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%Merci à David Hamet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole, Antilles, Guyane 28 juin 2011},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles, Guyane}}
\rfoot{\small{28 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{\large Corrigé du brevet des collèges Métropole, 28 juin 2011}
\end{center}

\begin{document}

\section*{Activités numériques\hfill 12 points}

\subsection*{Exercice 1 }

Un dé cubique a 6 faces peintes: une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. 
	\begin{enumerate}
		\item Fréquence d'apparition de la couleur jaune: $\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$;
		\item Fréquence d'apparition de la couleur noire: $\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$.
	\end{enumerate}

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzInit[xmax=7,ymax=32,ystep=5]
%\tkzDrawX[noticks,nograd,label={}]
%\tkzAxeY[label={}]
%\tkzHLines{5,10,...,30}
%\tkzBardiagram[pos={rotate=40,anchor=east,outer sep=5pt},sp=1.2,noval]%
%{bleu/15,rouge/16,jaune/20,vert/19,noir/30}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
	 
\item On suppose que le dé est équilibré. 
	\begin{enumerate}
		\item Probabilité d'obtenir la couleur jaune: $\dfrac{1}{6}$;
		\item Probabilité d'obtenir la couleur noire: $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\item L'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2 s'explique de la manière suivante: le nombre de lancers n'est pas assez grand pour pouvoir faire que les fréquences soient assez proches des probabilités théoriques.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 2}

Trois exemples de bijoux sont donnés ci-dessous. Les triangles en verre sont représentés en blanc ; ceux en métal sont représentés en gris.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(10,4.5)
%\psgrid
\pspolygon(3,3.25)(4.25,3.25)(3.,4.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.75,3.25)(7,3.25)(5.75,4.5)
\def\motif{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.25,0)(1.25,1.25)}
\def\motifa{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.25,0)(0,0)(0,1.25)}
\psframe(0,0)(2.5,2.5)
\rput(3.6,2.9){verre}\rput(6.5,2.9){métal}
\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(1.25,1.25){\motif}}
\rput(1.25,-0.4){Bijou \no 1}
\psframe(3.5,0)(6,2.5)\rput(4.75,1.25){\motifa}\rput{180}(4.75,1.25){\motifa}
\psline(4.75,0)(6,1.25)\psline(3.5,1.25)(4.75,2.5)\rput(4.75,-0.4){Bijou \no 2}
\psframe(7.5,0)(10,2.5)\rput(8.75,1.25){\motif}\rput(7.5,1.25){\motif}\rput(7.5,0){\motif}
\psline(8.75,0)(10,1.25)\rput(8.75,-0.4){Bijou \no 3}
\end{pspicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzDefPoints{0/0/A,2/0/B,2/2/C,0/2/D,1/0/I,2/1/J,1/2/K,0/1/L,1/1/O}
%\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](A,L,O) \tkzDrawPolygon[fill=gray!50](I,B,O) 
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](J,C,O) \tkzDrawPolygon[fill=gray!50](K,D,O) 
%\tkzText(1,-.3){bijou \no 1}
%\tkzText[text width=4cm](1,-1.3){4 triangles en verre\\ 4 triangles en métal.}
%\end{tikzpicture}\hspace{1cm}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzDefPoints{0/0/A,2/0/B,2/2/C,0/2/D,1/0/I,2/1/J,1/2/K,0/1/L,1/1/O}
%\tkzDrawPolygon(A,B,C,D) \tkzDrawPolygon(I,J,K,L)
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](I,L,O) \tkzDrawPolygon[fill=gray!50](K,J,O) 
%\tkzText(1,-.3){bijou \no 2}
%\tkzText[text width=4cm](1,-1.3){6 triangles en verre\\ 2 triangles en métal.}
%\end{tikzpicture}\hspace{1cm}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzDefPoints{0/0/A,2/0/B,2/2/C,0/2/D,1/0/I,2/1/J,1/2/K,0/1/L,1/1/O}
%\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](A,I,O) \tkzDrawPolygon[fill=gray!50](O,J,C) 
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](L,O,K)
%\tkzDrawSegment(I,J)
%\tkzText(1,-.3){bijou \no 3}
%\tkzText[text width=4cm](1,-1.3){5 triangles en verre\\ 3 triangles en métal.}
%\end{tikzpicture}
%\end{center} 

Tous les triangles en métal ont le même prix. Tous les triangles en verre ont le même prix.

