\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % \setlength{\textheight}{23,5cm} % \setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG CGRH}, pdftitle = {Polynésie septembre 2008}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Polynésie\hspace{1em}correction}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\septembre 2008 \hspace{1em}correction}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,25cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize \emph{Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.} Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{ Une réponse exacte vaut $1$~point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.} \medskip On donne $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$. \medskip } \parbox{0.5\linewidth}{\footnotesize $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale aux points A$(-2~;~0)$ et C$(0~;~-4)$.\\ $\mathcal{D}$ est la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point B$(-1~;~ -2)$.\\ $\mathcal{D}$ passe par le point de coordonnées $(0~;~-5)$.} \hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-4,-7)(2,6.5) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-7)(2,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(2,6) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(2,6) \uput[ul](-2,0){A} \uput[dl](-1,-2){B} \uput[dr](0,-4){C} \uput[ul](-3,-4){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[ur](-3,4.2){$\mathcal{D}$} \psplot{-3.6}{0.5}{-3 x mul 5 sub} \psplot[linecolor=blue]{-3}{1.5}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 4 sub} \psline[linestyle=dotted](1.5,0)(1.5,6.125)(0,6.125) \end{pspicture} } \begin{enumerate} \item Le nombre de solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f(x) = 0$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 1}& \ovalbox{\textbf{b.}~~ 2}& \textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 3}\\ \end{tabularx} {\footnotesize \emph {remarque :} 2 car il n'est pas tenu compte que $-2$ est une racine double.} \item Les solutions sur l'intervalle $\left[-3~;~\dfrac{3}{2}\right]$ de l'équation $f'(x) = 0$ sont : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-2$ et $1$}&\ovalbox{\textbf{b.}~~$ -2$ et $0$}&\textbf{c.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-3$ et $0$}.\\ \end{tabularx} \item Le nombre dérivé $f'(-1)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,5}&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ - 2$}&\ovalbox{\textbf{c.}~~$- 3$}\\ \end{tabularx} \item Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = - 3x$}&\ovalbox{\textbf{b.}~~$y= - 3x - 5$}&\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = - 2x - 5$}.\\ \end{tabularx} \item La représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \psset{unit=0.6cm}\begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[l](-2.3,3){$\mathcal{C}_{1}$} \psplot{-2.5}{0.5}{x dup mul 3 mul x 6 mul add} \end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[r](-2.8,3){$\mathcal{C}_{2}$} \psplot{-3}{1.5}{x dup mul x add 2 sub} \end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-4)(2,4) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-3,-4)(2,4) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(2,4) \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[ul](0,0){O} \uput[u](-3,-2){$\mathcal{C}_{3}$} \psplot{-3}{1.5}{1.5 x dup mul 0.75 mul sub 0.75 x mul sub} \end{pspicture}\\ \ovalbox{\textbf{a.}~~}&\psCancel[ linewidth=0.5pt]{\textbf{b.}}~~&\psCancel[linewidth=0.5pt]{\textbf{c.}}~~\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage %\vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} Le tableau ci-dessous donne le nombre d'habitants en France, exprimé en millions. \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&1985&1990& 1995& 2000& 2005\\ \hline Nombre d'habitants (en millions)&56,6& 58,2& 59,4& 60,8& 62,8\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{(Source INSEE)}}\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution du nombre d'habitants de 1985 à 2005. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$. $t=\dfrac{\np{62.8}-\np{56.6}}{\np{56.6}}\approx \np{0.1095}$ Le taux d'évolution du nombre d'habitants en France entre 1985 et 2005 est d'environ \np{10.95}\,\% à 0,01\,\% près. \item Déterminons le taux moyen annuel entre 1985 et 2005. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{20}$ puisque le nombre d'habitants a subi 20 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^{20}=\np{1.1095}$ par conséquent $t_m=\np{1.1095}^{\scriptscriptstyle\frac{1}{20}}-1\approx \np{0.00521}$. Le taux d'évolution moyen annuel entre 1985 et 2005 du nombre d'habitants en France est d'environ \np{0.52}\,\% à 0,01\,\% près. \item Calculons une estimation, en millions d'habitants, du nombre d'habitants en 2010 si le taux moyen annuel après 2005 est de 0,5\,\%. Chaque année le nombre d'habitants est multiplié par \np{1.005}. Entre 2005 et 2010, il y a cinq évolutions. $\np{62.8}\times \np{1.005}^5\approx \np{64.386}$. Donc, nous pouvons estimer le nombre d'habitants en France en 2010 à environ 64 millions . \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessous est construit dans le repère orthogonal donné en annexe. \medskip {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année&1985&1990& 1995& 2000& 2005\\ \hline Rang de l'année $x_{i}$&1&2&3&4&5\\ \hline Nombre d'habitants (en millions)&56,6& 58,2& 59,4& 60,8& 62,8\\ \hline \end{tabularx}} \item {\footnotesize On décide d'ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des moindres carrés.