%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,tkz-tab} \usepackage[tikz]{bclogo} \usetikzlibrary{arrows,shadows,decorations.pathmorphing,patterns} \usepackage{xkeyval,ifthen,numprint,tkz-arith} \usepackage{multicol} \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3.5cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \tikzset{math3d/.style={x={(1cm,0cm)},y={(0cm,1cm)},z={(-.5cm,-.5cm)}}} %Corrigé et tapuscrit Michel Fréchet \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion~\decofourright\\[4pt]29 juin 2010}} \end{center} %\usepackage{fancybox} % Tapuscrit Michel Fréchet %% et Isabelle Faure pour l'exercice de spécialité \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{La Réunion}} \rfoot{\small{29 juin 2010}} \section*{Exercice 1 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 1 + \ln (1 + x).\] On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthononnal \Oij. On note $D$ la droite d'équation $y = x$. \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sens de variation de la fonction $f$: \[ f'(x)=\frac{1}{1+x}>0\ \text{sur}\ ]-1~;~+ \infty[ \] La fonction $f$ est donc croissante sur \Oij. \item Limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition: \[ \lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to -1^+}1+x=0^+\text{et}\ \lim_{x\to -1^+}\ln(1+x)=-\infty \] \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}1+x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to+\infty}\ln(1+x)=+\infty \] Tableau de variations de $f$: \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit% {$x$ /.5, $f'(x)$ /.5, $f(x)$ /1}% {$-1$,$+\infty$}% \tkzTabLine{,+,}% \tkzTabVar{-/ $-\infty$,+/ $+\infty$} \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \item On désigne par g la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par \mbox{$g(x) = f(x) - x$.} \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \to -1} g(x)=-\infty$: \[ \lim_{x\to -1}g(x)=\lim_{x\to -1}1-x+\ln(1+x)=-\infty\ \text{car}\ \lim_{x\to -1^+}1+x=0^+,\ \lim_{x\to -1^+}\ln(1+x)=-\infty\ \text{et}\ \lim_{x\to-1}1-x=2 \] \item \[ \lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}=0\ \text{car}\ \lim_{x\to+\infty}1+x=+\infty\ \text{et}\ \lim_{X \to + \infty} \frac{\ln X}{X}=0 \] $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1+x)\left(\frac{1-x}{1+x}+\frac{\ln(1+x)}{1+x}\right)=-\infty\ \text{car}\ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x} = 0$ $\text{et} \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1-x}{1+x}= - 1$. \item Sens de variation de la fonction $g$ \[ g'(x)=f'(x)-1=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}\ \text{du signe de $-x$ sur}\ ]-1~;~+ \infty[ \] La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1;0[$ et strictement décroissante sur $]0;~+ \infty[$. Elle possède une tange,nte horizonate au point d'abscisse $0$. Tableau de variations de la fonction $g$: \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit% {$x$ /.5, $f'(x)$ /1, $f(x)$ /1.5}% {$-1$,$0$,$+\infty$}% \tkzTabLine{,+,z,-,}% \tkzTabVar{-/ $-\infty$,+/ $1$,-/ $-\infty$} \tkzTabVal[draw]{1}{2}{.6}{$\alpha$}{$0$} \tkzTabVal[draw]{2}{3}{.4}{$\beta$}{$0$} \end{tikzpicture} \end{center} \item Sur l'intervalle $]-1~;~0[$, la fonction $g$ est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de $]-1~;~0[$ sur $]-\infty~;~1[$. Or $0$ appartient à l'ensemble d'arrivée $]-\infty~;~1[$. Donc, $0$ possède un unique antécédent, noté $\alpha$ dans $]-1~;~0[$. Sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, la fonction $g$ est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement décroissante. Elle réalise donc une bijection de $]0~;~+\infty[$ sur $]-\infty~;~1[$. Or $0$ appartient à l'ensemble d'arrivée $]-\infty~;~1[$. Donc, $0$ possède un unique antécédent, noté $\beta$ dans $]0~;~+\infty[$. De plus: \[ \left\lbrace\begin{array}{l} g(2)\simeq \np{0,098\,6} > 0\\ g(3)\simeq -0,614<0 \end{array}\right.\Longrightarrow 2 \leqslant \beta \leqslant 3 \] \item Signe de $g(x)$: \begin{itemize} \item $-1 < x \leqslant \alpha \Longrightarrow g(x) \leqslant g(\alpha)=0$.\hfill (La fonction $g$ est croissante sur $[-1;\alpha[$). \item $\alpha \leqslant x \leqslant 0 \Longrightarrow g(\alpha)=0 \leqslant g(x)$.