Le bijou \no 1 revient à 11~\eurologo ; le bijou \no 2 revient à 9,10~\eurologo.
 
Le prix de revient du bijou \no 3 est de $10,05$\eurologo; en effet:

Soit $x$ le prix d'un triangle en verre;

soit $y$ le prix d'un triangle en métal.

$x$ et $y$ sont deux nombres réels positifs.

Nous avons donc:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
4x+4y=11\\
6x+2y=9,10
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
4x+4y=11\\
12x+4y=18,20
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
4x+4y=11\\
8x=7,20\ (l_2-l_1)
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{l}
x=0,90\\
y=\frac{11-4\times 0,90}{4}=1,85
\end{array}\right.
\]

Ainsi, le prix de revient du bijou \no 3 est de: $5\times 0,90+3\times 1,85=10,05$~(\euro)

\subsection*{Exercice 3}
 
\begin{enumerate}
\item Deux affirmations sont données ci-dessous.
 
\textbf{Affirmation 1} Fausse
 
Pour tout nombre $a$ non nul: ${(2a + 3)}^2 ={(2a)}^2+2\times 2a\times 3+3^2= 4a^2+12a+9\not=4a^2 + 9$.
 
\textbf{Affirmation 2} Fausse
 
Augmenter un prix de 20\,\% revient à le multiplier par 1,2.

Effectuer une remise de 20\,\% sur ce nouveau prix revient à multiplier par 0,8.

Ainsi le prix initial est multiplié par $1,2\times 0,8=0,96$. Cela ne redonne pas le prix initial!
 
\item Deux égalités sont données ci-dessous.
 
\textbf{Égalité 1:} Vraie
\[
\dfrac{\sqrt{32}}{2} = \dfrac{\sqrt{16\times 2}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=  2\sqrt{2}
\]
 
\textbf{Égalité 2:} Fausse
\[
10^5 + 10^{-5} \not= 10^0;\ \text{mais}\ 10^5 \times 10^{-5} = 10^{5-5}=10^0=1
\]
\end{enumerate} 
\newpage
\section*{Activités géométriques\hfill 12 points}

\subsection*{Exercice 1 }
Le dessin ci-dessous représente une figure géométrique dans laquelle on sait que : 

