\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,graphicx} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Stéphane Boucher et Olivier Mauras, merci à eux. % Corrigé par Lognonne et Vergès \usepackage{geometry} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat ES Liban}, pdftitle = {31 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{\,e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small 31 mai 2016} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Liban ~\decofourright\\[5pt]31 mai 2016}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-7,-4)(5,6) \def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600} \def\g{5*x^3/27+x^2-1} \def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1} \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-4)(5,6) \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.75pt, linecolor=blue]{-7}{-3}{\f} \psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-3}{0}{\g} \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\h} %\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-7,5)(-6,4.6)(-5,4.25)(-4,3.8)(-3,3)(-2,1.5)(-1,-0.2)(0,-1)(1,-0.85)(2,-0.45)(3,0.2)(4,1)(5,1.95) \psline[linewidth=1pt](-7,-1)(5,-1) \psline[linewidth=1pt](-6,6)(4,-4) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} Par lecture graphique du coefficient directeur des tangentes, on obtient $f'(0)=0$ car la tangente est horizontale et $f'(-3)=-1$. La bonne réponse est donc \textbf{la réponse c}. \item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$. La fonction $ g$ est un produit de fonctions dérivables, on pose $ u(x)=x+1$ et $v(x)=\ln x$ d'où $u'(x) =1 $ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$. Par suite, on aura : $g'(x)=1 \times \ln x +(x+1) \times \dfrac{1}{x}=\ln x +\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}+\ln x = 1+\dfrac{1}{x}+\ln x$. La bonne réponse est \textbf{la réponse d}. \item On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~7] et représentée par la courbe ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,10.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(9,10) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(9,10.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,10)(1,8)(2,6)(3,4.1)(4,2.25)(5,1)(6,0.75)(7,3.45) \pspolygon[linecolor=red,fillstyle=vlines,hatchcolor=red](4,0)(4,2)(3,2)(3,4)(2,4)(2,6)(1,6)(1,8)(0,8)(0,0) \pspolygon[linecolor=green,fillstyle=vlines,hatchangle=-45,hatchcolor=green](4,0)(4,2)(3,2)(3,4)(2,4)(2,6)(1,6)(1,8)(0,8)(0,10)(1,10)(1,8)(2,8)(2,6)(3,6)(3,4)(4,4)(4,2)(5,2)(5,0) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ x dup mul 0.2083 mul x 2.417 mul sub 10 add} \uput[ul](6.6,1.4){\blue $\mathcal{C}_h$} \end{pspicture} \end{center} La fonction $h$ étant positive sur $[0\,;\,5]$, l'intégrale représente l'aire située entre la courbe $\mathcal{C}_h$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=5$. En encadrant cette aire par un nombre entier de \og carreaux \fg{}, soit la zone hachurée en rouge et la zone hachurée en rouge et vert, on obtient $20 < \displaystyle\int_0^5 h(x)\:\text{d}x < 30$ soit \textbf{la réponse b}. \item On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$ définie sur $[0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3.1,3.5) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3.1,3.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7](0,-1.5)(3.1,3.5) %\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{x dup mul 4 mul 11 x mul sub 6 add} \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,-0.1)(0.5,-0.3)(1,-1)(1.35,-1.2)(1.6,-1)(2,0)(2.5,3.5) \uput[l](2.45,3.2){\blue $\mathcal{C}_{k''}$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} Par lecture graphique, $k''(x) \leqslant 0$ sur $[0~;~2]$. Si la dérivée seconde est négative, la fonction est concave; la fonction $k$ sera donc concave sur $[0~;~2]$ et donc sur $[1~;~2]$ soit \textbf{la réponse a}. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip %\emph{Les parties A et B sont indépendantes} % %\medskip \textbf{Partie A} \medskip Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de lycéens. Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en possèdent un. On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ; \item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ; \item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} %\medskip % %\emph{Rappel des notations} % %\medskip % %Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \medskip \begin{enumerate} \item D'après les données du texte, $p(C)=0,6$, $p(L)=0,4$, $p(T)=0,8$ et $p_C(T) = 0,7$. \item Soit sous forme d'un arbre de probabilités: \begin{center} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree{\TR{$C$}\naput{$0,6$}} { \TR{$T$}\naput{$0,7$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,3$} } \pstree{\TR{$L$}\nbput{$0,4$}} { \TR{$T$}%\naput{$0,95$} \TR{$\overline{T}$}%\nbput{$0,05$} } } \end{center} \item On cherche $p(C \cap T)=p(C) \times p_C(T)=0,6 \times 0,7 = 0.42$ \item On cherche $p_T(C)=\dfrac{p(C \cap T)}{p(C)}=\dfrac{0,42}{0,8}=\np{0.525}$ \item \begin{enumerate} \item En utilisant les probabilités totales, on a $p(T)=p(C \cap T) +p(L \cap T)=0.8$ donc $p(T \cap L)=p(T)-p(C \cap T)=0,8-0,42=0,38$ et par suite, $p_L(T)=\dfrac{p(L \cap T)}{p(L)}=\dfrac{0,38}{0,4}=0,95$. \item On peut donc compléter l'arbre construit dans la question 2. \begin{center} \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}} { \pstree{\TR{$C$}\naput{$0,6$}} { \TR{$T$}\naput{$0,7$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,3$} } \pstree{\TR{$L$}\nbput{$0,4$}} { \TR{$T$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,05$} } } \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ \np{2500} par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma = 650$. \smallskip \emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.} \medskip \begin{enumerate} \item On calcule $p(\np{2000} \leq X \leq \np{3000})\approx \np{0,558}$ \item $p(X \geqslant \np{4000})\approx \np{0,011}$. \item On trouve $a \approx \np{3047}$. 80 \% des adolescents envoient moins de \np{3047} SMS par mois. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L} \medskip L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $u_1=1,12 \times 75-6=78$. En 2015, l'entreprise contractera 78 contrats d'entretien. \item Une augmentation de 12\% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,12 soit $1,12 u_n$ auquel il faut enlever les 6 contrats résiliés. On aura donc $u_{n+1}=1,12u_n-6$. \end{enumerate} \item L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel. On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline L1& Variables : & $n$ est un nombre entier naturel\\ L2& &$U$ est un nombre réel\\ L3& &Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\ L4& &Affecter à $U$ la valeur 75\\ L5& &Tant que $U \leqslant 100$ faire\\ L6& &$n$ prend la valeur $n + 1$\\ L7& &$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\ L8& &Fin Tant que\\ L9& Sortie : &Afficher \ldots \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On veut afficher l'année à partir de laquelle l'entreprise devra embaucher; comme $n$ correspond à l'année $2015+n$, la ligne L9 sera : Afficher $2015+n$ \item On obtient le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Valeur de $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline Valeur de $U$ & 75 & 78 & 81& 85& 89& 94& 99& 105 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item L'algorithme affichera $2015+7$ soit 2022. L'entreprise devra embaucher en 2022. \end{enumerate} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$. On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$, donc $u_n=v_n+50$. \begin{enumerate} \item $v_{n+1}=u_{n+1}-50=1,12u_n - 6-50=1,12 \left(v_n+50\right) -56=1,12 v_n + 56 - 56 = 1,12 v_n$ $v_0=u_0-50=75-50=25$ La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1,12$ et de premier terme $v_0=25$. \item On aura alors, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n=25\times 1,12^n$. Comme $u_n=v_n+50$, on aura, pour tout $n$, $u_n=25 \times 1,12^n+50$ \item On résout l'inéquation $u_n >100$: \begin{center} $\begin{array}{l !