\hfill (La fonction $g$ est croissante sur $[\alpha;0]$). \item $0 \leqslant x \leqslant \beta \Longrightarrow g(x) \geqslant 0=g(\beta)$.\hfill (La fonction $g$ est décroissante sur $[0;\beta[$). \item $x\geqslant \beta \Longrightarrow g(x) \leqslant 0=g(\beta)$.\hfill (La fonction $g$ est décroissante sur $[\beta;+\infty[$). \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture} \shorthandoff{:}; \tkzTabInit[lgt=5]{$x$ / .7, Signe\ de $g(x)$ /.7, Position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $D$/ .7}% {$-1$, $\alpha$, $\beta$ , $+\infty$}% \tkzTabLine{, - , z , + , z , - , }% \tkzTabLine{ , \mathcal{C}_{f} \prec (D) , A, \mathcal{C}_{f} \succ (D) , B, \mathcal{C}_{f} \prec (D) , } \end{tikzpicture} \end{center} Position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$: \begin{itemize} \item $\mathcal{C}_{f}$ est située au dessus de la droite $D$ pour $x\in ]\alpha\,;\,\beta[$. \item $\mathcal{C}_{f}$ est située en dessous de la droite $D$ pour $x\in ]-1\,;\,\alpha[\cup]\beta\,;\,+\infty[$. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=2.0cm,y=2.0cm] \shorthandoff{:}; \draw[->] (-1.2,0) -- (5.2,0); \foreach \x in {-1,1,2,3,4,5} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->] (0,-2.2) -- (0,3.5); \foreach \y in {-2,-1,1,2,3} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-1.2,-2.2) rectangle (5.2,3.5); \draw[smooth,samples=100,domain=-0.99:5.2] plot(\x,{1+ln(1+\x)}); \draw[smooth,samples=100,domain=-1.2:5.2] plot(\x,{\x}); \draw [dashed] (2.15,2.15)-- (2.15,0); \draw [dashed] (-0.84,-0.84)-- (-0.84,0); \fill (2.15,2.15) circle (1.5pt); \draw (2.15,2.15) node[above] {$B$}; \fill (-0.84,-0.84) circle (1.5pt); \draw (-0.84,-0.84) node[below right] {$A$}; \fill (2.15,0) circle (1.5pt); \draw (2.15,0) node[below] {$\beta$}; \fill (-0.84,0) circle (1.5pt); \draw (-0.84,0) node[above] {$\alpha$}; \end{tikzpicture}\end{center} \subsection*{Partie B} \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $\left\{\begin{array}{l c l} u_{0}&=&2\\ u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Pour tout nombre entier naturel $n,~ 2 \leqslant u_{n} \leqslant \beta$. Démonstration par récurrence: \begin{itemize} \item On a $2\leqslant u_0=2 \leqslant \beta$ \item Supposons que, pour un $n$ donné, on ait: $2 \leqslant u_n \leqslant \beta$, alors, la fonction $f$ étant croissante sur $[2\,;\,\beta]$: \[ 2 \leqslant u_n \leqslant \beta \Longrightarrow \boxed{2} \leqslant 2,09861228867 \simeq f(2) \leqslant f(u_n)=\boxed{u_{n+1}} \leqslant f(\beta)=\boxed{\beta} \] \item Ainsi, $\forall n,\ n\in\mathbbm{N},\ 2 \leqslant u_n \leqslant \beta$. \end{itemize} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante (\textit{en utilisant le signe de $g(x)$ étudié plus haut}): \[ u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)\geqslant 0\ \text{sur}\ [2\,;\,\beta] \] Donc, $(u_n)$ étant une suite croissante et majorée par $\beta$, elle est convergente. \end{enumerate} \section*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \subsection*{Partie I} On dispose d'un dé cubique $A$ parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé. On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue. On note $V_1$, $N_1$ et $R_1$ (respectivement $V_2$, $N_2$ et $R_2$) la couleur obtenue au premier (respectivement second) jet. \begin{enumerate} \item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient noires: \[ \text{Les deux jets étant indépendants, nous pouvons écrire:}\ p(N_1\cap N_2)=p(N_1)\times p(N_2)=\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{1}{9} \] \item Soit l'év\`enement C : \og à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues sont de la même couleur \fg. \[ p(C)= p(V_1\cap V_2)+ p(N_1\cap N_2)+ p(R_1\cap R_2)=p(V_1)\times p(V_2)+p(N_1)\times p(N_2)+p(R_1)\times p(R_2)=\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2+\left(\frac{3}{6}\right)^2=\frac{7}{18} \] \item Probabilité pour qu'à l'issue d'un jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs différentes: \[ p(\overline{C})=1-p(C)=1-\frac{7}{18}=\frac{11}{18} \] \item À l'issue d'un jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la même couleur, la