\begin{itemize}
\item ABC est un triangle rectangle en B.
\item CED est un triangle rectangle en E.
\item Les points A, C et E sont alignés.
\item Les points D, C et B sont alignés.
\item AB = CB $= 2$ cm.
\item CD $= 6$ cm.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(0.3,3.5)(3.1,0.7)(7.8,5.4)(7.8,3.5)%DEAB
\rput{47}(3.1,0.7){\psframe(0.2,0.2)}\psframe(7.8,3.5)(7.6,3.7)
\uput[u](3.15,3.5){6~cm}\rput{90}(8.1,4.45){1,7~cm}
\uput[l](5.6,4.9){M}
%C(6,3.5)
\uput[u](7.8,5.4){A} \uput[dr](7.8,3.5){B} \uput[ul](6,3.5){C} \uput[u](0.3,3.5){D} \uput[dr](3.1,0.7){E}\uput[d](3.15,3.5){I}\uput[ul](6.9,4.45){I$'$}
\psdots(3.15,3.5)(6.9,4.45)
\psline(6.8,3.4)(7,3.6)\psline(6.9,3.4)(7.1,3.6)
\psline(7.7,4.3)(7.9,4.5)\psline(7.7,4.4)(7.9,4.6)
\psline(0.3,3.5)(7.8,5.4)%DA
\pscircle(3.15,3.5){2.85}\pscircle(6.9,4.45){1.35}
\rput(4,0.1){Le dessin n'est pas en vraie grandeur}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
%Le dessin en vraie grandeur:
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzDefPoints{0/0/D,6/0/C,8/0/B,8/2/A}
%\tkzDefPointBy[projection=onto A--C](D) \tkzGetPoint{E}
%\tkzDrawSegments(D,B A,B D,E A,E)
%\tkzLabelPoints[left](D)  \tkzLabelPoints[above right](A)\tkzLabelPoints[below right](B,E) \tkzLabelPoints[below right](C)
%\tkzMarkRightAngle(C,E,D) \tkzMarkRightAngle(A,B,C)
%\tkzMarkSegments[mark=||](C,B B,A)
%\tkzLabelSegment[above](D,C){$6$~cm} \tkzLabelSegment[below, rotate=90](A,B){$2$~cm}
%\tkzMarkAngle[size=0.5cm](B,C,A) \tkzMarkAngle[size=0.5cm](C,A,B) \tkzMarkAngle[size=0.5cm](D,C,E) 
%\tkzDefMidPoint(D,C) \tkzGetPoint{I} \tkzDrawCircle[diameter](D,C) \tkzLabelPoint[below](I){$I$}
%\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{I'} \tkzDrawCircle[diameter](A,C) \tkzLabelPoint[below right](I'){$I'$}
%\tkzInterCC(I,E)(I',B) \tkzGetPoints{M}{K}
%\tkzDrawPoints(I,I',M)
%\tkzLabelPoint[above](M){$M$}
%\tkzDrawSegments[dashed](D,A C,M)
%\tkzMarkRightAngle[fill=lightgray](D,M,C) \tkzMarkRightAngle[fill=lightgray](C,M,A)
%\end{tikzpicture}
%
%\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$: \ang{45}. En effet, le triangle ACB est un triangle rectangle isocèle, les deux angles à la base sont donc égaux et leur mesure est donc: $\dfrac{180 - 90}{2}= 45$.
		\item Mesure de l'angle $\widehat{\text{DCE}}$: \ang{45}. Les angles $\widehat{\text{ACB}}$ et $\widehat{\text{DCE}}$ sont opposés par leurs sommets.
	\end{enumerate}
\item Valeur approchée de DE à $0,1$~cm près:
\[
\sin 45=\frac{x}{6}\Longleftrightarrow x=6\times\sin 45=6\times\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\simeq 4,2
\] 
\item Le triangle DCE est rectangle en E. Le centre I du cercle circonscrit $\mathcal{C}$ au triangle DCE est le milieu de l'hypoténuse [DC]. De même, le centre I$'$ du cercle circonscrit $\mathcal{C}'$ au triangle ABC est le milieu de l'hypoténuse [AC].

 
\item Les cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont alignés. En effet:

Le point M se trouvant sur le cercle $\mathcal{C}$, le triangle MDC est rectangle en M ;

Le point M se trouvant sur le cercle $\mathcal{C}'$, le triangle MCA est rectangle en M ;

ainsi l'angle $\widehat{\text{DMA}}$ est un angle plat.
\end{enumerate}
\subsection*{Exercice 2}
 