{\iff} l l} u_n >100 & 25\times 1,12^n +50 >100 & \\ & 25\times 1,12^n > 50 & \\ & 1,12^n > 2 & \\ & \ln(1,12^n) > \ln(2) & \text{croissance de la fonction ln sur } ]0\,;\,+\infty[\\ & n \times \ln(1,12) > \ln(2) & \text{propriété de la fonction ln}\\[3pt] & n > \dfrac{\ln(2)}{\ln(1,12)} & \text{division par } \ln(1,12)>0\\[5pt] \end{array}$ \end{center} Or $\dfrac{\ln(2)}{\ln(1,12)} \approx 6,11$ donc pour $n\geqslant 7$, $u_n>100$. \item On retrouve l'affichage de l'algorithme, soit l'année $2015+7$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3\hfill 5 points} \textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées. C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix possibles : soit ils s'occupent eux-mêmes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant. Le patron de cette entreprise remarque que chaque année : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]12\,\% des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus ; \item[$\bullet~~$]20\,\% de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $L$ où : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $C$ est l'évènement \og Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$L$ est l'évènement \og Le particulier effectue lui-même l'entretien de sa piscine \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$c_n$ la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année $2015 + n$ ; \item[$\bullet~~$]$l_n$ la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l'année $2015 + n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On note $P_n = \begin{pmatrix} c_n& l_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$. Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au moins 35\,\% des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item %Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition %associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre $C$ et $L$. L'énoncé montre que $P_{L_n}\left(C_{n+1}\right) = 0,12$ et donc $P_{L_n}\left(L_{n+1}\right) = 1 - 0,12 = 0,88$, puis que $P_{C_n}\left(L_{n+1}\right) = 0,20$ et donc $P_{C_n}\left(C_{n+1}\right) = 1 - 0,20 = 0,80$. D'où le graphe probabiliste : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,2.1) \cnodeput(1,1){A}{C} \cnodeput(6,1){B}{L} \nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,8} \nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,88} \ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,2} \ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,12} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que l'état stable de ce graphe est $P = \begin{pmatrix}0,375& 0,625\end{pmatrix}$. La matrice de transition $M$ de ce graphe est : $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,12&0,88\end{pmatrix}$. Les termes de cette matrice ne sont pas nuls, donc l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}c&l\end{pmatrix}$ vérifiant l'équation : $P = P \times M$ soit $\left\{\begin{array}{l c l} c&=&0,8c + 0,12l\\ l&=&0,2c + 0,88l \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 0,2c&=& 0,12l\\ 0,12l&=&0,2c \end{array}\right.$ Mais on a de plus $c + l = 1$, donc $c$ et $l$ vérifient le système: $\left\{\begin{array}{l c l} 0,2c&=& 0,12l\\ c + l&=&1 \end{array}\right. \implies 0,2(1 - l) = 0,12l \iff 0,2 - 0,2l = 0,12l \iff 0,2 = 0,32l \iff l = \dfrac{0,2}{0,32} = 0,625$, puis $c = 1 - 0,625 = 0,375$. Donc l'état stable est $P = \begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$. \item %Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif. L'état stable montre qu'au bout de plusieurs années l'entreprise aura 37,5\,\% de propriétaires de piscines sous contrat, soit plus que l'objectif de 35\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En 2015, on sait que 15\,\% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,15& 0,85\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68 c_n + 0,12$. Pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}c_{n+1}& l_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_n& l_n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8& 0,2\\0,12&0,88\end{pmatrix}$ donc $c_{n+1} = 0,8c_n + 0,12 l_n$ Or, pour tout $n$, $c_n+l_n=1$ donc, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1} = 0,8c_n + 0,12 (1-c_n) = 0,8c_n + 0,12 - 0,12 c_n = 0,68 c_n + 0,12$ \item À l'aide d'un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d'années l'entreprise PiscinePlus atteindra son objectif : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline L1& Variables : & $n$ est un nombre entier naturel\\ L2& &$C$ est un nombre réel\\ L3& Traitement :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ L4& &Affecter à $C$ la valeur $0,15$\\ L5& &Tant que $C < 0,35$ faire\\ L6& &\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ L7& &\hspace{0,5cm} $C$ prend la valeur $0,68C + 0,12$\\ L8& & Fin Tant que\\ L9& Sortie : & Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On complète le tableau ci-dessous pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus: \hfill \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Valeur de $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Valeur de $C$ &0,15 &0,222 &0,271 &0,304 &0,327 &0,342 &0,353\\ \hline \end{tabularx} \hfill{} \item %Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. À la fin de l'exécution on lit $n = 6$, soit en 2021 année où l'objectif sera atteint. \end{enumerate} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68c_n + 0,12$ et que $c_0 = 0,15$. On pose, pour tout entier naturel $n,\: v_n = c_n - 0,375$, donc $c_n=v_n+0,375$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. On a pour tout entier naturel $n$: $v_{n+1} = c_{n+1} - 0,375 = 0,68c_n + 0,12 - 0,375 = 0,68(v_n+0,375) - 0,255 = 0,68 v_n + 0,255 - 0,255 \\ \phantom {v_{n+1}} = 0,68v_n$ $v_0=c_0-0,375 = 0,15-0,375 = -0,225$ Donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,68$ et de premier terme $v_0 = - 0,225$. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_n = - 0,225 \times 0,68^n + 0,375$. \item %Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $c_n \geqslant 0,35$. On résout dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $c_n \geqslant 0,35$: \begin{center} $\begin{array}{l !{\iff} l l} c_n \geqslant 0,35 & -0,225 \times 0,68^n + 0,375 \geqslant 0,35 & \\ & 0,025 \geqslant 0,225 \times 0,68^n & \\[3pt] & \dfrac{0,025}{0,225} \geqslant 0,68^n & \\[7pt] & \dfrac{1}{9} \geqslant 0,68^n & \\[7pt] & \ln \dfrac{1}{9} \geqslant \ln \left (0,68^n\right ) & \text{croissance de la fonction ln sur } ]0\,;\,+\infty[ \\[7pt] & \ln \dfrac{1}{9} \geqslant n \times \ln \left (0,68\right ) & \text{propriété de la fonction ln}\\[7pt] & \dfrac{\ln \dfrac{1}{9} }{\ln \left (0,68\right )} \leqslant n & \text{division par } \ln(0,68) < 0 \end{array}$ \end{center} \medskip Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{9}}{\ln 0,68} \approx 5,7$; il faut donc $n \geqslant 6$. \item %Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? On retrouve le fait qu'au bout de 6 ans l'objectif de l'entreprise (35\,\% de contrats chez les propriétaires de piscine) sera atteint. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~13] par : $f(x) = - 2x + 20 - \text{e}^{-2x + 10}$. \textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item $f$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables. La dérivée de la fonction $\text{e}^{-2x+10}$ est $-2\text{e}^{-2x+10}$ (forme $e^{u(x)}$); on aura donc $f'(x) = -2-(-2\text{e}^{-2x+10})=-2+2\text{e}^{-2x+10}=2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right)$. \item \begin{enumerate} \item $f'(x) \geqslant 0 \iff - 1 + \text{e}^{-2x+10}\geqslant 0 \iff \text{e}^{-2x+10}\geqslant 1 \iff -2x+10\geqslant\ln 1 \iff 10 \geqslant 2x \iff 5 \geqslant x$ \item On a alors: \begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit{$x$/1, signe de $f'(x)$/1,variation de $f$/2}{ 3,5,13 } % \tkzTabLine {,+,z,-,} % \tkzTabVar{ -/$ 14-\text{e}^4$,+/$9$,-/$-6-\text{e}^{-16}$ } % \end{tikzpicture} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 3 & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 13 \\ \hline f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{9} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{14-\e^{4}} & & & & \Rnode{min2}{-6-\e^{-16}} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} \item