probabilité pour que les deux faces obtenues soient vertes: \[ V\subset C \Longrightarrow C\cap V=V \Longrightarrow p_C(V)=\frac{p(C\cap V)}{p(C)}=\frac{p(V)}{p(C)}=\cfrac{\left(\cfrac{1}{6}\right)^2}{\cfrac{7}{18}}=\frac{1}{36}\times\frac{36}{14}=\frac{1}{14} \] \end{enumerate} \subsection*{Partie II} On dispose d'un second dé cubique $B$ équilibré présentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se déroule de la manière suivante : on lance le dé $B$ ; \begin{itemize} \item si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé $B$ et on note la couleur de la face obtenue; \item si la face obtenue est noire, on lance le dé $A$ et on note la couleur de la face obtenue. \end{itemize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Arbre de probabilités traduisant cette situation.: \begin{center} \begin{tikzpicture} \tikzstyle{level 1}=[level distance=2cm, sibling distance=2cm] \tikzstyle{level 2}=[level distance=2cm, sibling distance=0.85cm] \node{}[grow=right] child{node{$V$} child{node{$V$} edge from parent node[below]{\textcolor{red}{\scriptsize{$2/3$}}}} child{node{$N$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/3$}}} edge from parent node[below]{$\textcolor{blue}{\frac{2}{3}}$}} child{node{$N$} child{node{$V$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$1/6$}}} child{node{$N$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$2/6$}}} child{node{$R$} edge from parent node[above]{\scriptsize{$3/6$}}} edge from parent node[above]{$\frac{1}{3}$}}; \end{tikzpicture} \end{center} \item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer, sachant que l'on a obtenu une face verte au premier lancer: \[ \textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)=\frac{2}{3}} \] \end{enumerate} \item Probabilité d'obtenir deux faces vertes est égale à $\dfrac{4}{9}$: \[ p(V_1\cap V_2)=\textcolor{red}{p_{V_1}(V_2)}\times \textcolor{blue}{p(V_1)}=\textcolor{red}{\frac{2}{3}}\times \textcolor{blue}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9} \] \item Probabilité d'obtenir une face verte au deuxième lancer : \[ p(V_2)=p(N_1\cap V_2)+p(V_1\cap V_2)=p_{N_1}(V_2)\times p(V_1)+p_{V_1}(V_2)\times p(V_1)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2} \] \end{enumerate} \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \subsection*{Partie A} On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions $f$, définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifiant la condition (E) : $\text{pour tout nombre réel $x$ strictement positif,}~ xf'(x) - f(x) = x^2\text{e}^{2x}$. \begin{enumerate} \item Une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, vérifie la condition (E), alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ vérifie, pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$: \[ g'(x)=\left(\frac{f(x)}{x}\right)'=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\frac{x^2\text{e}^{2x}}{x^2}=\text{e}^{2x} \] \item Ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ qui vérifient la condition (E): \[ f\ \text{vérifie}\ E \Longrightarrow g'(x)= \text{e}^{2x}\Longrightarrow g(x)=\frac{1}{2}\text{e}^{2x}+k=\frac{f(x)}{x}\Longrightarrow f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+kx\ \text{avec}\ k\in\mathbbm{R} \] Réciproquement: \[ f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+kx\Longrightarrow f'(x) = \frac{1}{2}\text{e}^{2x}+x\text{e}^{2x}+k\Longrightarrow xf'(x) - f(x)=\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}+x^2\text{e}^{2x}+kx-\frac{1}{2}x\text{e}^{2x}-kx=x^2\text{e}^{2x} \] \item Fonction $h$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ vérifiant la condition (E) et s'annulant en $\dfrac{1}{2}$: \[ h\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\text{e}^{1}+k\frac{1}{2}=0\Longleftrightarrow k=-\frac{\text{e}}{2}\Longrightarrow h(x) = \frac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \frac{\text{e}}{2}x \] \end{enumerate} \subsection*{Partie B} On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[h(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{\text{e}}{2}x=\frac{\text{e}}{2}x\left(\text{e}^{2x-1}-1\right)\] On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath})$. \begin{enumerate} \item