\begin{enumerate}
\item Dessin d'un pavé droit en perspective cavalière:
\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzDefPoints{0/0/A,4/0/B,4/3/C,0/3/D,4.7/0.7/E,0/1.33/I,4/1.33/J}
%\tkzDefPointBy[translation=from B to E](C) \tkzGetPoint{F}
%\tkzDefPointBy[translation=from B to E](D) \tkzGetPoint{G}
%\tkzDefPointBy[translation=from B to E](A) \tkzGetPoint{H}
%\tkzDefPointBy[translation=from B to E](J) \tkzGetPoint{K}
%\tkzDefPointBy[translation=from B to E](I) \tkzGetPoint{L}
%\tkzDrawPolygon[fill=lightgray](A,B,J,I)
%\tkzDrawPolygon[fill=lightgray](I,J,K,L)
%\tkzDrawPolygon[fill=lightgray](B,J,K,E)
%\tkzDrawSegments(A,B B,E E,F F,G G,D D,C C,B A,D C,F)
%\tkzDrawSegments[dashed](A,H G,H H,E)
%
%\end{tikzpicture} 
\end{center}
\item Un aquarium a la forme d'un pavé droit de longueur 40~cm, de largeur 20~cm et de hauteur 30~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Volume $V$, en cm$^3$, de ce pavé droit:
		\[
V=40\times 20\times 30=\nombre{24000}~\text{cm}^3\ \text{soit}\ 24~\si{\litre}
		\]
	\end{enumerate} 
\item  Le volume, en cm$^3$, d'une boule de rayon $r$ est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. Ici $r = 15$.

Donc la bonne formule est: $\dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3$.

\begin{minipage}{.6\textwidth}
\item Un second aquarium contient un volume d'eau égal aux trois quarts du volume d'une boule de diamètre 30~cm, c'est-à-dire $V'=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{3}\times \pi \times 15^3=\pi \times 15^3\approx \nombre{10 602,875}\text{cm}^3$.
 
On verse son contenu dans le premier aquarium. Soit la hauteur $h$ de l'eau dans le premier aquarium. On a donc:
\[
40\times 20\times h\approx 10 602,875\Longleftrightarrow h\approx \frac{\np{10602,875}}{800}\approx13,25~\text{cm}\approx 133~\text{mm}
\]
\end{minipage}\hspace{1cm}
\begin{minipage}{.15\textwidth}
\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (2.795,1.515) ellipse (1.2 and 0.4);
%\draw (1.7,1.7) arc (130:410:1.7);
%\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}\end{enumerate}