Une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-2x+10}$ est $x \longmapsto -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+10}$. Une primitive de la fonction $f$ sera la fonction $F$ définie par: $F(x)=-x^2+20x+\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x+10}$ On a alors: $\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x = \left [F(x)\rule{0pt}{10pt}\right ]_3^{13}=F(13)-F(3)=-13^2+20\times13+\dfrac{1}{2}e^{-2\times13+10}-\left(-3^2+20\times3+\dfrac{1}{2}e^{-2\times3+10}\right)\\ \phantom{\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x} = 40+\dfrac{1}{2}e^{-16}-\dfrac{1}{2}e^4\approx\np{12,701}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Application} \medskip Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3~;~13] par la fonction $f$. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le tableau de variation, il faut que l'entreprise fournisse 500 toboggans et son bénéfice sera de \np{9000} euros. \item On utilise la valeur moyenne de la fonction $f$ soit $\dfrac{1}{13-3}\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x=\dfrac{1}{10}40+\dfrac{1}{2}\text{e}^{-16}-\dfrac{1}{2}\text{e}^4\approx\np{1,270}$. Le bénéfice moyen sera donc de \np{1270} euros. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Rentabilité} \medskip Le nénéfice est représenté par la fonction $f$; on va chercher pour quelles valeurs de $x$, $f(x)>0$. Pour cela, il faut déterminer les solutions de l'équation $f(x)=0$. %La fonction $f$ est continue, et en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur les intervalles $[3;5]$ et $[5;13]$, intervalles sur lesquels la fonction est monotone et change de signe, on obtient deux solutions $\alpha$ et $\beta$. $14-\e^{4} <0$ et $-6-\e^{-16}<0$; on complète le tableau de variation précédent: \begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit{$x$/1, signe de $f'(x)$/1,variation de $f$/2}{ 3,5,13 } % \tkzTabLine {,+,z,-,} % \tkzTabVar{ -/$14-\text{e}^4$,+/$9$,-/$-6-\text{e}^{-16}$ } % \tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{0} % \tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$\beta$}{0} % \end{tikzpicture} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 3 & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 13 \\ \hline %f'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ %\hline & & & \Rnode{max}{9} & & \\ f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{14-\e^{4}} & & & & \Rnode{min2}{-6-\e^{-16}} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2} \rput*(-6.7,0.9){\Rnode{zero}{\blue 0}} \rput(-6.7,2.4){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero} \rput*(-2.6,0.9){\Rnode{zero2}{\red 0}} \rput(-2.6,2.4){\Rnode{beta}{\red \beta}} \ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} D'après le tableau de variation, il existe deux nombres $\alpha$ et $\beta$ solutions de l'équation $f(x)=0$. % En utilisant la calculatrice, on obtient : % $\alpha \approx 3,8$ et $\beta \approx 10$. $\left. \begin{array}{@{} l} f(3) \approx -40,6 <0\\ f(4) \approx 4,6 >0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in [ 3 \,;\, 4 ]$ $\left. \begin{array}{@{} l} f(3,7) \approx -0,86 <0\\ f(3,8) \approx 1,58 >0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in [ 3,7 \,;\, 3,8 ]$ $\left. \begin{array}{@{} l} f(3,73) \approx -0,14 <0\\ f(3,74) \approx 0,09 >0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \alpha \in [ 3,73 \,;\, 3,74 ]$ et $\left. \begin{array}{@{} l} f(9) \approx 2 > 0\\ f(10) \approx \np{-0,00005}<0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \beta \in [ 9 \,;\, 10 ]$ $\left. \begin{array}{@{} l} f(9,9) \approx 0,2 > 0\\ f(10) \approx \np{-0,00005}<0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \beta \in [ 9,9 \,;\, 10,0 ]$ $\left. \begin{array}{@{} l} f(9,99) \approx 0,0 > 0\\ f(10) \approx \np{-0,00005}<0 \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow \beta \in [ 9,99 \,;\, 10,00 ]$ L'entreprise doit donc fabriquer entre \np{374} et \np{999} toboggans pour être rentable. \end{document}