Signe de $h(x)$: $x$ étant positif, $h(x)$ est du signe de $\text{e}^{2x-1}-1$ et, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbbm{R}$: \[ \text{e}^{2x-1}-1\geqslant 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{2x-1} \geqslant \text{e}^0 \Longleftrightarrow 2x-1 \geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant \frac{1}{2} \] Ainsi: \begin{center} \begin{tikzpicture} \shorthandoff{:}; \tkzTabInit[lgt=5]{$x$ / .7, Signe\ de $h(x)$ /.7}% {$0$, $\frac{1}{2}$,$+\infty$}% \tkzTabLine{z, - , z , + , }% \end{tikzpicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties : on pose: $\begin{array}{l} u=x\\ v'(x)=\text{e}^{2x} \end{array}$, ainsi: $\begin{array}{l} u'=1\\ v(x)=\frac{1}{2}\text{e}^{2x} \end{array}$ et: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\text{e}^{2x}\text{d}x = \left\lbrack \frac{1}{2}x\text{e}^{2}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}}-\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}\text{e}^{2x}\text{d}x = \frac{1}{4}\text{e}-\left\lbrack\frac{1}{4}\text{e}^{2x}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\text{e}-\frac{1}{4}\text{e}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4} \] Ainsi: \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} h(x)\:\text{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}} x\text{e}^{2x}\text{d}x - \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{\text{e}}{2}x\text{d}x=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}-\left\lbrack\frac{\text{e}}{2}\frac{x^2}{2}\right\rbrack_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}-\frac{\text{e}}{16}=\frac{2-\text{e}}{16}\simeq -0,04489 \] \item La fonction $h$ étant négative sur l'intervalle $\left\rbrack 0\,;\,\frac{1}{2}\right\rbrack$, l'intégrale calculée plus haut est négative. Ainsi, en unité d'aire, la valeur exacte $\mathcal{A}$ de l'aire de la partie du plan située en dessous de l'axe des abscisses et au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ est: \[ \mathcal{A}=\left|\frac{2-\text{e}}{16}\right|=\frac{\text{e}-2}{16} \] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=10.0cm,y=10.0cm] \shorthandoff{:}; \draw[color=red,fill=red,fill opacity=0.1, smooth,samples=50,domain=0.0:0.5] plot(\x,{0.5*\x*exp(2*\x)-exp(1)/2*\x}) -- (0.5,0) -- (0,0) -- cycle; \draw (-0.1,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (1.1,0); \foreach \x in {0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw (0,-0.2) -- (0,0.7); \foreach \y in {-0.2,-0.1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \clip(-0.1,-0.2) rectangle (1.1,0.7); \draw[smooth,samples=100,domain=0:1.1] plot(\x,{0.5*\x*exp(2*\x)-exp(1)/2*\x}); \fill (0.5,0) circle (1.5pt); \draw (0.5,0) node[above left] {$A$}; \fill (0,0) circle (1.5pt); \draw (0,0) node[below left] {$O$}; \draw (0.26,-0.07) node[fill=white] {$\mathcal{A}$}; \draw (0.72,0.5) node[right] {$\mathcal{C}$}; \end{tikzpicture}\end{center} \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \noindent \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \subsection*{Partie I : Restitution organisée de connaissances} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$. On rappelle que $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \begin{align*} \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}\right)\\ &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi] \end{align*} \subsection*{Partie II} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$. On considère le point A d'affixe $1 + \text{i}$. On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe \[z' = \frac{z -1- \text{i}}{z}\] Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Affixe du point $B'$, sous forme algébrique, image du point $B$ d'affixe $\text{i}$: \[ z_{B'}=\frac{\text{i} -1- \text{i}}{\text{i}}=\frac{-1}{\text{i}}=\frac{-\text{i}}{\text{i}^2}=\text{i} \] \item Pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \not= 1$. En effet: \[ z'=1 \Longleftrightarrow \frac{z -1- \text{i}}{z}=1 \Longleftrightarrow z -1- \text{i}=z \Longleftrightarrow -1-\text{i}=0\quad\text{impossible} \] \end{enumerate} \item \textcolor{blue}{Ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z=x+\text{i}y$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est