\section*{Problème\hfill 12 points}

\begin{minipage}{.42\textwidth}
Une famille envisage d'installer une citerne de récupération d'eau de pluie. Pour pouvoir choisir une installation efficace, la famille commence par déterminer sa capacité à récupérer de l'eau de pluie. Elle estime ensuite ses besoins en eau avant de choisir une citerne.\hfill
\end{minipage}
\begin{minipage}{.55\textwidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,0)(6,6)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,2.4)(0,2.4)(0,0)(7,0)(7,2.4)(6,2.4)(6,1.6)(3.7,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.2,2.7)(1.2,2.3)(0.5,1.9)(0.5,0.3)(2.2,0.3)(2.2,1.9)(1.6,2.3)(1.6,2.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.3)(2.2,1.3)%contenudelacuve
\psline[linewidth=1pt](1.7,0.9)(1.7,1.6)(2.5,1.6)
\psline[linewidth=2.5pt](1.8,1.8)(2.5,1.8)
\psframe[framearc=0.3](2.5,1.6)(3,1.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,2.3)(3.4,4.9)(6.3,4.9)(6.3,2.3)(6,2.3)(6,4.7)(3.7,4.7)(3.7,2.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.1,2.1)(4.4,2.1)(4.4,2.3)(4.7,2.3)(4.7,2.1)(4.9,2.1)(4.9,1.9)(4.1,1.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.7,3)(6,3.2)
\pspolygon(5.35,3.3)(5.45,3.55)(5.55,3.55)(5.65,3.3)
\pswedge(5.5,3.75){0.2}{180}{0}\psframe(5.3,3.8)(5.7,4)
\psframe(4.3,3.3)(5,3.9)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4.3,3.9)(5,4)
\psline[linewidth=2.5pt](4.4,2.2)(3.8,2.2)(3.8,4.4)(5.5,4.4)(5.5,4)
\psline[linewidth=2.5pt](4.7,4.4)(4.7,4)
\pscircle(4.65,3.6){0.16}
\psline[linewidth=2.5pt](3,4.6)(3,4.4)(3.35,4.35)(3.35,2.1)(2.9,2.1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,4.7)(4.9,5.5)(6.7,4.8)(6.7,4.75)(4.9,5.45)(3,4.65)%to\^{\i}t
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.4,4.9)(6.2,4.9)(4.9,5.45)%sous-to\^{\i}t
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](3.9,4.9)(6,4.9)(4.9,5.3)%sous-to\^{\i}t
\psframe[framearc=0.3,fillstyle=solid,fillcolor=gray](2.6,1.9)(2.9,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.9,2.7)(1.9,2.8)
\psline[linewidth=1.5pt](4.1,2.05)(3.9,2.05)(3.9,1.7)(3,1.7)
\end{pspicture}
% \begin{tikzpicture}[scale=.75]
%\tkzDefPoints{3.7/2.4/A1,0/2.4/A2,0/0/O,7/0/A3,7/2.4/A4,6/2.4/A5,6/1.6/A6,3.7/1.6/A7}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](A1,A2,O,A3,A4,A5,A6,A7)
%\tkzDefPoints{1.2/2.7/C1,1.2/2.3/C2,0.5/1.9/C3,0.5/0.3/C4,2.2/0.3/C5,2.2/1.9/C6,1.6/2.3/C7,1.6/2.7/C8}
%\tkzDrawPolygon[fill=white](C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8)
%\tkzDefPoints{2.2/1.3/B1,2.2/0.3/B2,0.5/1.3/B3}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray!50](B1,B2,C4,B3)
%\tkzDefPoints{2.5/1.6/D1,3.1/1.6/D2,3.1/1.9/D3,2.5/1.9/D4}
%\tkzDrawPolygon[rounded corners](D1,D2,D3,D4)
%\tkzDefPoints{3.4/2.3/D1,3.4/4.9/D2,6.3/4.9/D3,6.3/2.3/D4,6/2.3/D5,6/4.7/D6,3.7/4.7/D7,3.7/2.3/D8}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8)
%\tkzDefPoints{4.1/2.1/E1,4.4/2.1/E2,4.4/2.3/E3,4.7/2.3/E4,4.7/2.1/E5,4.9/2.1/E6,4.9/1.9/E7,4.1/1.9/E8}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,E8)
%\tkzDefPoints{3.7/3/F1,6/3/F2,6/3.2/F3,3.7/3.2/F4}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](F1,F2,F3,F4)
%\tkzDefPoints{5.35/3.3/G1,5.45/3.55/G2,5.55/3.55/G3,5.65/3.3/G4,5.5/3.75/G5,4.3/3.3/G6,5/3.3/G7,5/3.9/G8,4.3/3.9/G9}
%\tkzDrawPolygon(G1,G2,G3,G4) \tkzDrawPolygon(G6,G7,G8,G9)
%\tkzDrawArc[R](G5,0.2)(180,0)
%\tkzDefPoints{5.3/3.8/P1,5.7/3.8/P2,5.7/4/P3,5.3/4/P4}
% \tkzDrawPolygon(P1,P2,P3,P4)
%\tkzDefPoints{4.3/3.9/H1,5/3.9/H2,5/4/H3,4.3/4/H4,4.65/3.6/H5}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](H1,H2,H3,H4)
%\tkzDrawCircle[R](H5,0.16 cm)
%\tkzDefPoints{3/4.7/T1,4.9/5.5/T2,6.7/4.8/T3,6.7/4.75/T4,4.9/5.45/T5,3/4.65/T6}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](T1,T2,T3,T4,T5,T6)
%%\tkzDefPoints{3.4/4.9/T7,6.2/4.9/T8,4.9/5.45/T9}
%%\tkzDrawPolygon[fill=gray](T7,T8,T9)
%\tkzDefPoints{2.6/1.9/M1,2.9/1.9/M2,2.9/2.5/M3,2.6/2.5/M4}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](M1,M2,M3,M4)
%\tkzDefPoints{0.9/2.7/N1,1.9/2.7/N2,1.9/2.8/N3,0.9/2.8/N4,5.3/3.75/P5,5.7/3.75/P6}
%\tkzDrawPolygon[fill=gray](N1,N2,N3,N4) \tkzDrawSegment(P5,P6)
%
%\draw[line width=1pt](1.7,0.9)--(1.7,1.6)--(2.6,1.6);
%\draw[line width=2.5pt](1.8,1.8)--(2.5,1.8);
%\draw[line width=2.5pt](4.4,2.2)--(3.8,2.2)--(3.8,4.4)--(5.5,4.4)--(5.5,4);
%\draw[line width=2.5pt](4.7,4.4)--(4.7,4);
%\draw[line width=2.5pt](3,4.6)--(3,4.4)--(3.35,4.35)--(3.35,2.1)--(2.9,2.1);
%\draw[line width=1.5pt](4.1,2.05)--(3.9,2.05)--(3.9,1.7)--(3.1,1.7);
%\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\subsection*{Partie 1 - La capacité à recueillir de l'eau de pluie}

