np{3850}}{\np{4070}}\times 100\approx 95$ \%
\item
\begin{enumerate}
    \item $$\text{P(A)=} \frac{\np{4070}}{\np{18500}}\approx 0,22$$

    \item $$\text{P(B)=} \frac{\np{8956}}{\np{18500}}\approx 0,48$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\hypertarget{ancreM2}{\exo}
\subsection*{Partie A : étude d'une suite}
\begin{enumerate}
    \item $$u_1=u_0\times (1 + 0,03)= \np{1900}\times 1,03=1957$$

\[u_2=u_1\times 1,03=1957\times 1,03\approx \np{2016}.\]

    \item
\begin{enumerate}
    \item On a :

\[u_{n+1} = u_n\times 1,03.\]

    \item
    Il s'agit d'une \textbf{suite géométrique }de raison $b = 1,03$ et de premier terme $u_0= \np{1900}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
    \item D'après la relation générale du cours : $u_n=u_0 b^n$ soit :
    $$u_n = \np{1900}\times(1,03)^n$$
    \item
    Le nombre de chambres d'hôtes en 2015 sera ($n=11$) : $u_{11}=1900\times (1,03)^{11}\approx \np{2630}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection*{Partie B : étude d'une fonction}
\begin{enumerate}
    \item $$f'(x) = \np{1900} \times 0,03\times \text{e}^{0,03x} =57\times \text{e}^{0,03x}$$
    \item
\begin{enumerate}
    \item Le signe de $f'(x)$ est clairement strictement positif.
    \item On obtient le tableau de variations :

\[\begin{array}{|c|*{3}{c}|}\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm x&0&&15\\\hline
\vrule height.6cm width0pt depth.4cm f'(x)&&+&\\\hline
&&&\approx 2980\\
f(x)&&\cro&\\
&1900&&\\\hline
\end{array}\]

et le tableau de valeurs :
\vs

\begin{center}
\begin{tabular}{|*8{c|}}
\hline
\rule{3cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}&\rule{1cm}{0cm}\\
$x$	&0	&1	&2	&4	&6	&10	&15\\
	&	&	&	&	&	&	&\\\hline
	&	&	&	&	&	&	&\\
$f(x)$ &\np{1900}&\np{1960}&\np{2020}&\np{2140}&\np{2280}&\np{2570}&\np{2980}\\
&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Représentation graphique :
\vs

\begin{center}
\begin{pspicture}*(-2,-1)(15,12)
\showgrid
\psaxes[linewidth=1.2pt,tickstyle=top,labels=none]{->}(0,0)(-2,-1)(15,12)
\uput*[d](14.6,0){$\bf x$}
\uput*[l](0,11.6){$\bf y$}
\uput*[d](1,0){$\bf 1$}
\uput*[d](5,0){$\bf 5$}
\uput*[d](11,0){$\bf 11$}
\uput*[d](10,0){$\bf 10$}
\uput*[l](0,1){$\bf \np{2000}$}
\uput*[l](0,6){$\bf \np{2500}$}
\uput*[l](0,11){$\bf \np{3000}$}
\uput*[l](0,7.428){$\approx \np{2640}$}
\psplot[plotpoints=900,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0}{15}{2.718 .03 x mul exp 19 mul 19 sub}
\psline[linestyle=dashed](11,0)(11,7.428)
\psline[linestyle=dashed](0,7.428)(11,7.428)
\rput(11,7.428){$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En 2015, $x=11$ ce qui donne : 

\[f(11) = \np{1900}\times \text{e}^{\displaystyle 0,03\times 11}\approx \np{2643}.\]

    Il y a donc environ \np{2640}~chambres d'hôtes en 2015. Le résultat est voisin de celui de \textbf{A.3b.}
\end{enumerate}
\end{document}