telle que $\left|z'\right| = 1$ est la droite d'équation $y=-x+1$:} \begin{align*} \left|z'\right| = 1 &\Longleftrightarrow \left|\frac{z -1- \text{i}}{z}\right| = 1 \Longleftrightarrow \left|z -1- \text{i}\right|^2=\left|z\right|^2\Longleftrightarrow \left|x+\text{i}y-1-\text{i}\right|^2=\left|x+\text{i}y\right|^2\\ &\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=x^2+y^2 \Longleftrightarrow x+y-1=0 \Longleftrightarrow y=-x+1 \end{align*} \item \textcolor{red}{Ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquels l'affixe du point $M'$ est un nombre réel est la droite $(OB)$ privée de $O$:} \[ z'\in\mathbbm{R} \Longleftrightarrow \text{Arg}(z')=\text{Arg}\left(\frac{z -1- \text{i}}{z}\right)=k\pi\ (k\in\mathbbm{Z})\Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AM}\right)=k\pi\ (k\in\mathbbm{Z})\Longleftrightarrow O,\, A\ \text{et}\, M\ \text{alignés} \] L’'ensemble des points $M$ du plan d’'affixe $z$ non nulle pour lesquels l’'affixe du point $M'$ est un nombre réel est donc la droite (AO), privée du point O. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=2.0cm,y=2.0cm] \shorthandoff{:}; \draw[->] (-2,0) -- (2,0); \foreach \x in {-2,-1,1,2} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->] (0,-2) -- (0,2); \foreach \y in {-2,-1,1,2} \draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \clip(-2,-2) rectangle (2,2); \draw [domain=-2:2,color=red] plot(\x,{\x}); \draw[smooth,samples=100,domain=-2.0:2.0,color=blue] plot(\x,{0-(\x)+1}); \fill[color=red] (0,1) circle (1.5pt); \draw[color=red] (0,1) node[above left] {$B$}; \draw[color=red] (1,1) node[above left] {$A$}; \fill[color=white] (0,0) circle (1.8pt);\draw[color=red] (0,0) circle (1.8pt); \draw (0,0) node[above left] {$O$}; %\draw (-3.82193,-3.54726) node {$a$}; %\draw (-3.83342,4.81954) node {$f$}; \fill[color=blue] (0,1) circle (1.5pt); \fill[color=red] (1,1) circle (1.5pt); \draw[color=blue] (0,1) node[above right] {$B'$}; \end{tikzpicture}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité } \medskip \textbf{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances} Bien respecter les notations du sujet. $s$ est une similitude directe du plan si, et seulement si, son écriture complexe est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe. Notons $a, b, c $ et $d$ les affixes respectives des points $ A, B, C $et $D$. $ \left\lbrace \begin{array}{l} s(A) = B \\ s(C) = D \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} b = \alpha a + \beta \\ d = \alpha c + \beta \end{array} \right. $ $s$ est une similitude directe du plan si, et seulement si, ce dernier système admet une unique solution pour $ (\alpha , \beta ) $. Or, $ \left\lbrace \begin{array}{l} b = \alpha a + \beta \\ d = \alpha c + \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} b = \alpha a + d - \alpha c \\ d - \alpha c = \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} b - d = \alpha (a -c ) \\ d - \alpha c = \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll} \alpha = \dfrac{b-d}{a -c} & \text{car}\:\: A \neq C \\ \beta = d - \dfrac{b-d}{a -c} \times c & \end{array} \right. $ Le système ayant une unique solution, il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $B$ et $C$ en $D$. \textbf{Partie II :} \medskip %Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$ ; % %$\left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. % %On considère le point C tel que ABCD est un carré. % %Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que % %$\left(\vect{\text{ED}},~ \vect{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ~ \begin{center} \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0} \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm} \begin{pspicture*}(-0.63,-0.15)(1.16,1.18) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.63,-0.15)(1.16,1.18) \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.63,-0.15)(1.16,1.18) \psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0) \psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,1) \psline[linecolor=zzttqq](1,1)(0,1) \psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0) \psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0.5) \psline[linecolor=zzttqq](0,0.5)(-0.5,0.5) \psline[linecolor=zzttqq](-0.5,0.5)(-0.5,1) \psline[linecolor=zzttqq](-0.5,1)(0,1) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](0,0) \rput[bl](0.02,0.03){\darkgray{$A$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](1,0) \rput[bl](1.02,0.03){\xdxdff{$B$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](1,1) \rput[bl](1.02,1.03){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,1) \rput[bl](0.02,1.03){\xdxdff{$D$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.5,0.5) \rput[bl](-0.47,0.54){\blue{$F$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.5,1) \rput[bl](-0.47,1.03){\blue{$G$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,0.5) \rput[bl](0.02,0.54){\xdxdff{$E$}} \psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-0.2,0.4) \rput[bl](-0.3,0.39){\blue{$\Omega$}} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} \item $a = 0,\: b = 1,\: c = 1 + \text{i},\: d = \text{i},\: e = \dfrac{1}{2}\text{i},\: f = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i},\: g = -\dfrac{1}{2} + \text{i}$. \item Comme $ D \neq B $ et $ F \neq D $, d'après la première partie, il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s(D) = F$ et $s(B) = D$. \end{enumerate} \item Par définition $ \begin{array}[t]{ll} s : & D \longmapsto F \\ & B \longmapsto D \end{array} $ \begin{enumerate} \item Le rapport de $s$ est donc $k = \dfrac{FD}{DB}$ et l'angle $\theta = \left(\vect{DB},~\vect{FD}\right)$. $ k = \left| \dfrac{d-f}{d-b}\right| = \dfrac{\left| \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{i} \right|}{| -1 + \text{i} |} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{ \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{1}{2}$ . $\theta = (\vect{DB}, \vect{FD}) = \pi + (\vect{DB}, \vect{DF}) = \pi - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \qquad [2 \pi] $ \begin{center} $s$ a pour rapport $ \dfrac{1}{2} $ et pour angle $ \dfrac{\pi}{2} $. \end{center} \item Avec les notations précédentes, on sait que $ \alpha = k \text{e}^{\text{i} \theta} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{2}i $. On détermine $\beta$ en écrivant que $ s(B) = D $ . $ s(B) = D \Longleftrightarrow d = \dfrac{1}{2} \text{i}b + \beta \Longleftrightarrow \text{i} = \dfrac{1}{2}\text{i} + \beta \Longleftrightarrow \beta = \dfrac{1}{2}\text{i}$. Finalement, l'écriture complexe de $s$ est \[z' = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1}{2}\text{i}.\] \item \textit{On peut remarquer que $s$ a bien un centre car $ \alpha \neq 1 $, donc cette similitude directe n'est pas une translation.} Le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$ a pour affixe l'unique solution de l'équation $z = \dfrac{1}{2}\text{i}z + \dfrac{1}{2}i $. On trouve sans difficulté que le centre a pour affixe $ -\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}\text{i}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document} \section*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité } \subsection*{Partie 1 : Restitution organisée de connaissances} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Prérequis :} On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe. Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts. Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D. \subsection*{Partie II} Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ ; $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. On considère le point C tel que $ABCD$ est un carré. Soit $E$ le milieu du segment $[AD]$, on considère le carré $EDGF$ tel que $\left(\overrightarrow{\text{ED}},~ \overrightarrow{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice. \item Préciser les nombres complexes $a,~ b,~ c,~ d,~ e,~ f,~ g$, affixes respectives des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$. \item Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s(D) = F$ et $s(B) = D$. \end{enumerate} \item On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$. \item Donner l'écriture complexe de cette similitude. \item Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$. \end{enumerate} \end{enumerate}0 \end{document}