\begin{enumerate}
\item Dans cette partie il s'agit de calculer le volume d'eau de pluie que cette famille peut espérer recueillir chaque année. Dans la ville où réside cette famille, on a effectué pendant onze années un relevé des précipitations. Ces relevés sont donnés dans le tableau suivant.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Années&1999& 2000& 2001& 2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\ \hline 
Précipitations en litres par  mètre carré (\si{\litre\per\metre^{2}}&\nombre{1087}&990 &868&850&690&616&512&873& 810& 841& 867\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item C'est en 1999 qu'il y a eu le plus de précipitations.
\item En 2009, il est tombé 867~\si{\litre\per\metre^{2}}, soit $867\times 5=\np{4335}$~\si{\litre} pour 5~m$^2$.
\end{enumerate}
\item Sur les onze années présentées dans le tableau, la quantité moyenne d'eau tombée en une année par m$^2$ est:
\[
\overline{m}=\frac{1087+990+868+850+690+616+512+873+810+841+867}{11}\simeq 818,55
\]

\item Surface au sol d'une maison ayant la forme d'un pavé droit (surmonté d'un toit) de 13,9~m de long, 10~m de large et 6~m de haut: $13,9\times 10=139~(\text{m}^2$).
\item Une partie de l'eau de pluie tombée sur le toit ne peut pas être récupérée. La famille utilise une formule pour calculer le volume d'eau qu'elle peut récupérer:

$V = P \times S \times\ 0,9$\hfill
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
V : volume d'eau captée en litre,

$P$ : précipitations en litre par mètre carré,

$S$ : surface au sol en mètre carré.

Volume récupéré en litres pour l'année 2009:
\[
V=867\times 139\times 0,9=108 461,7~(\si{\litre}).
\]
 
Soit 108~m$^3$ à 1 m$^3$ près par défaut.

\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0.8)--(4.3,0.8)--(4.3,3)--(0,3)--cycle;
%\draw (4.3,0.8)--(6,1.3)--(6,3.5)--(5.3,4.3)--(4.3,3);
%\draw (5.3,4.3)--(1.2,4.3)--(0,3);
%\draw[line width=0.5pt,<->](0,0.5)--(4.3,0.5) node[fill=white,midway] {$13,9$~m};
%\draw[line width=0.5pt,<->](4.3,0.5)--(6,1) node[fill=white,sloped, midway] {10~m};
%\draw[line width=0.5pt,<->](5.3,1.1)--(5.3,4.3) node[fill=white,midway,sloped] {6~m};
%
%\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{multicols}

\subsection*{Partie II - Les besoins en eau}

La famille est composée de quatre personnes.
 
