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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]session 2011
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites définies par $u_0 = 9$ et $\forall n \in \N$, par:

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n - 3\qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + 6.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite v est une suite géométrique et déterminer sa raison.
\item Exprimer $S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \ldots + v_n$ puis $S'_n = u_0 + u_1 + u_2+\ldots + u_n$ en fonction de $n$.

(pour déterminer $S'_n$, on pourra utiliser la relation $u_n = v_n - 6)$.

 Déterminer les limites de $\left(S_n\right)$ et de $\left(S'_n\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
\item On définit à présent, $\forall n \in \N$, la suite $\left(w_n\right)$ par : $w_n = \ln \left(v_n\right)$.

Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison. (à cet effet, on pourra calculer $w_{n+1} - w_n$).
\item Exprimer $S''_n  = w_0 + w_1 + w_2 + \ldots + w_n$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de $\left(S''_n\right)$.
\item Calculer le produit $P_n = v_0 \cdot v_1 \cdot v_2 \cdot\cdot\cdot v_n$, en fonction de $n$.

En déduire la limite de $\left(P_n\right)$.

(Pour déterminer ce résultat, on exprimera $P_n$ en fonction de $S''_n$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = x \text{e}^{-x + 2}\]

On note $(C )$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe $(C)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer l'allure de la courbe $(C)$ ainsi que celle de la courbe de la fonction logarithme népérien que l'on notera $L$.
		
Déduire du graphique réalisé, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \ln x$ sur $[1~;~+\infty[$.
		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln (x) - f(x)$ est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$.
		
En déduire que l'équation $f(x) = \ln x$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = \text{e}^x\left(4 - \text{e}^x\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $h$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item Soit $h'$ la dérivée de $h$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$.
		\item Résoudre l'inéquation $2 - \text{e}^x > 0$ et en déduire le signe de $h'(x)$ et le sens de
variations de $h$.
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $h$.
\item On considère l'équation $h(x) = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $x = 0$ est solution de cette équation
		\item Vérifier la relation $h(x) - 3 = \left(\text{e}^x -3\right) \left(1 - \text{e}^x\right)$ et en déduire la valeur de la solution non nulle, $\lambda$, de l'équation $h(x) = 3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On réalise une enquête portant sur la réussite à un concours administratif (qui ne comporte
qu'une seule épreuve). Cette enquête montre que :

\begin{itemize}
\item avant de s'y présenter, 75\,\% des candidats ont travaillé très sérieusement ce concours ;
\item lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement ce concours, il l'obtient dans 80\,\% des cas·,
\item lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé ce concours, il ne l'obtient pas dans 70 \,\% des cas.
\end{itemize}

On interroge au hasard un candidat qui vient de passer le concours (on suppose que les résultats sont connus dès la fin de l'unique épreuve).

On considère les évènements suivants:

$T$ l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement \fg{} ;

$R$ l'évènement \og le candidat est reçu à ce concours \fg{} ;

Les résultats seront donnés sous forme de décimales (en utilisant des puissances, le cas échéant).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement et est reçu au concours \fg.
		\item Montrer que la probabilité $P(R)$ qu'un candidat soit reçu à ce concours est égale à $0,675$.
	\end{enumerate}	
\item Le candidat interrogé vient d'échouer au concours. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement ?
\item À la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante $3$ candidats.

Calculer la probabilité $P_3$ d'interroger au moins une personne ayant échoué au concours.
\end{enumerate}
\end{document}