} \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ de régression de $y$ en $x$ est $y = \np{1.5}x + \np{55.1}$, les coefficients sont donnés à $10^{-1}$ près. %\medskip %\emph{Aucune justification n'est demandée.} La droite $\mathcal{D}$ est tracée dans le repère donné en annexe. \item {\footnotesize On suppose que l'évolution de la population active se poursuit selon le modèle donné par la droite d'ajustement obtenue à la question précédente.} Déterminons graphiquement une estimation du nombre d'habitants en 2010. En 2010 le rang est 6 donc lisons l'ordonnée du point de la droite $\mathcal{D}$ d'abscisse 6. Nous trouvons approximativement \np{64.1}. Nous pouvons estimer que le nombre d'habitants en France est d'environ 64,1 millions en 2010. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} {\footnotesize Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En 2000, Anne a reçu 80~\euro{} et Bastien 100~\euro. Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6~\euro{} et celles de Bastien de 3\,\%. Pour tout entier $n$, on note $U_{n}$ et $V_{n}$ les étrennes reçues par Anne et Bastien l'année $2000 + n$.\\ On a donc $U_{0} = 80$ et $V_{0} = 100$. } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculons les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en 2002. Anne a reçu $\begin{cases} \text{en } 2001 &U_1 = 80 + 6= 86\\\text{en } 2002&U_2 = 86 + 6 = 92 \end{cases}$ \hspace{2em} Bastien a reçu $\begin{cases} \text{en } 2001 &V_1= 100\times \np{1,03}=103\\\text{en } 2002&V_2 = 103\times \np{1.03}=\np{106,09} \end{cases}$ \item Passant d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $80$ et de raison $6$. Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n = u_0 + nr$. $U_{n} = 80 + 6n$. \item À une évolution de 3\,\%, correspond un coefficient multiplicateur de \np{1,03}. Chaque élément de la suite se déduit du précédent en le multipliant par \np{1,03} par conséquent la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.03} et de premier terme 100. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. Donc $V_n=\np{100}\times(\np{1.03})^n$. \item À l'aide de la table de la calculatrice, déterminons différentes valeurs de $U_n$ et $V_n$. Pour $n=7$, nous avons $U_7= 80+6\times 7=122$ et $V_7=100\times \np{1.03}^7\approx \np{122.99}$. Pour $n=8$, nous avons $U_8= 80+6\times 8=128$ et $V_8=100\times \np{1.03}^8\approx \np{126.68}$. En 2008, Anne reçoit pour la première fois davantage que Bastien. \end{enumerate} \item {\footnotesize On note $S_{n}$ et $T_{n}$ la somme des étrennes reçues per Anne et Bastien de l'année 2000 jusqu'à l'année $2000 + n$.\\ On a donc $S_{n} = U_{0}+U_{1} + \cdots + U_{n}$ et $T_{n} = V_{0} + V_{1}+ \cdots + V_{n}$.} Calculons $S_{15}$ et $T_{15}$. $S_{15} = U_{0} + U_{1} + \dots + U_{15} = (15 + 1) \times \dfrac{80 + 80+ 15\times 6}{2}=\np{2000}$. $T_{15} = V_{0} + V_{1} + \cdots + V_{15} = 100 \times \dfrac{ \np{1.03}^{16}-1}{\np{1.03}-1 }\approx\np{2015.69}$. \item On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur : \medskip {\tiny \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F\\ \hline\hline 1&$n$&Année& $U_{n}$&$V_{n}$&$S_{n}$&$T_{n}$\\ \hline 2& 0& 2000& 80& 100&80 & 100\\ \hline 3& 1& 2001&&&&\\ \hline 4& 2& 2002&&&&\\ \hline 5& 3& 2003&&&&\\ \hline $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$\\ \hline 17&15 &2015&&&&\\ \hline \end{tabularx} } \medskip \begin{enumerate} \item Une formule, à recopier sur la plage C4:C17, que l'on peut entrer dans la cellule C3 est : =\$C2+6 \item Une formule, à recopier sur la plage D4:D17, que l'on peut entrer dans la cellule D3 est : =\$D2*1,03 \item Une formule, à recopier sur la plage E4:E17, que l'on peut entrer dans la cellule E3 est : =\$E2+\$D3 \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage \vfill \begin{center} {\Large \textbf{ANNEXE À RENDRE}} \vspace{1cm } \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-0.5,55.75)(7,66) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=56](0,56)(-0.5,55.75)(7,66) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,56)(7,66) \uput[d](6.5,55.75){Rang} \rput{90}(-1,64){Nombre d'habitants en millions} \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,56.6)(2,58.2)(3,59.4)(4,60.8)(5,62.8) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0.6}{7}{x 1.5 mul 55.1 add} \def\Func{x 1.5 mul 55.1 add} \psset{arrowscale=2} \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 6 def \Func)(!6 /x 6 def \Func)(6,56) \uput[l](0.1,64.1){\tiny $\approx \np{64.1}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}