La consommation moyenne d'eau par personne et par jour est estimée à 115 litres.
 
\begin{enumerate}
\item Chaque jour, l'eau utilisée pour les WC est en moyenne de 41~litres par personne. 

Le pourcentage $w$ que cela représente par rapport à la consommation moyenne en eau par jour d'une personne est:
\[
41=\frac{w}{100}115\Longleftrightarrow w=\frac{41}{115}\times 100\simeq 35,65\%
\]

\item On estime que 60\,\% de l'eau consommée peut être remplacée par de l'eau de pluie, c'est-à-dire:
$\frac{60}{100}115=69~(\si{\litre})$ par jour et par personne, soit $69\times 4 = 276~\si{litre}$s par jour pour la famille.

Les besoins en eau de pluie de toute la famille pour une année de 365 jours sont d'environ 100~m$^3$:
\[
276\times 365=\nombre{100 740}~(\si{\litre}) =100,740~(\si{\metre^3})
\]

\item L'eau de pluie récupérée en 2009 (108~m$^3$) n'aurait pas pu suffire aux besoins en eau de pluie de la famille.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie III - Le coût de l'eau}
 
\begin{enumerate}
\item Le graphique donné en \textbf{ANNEXE},  représente le coût de l'eau en fonction de la quantité consommée.
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce graphique, une valeur approchée du prix payé pour 100~m$^3$ d'eau est: 250\eurologo.
		\item On note $p(x)$ le prix en euros de la consommation pour $x$ mètres cube d'eau. La représentation graphique de la fonction $p$ est une droite passant par l'origine, $p$ est donc une fonction linéaire ($y=ax$). Elle passe par le point $(20;50)$, donc: $50=20\times a\Longleftrightarrow a=2,5$.
		
Ainsi: $p(x)=2,5x$.


	\item Au prix de la consommation vient s'ajouter le prix de l'abonnement. L'abonnement est de 50~euros par an.
		
		Représentation de la fonction donnant le prix en euros, abonnement inclus, en fonction du volume d'eau consommé en mètres cube (\textcolor{blue}{en bleu sur le graphique}).
	\end{enumerate} 
\item La famille espère économiser 250~euros par an grâce à la récupération de l'eau de pluie. Elle achète une citerne 910~euros. Au bout de 4 d'années les économies réalisées pourront compenser l'achat de la citerne:
\[
\frac{910}{250}=3,64
\] 
\end{enumerate}

\newpage

%\begin{center}
%
%\textbf{\Large ANNEXE}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{à rendre avec la copie}
%\end{center}
%\vspace{1cm}
%
%\begin{flushleft}
%\textbf{Problème}
%\end{flushleft}
%
%
\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[yscale=2,xscale=1.3]
%\tkzInit[xmax=160,ymax=400,xstep=20,ystep=50]
%\tkzGrid[color=lightgray!50]
%\tkzAxeXY[label={}]
%\tkzFct[domain=0:140]{2.5*\x}
%\tkzText(80,-25){quantité d'eau en m$^3$}
%\tkzText(80,420){Coût de l'eau}
%\tkzText[rotate=90](-20,200){montant en euros}
%\tkzDefPoint(100,250){A}
%\tkzPointShowCoord[verytick](A)
%\tkzFct[domain=0:140,color=red]{2.5*\x+50}
%
%\end{tikzpicture}
\begin{center}

\textbf{\Large ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Problème}
\end{flushleft}

%\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.065cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-20,-75)(160,450)
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(160,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=50](0,0)(160,400)
\rput(80,-30){quantité d'eau en m$^3$}
\rput{90}(-18,200){montant en euros}\rput(80,430){Coût de l'eau}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](140,350)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}