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%Sujet aimablement fourni par Stéphane Boucher et Olivier Mauras, merci à eux.
%sujet omposé par : Denis Vergès
%Corrigé : Pierre-Alexandre Fournié
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
%
%On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base
%commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est
%donnée \textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}. Toutes les arêtes sont de longueur $1$.
%
%L'espace est rapporté au repère orthonormé 
%$\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AK}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
%		Montrer que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points I, E et F.
Le triangle $AIE$ est rectangle en $I$. Par le théorème de Pythagore, on en déduit $EI^2 = AE^2 - AI^2$.

D'autre part, $[AC]$ est une diagonale d'un carré de côté 1 et $I$ est son milieu. On a donc $AI = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Finalement, $EI^2 = 1^2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$, ce qui donne 
\begin{center}
\boxed{EI = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}
\end{center}

$I$ étant le centre du carré $ABCD$, ses coordonnées sont $I \, \coorde{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}{0}$. 

D'autre part, $\vect{IE} = IE \times \vect{AK}$, ce qui donne $E \, \coorde{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}$.

Par un argument similaire, on trouve $F \, \coorde{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{-\sqrt{2}}{2}}$
		\item 
%		Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABE).
Ici, il suffit de montrer qu'il est orthogonal à deux vecteurs de base du plan $(ABE)$.

On choisit les vecteurs $\vect{AB} \, \coorde{1}{0}{0}$ et $\vect{AE} \, \coorde{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}$ et on vérifie:
\[
\vect{AB} \cdot \vect{n} = 0 \text{ et } \vect{AE} \cdot \vect{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right) \times (-2) + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \times \sqrt{2} = -1+1 = 0
\]

Ainsi, le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $(ABE)$.
		\item 
%		Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
On connaît déjà un vecteur normal: $\vect{n}$. On sait qu'il existe un nombre $a$ tel qu'une équation cartésienne de ce plan s'écrit
\[
-2y + \sqrt{2}z + a = 0
\]
Comme $A$ appartient au plan, on en déduit $-2 \times 0 + \sqrt{2} \times 0 + a = 0$, ce qui donne $a = 0$. Finalement, une équation cartésienne du plan est:
\begin{center}
\boxed{
- 2y + \sqrt{2}z = 0\:\:\text{ou}\:\: -y\sqrt{2} + z = 0
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
%On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item 
%		Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
On va prouver que le vecteur $\vect{n}$ est également normal au plan $(FDC)$ en utilisant deux vecteurs de base de ce plan.

On calcule par exemple, $\vect{DC} \, \coorde{1}{0}{0}$ et $\vect{DF} \, \coorde{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{-1}{2}}{\tfrac{-\sqrt{2}}{2}}$. On vérifie là encore:
\[
\vect{DC} \cdot \vect{n} = 0 \text{ et } \vect{DF} \cdot \vect{n} = \left(\dfrac{-1}{2}\right) \times (-2) + \left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right) \times \sqrt{2} = 1-1 = 0
\]

Les plans $(ABE)$ et $(FDC)$ ont un vecteur normal commun, ils sont donc parallèles.
		\item 
%		Déterminer l'intersection des plans (EMN) et (FDC).
$(EMN)$ coupe les plans $(ABE)$ et $(FDC)$ en deux droites parallèles. 

On en déduit que la droite correspondant à l'intersection de $(EMN)$ et $(FDC)$ est dirigée par le vecteur $\vect{NE}$ et passe par $M$.

On peut donc déterminer une équation paramétrique de cette droite en calculant $\vect{NE} \, \coorde{0}{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}$ et $M \, \coorde{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{-\sqrt{2}}{4}}$.

On obtient ainsi l'équation paramétrique de cette intersection.
\begin{center}
\boxed{
\left \{
\begin{array}{lcll}
x & = & \frac{1}{4} & \\
y & = & \frac{3}{4} & + \frac{1}{2}t \\
z & = & \frac{-\sqrt{2}}{4} & + \frac{\sqrt{2}}{2}t 
\end{array}
\right .
\qquad t \in \R
}
\end{center}

		\item 
%		Construire sur l'\textbf{annexe (à rendre avec la copie)} la section du solide ADECBF par
%le plan (EMN).
On a appelé $Q$ l'intersection du plan $(EMN)$ avec l'arête $[AF]$ et $P$ l'intersection de ce même plan avec l'arête $[DC]$.

D'après ce qui précède $(MP)$ et $(EN)$ sont parallèles; ce qui permet de construire le point $P$.

Par des arguments semblables, on peut prouver que les plans $(ABF)$ et $(EDC)$ sont parallèles, ce qui entraîne le parallélisme des droites $(NQ)$ et $(EP)$ et permet ainsi de construire le point $Q$.

L'intersection est ainsi le pentagone $ENQMP$ dont les côtés $[EN]$ et $[MP]$ sont parallèles ainsi que les côtés $[NQ]$ et $[EP]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
%
%Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil
%envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la
%balle suivante arrive.
%
%Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à
%gauche avec la même probabilité.
%
%\medskip

%\emph{Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip
%
%Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
%Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
L'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 20;~ p = \dfrac{1}{2}$. 

En effet, les lancers sont indépendants et, pour chaque lancer, la probabilité d'envoyer à droite vaut $\dfrac{1}{2}$ si l'on se fie au manuel. Le nombre $X$ de balles envoyées à droite suit donc une loi binomiale de paramètres  $n = 20;~ p = \dfrac{1}{2}$..

À l'aide de la calculatrice, on obtient une probabilité de 
\begin{center}
\boxed{P(X=10) \simeq 0,176}
\end{center}
d'avoir exactement 10 balles à droite.
\item 
%Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
Ici, avec les mêmes notations, on calcule
\begin{center}
\boxed{P\left(5 \leqslant X \leqslant 10\right)  = P(X \leqslant 10)-P(X \leqslant 4) \simeq 0,582}.
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip
 
\subsubsection*{Partie B}

\medskip
%
%Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de
%100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. 
%
%Le joueur doute alors du bon fonctionnement
%de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?
On vérifie les conditions d'application du calcul de l'intervalle asymptotique de fluctuation des fréquences:
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] le nombre $n$ de répétitions est supérieur à 30.
\item[$\bullet$] $np = 100 \times 0,5 = 50 \geqslant 5$ et $n(1-p) = 100 \times 0,5 = 50 \geqslant 5$ où $p$ désigne la probabilité d'envoyer à droite à chaque lancer.
\end{enumerate}

On calcule l'intervalle asymptotique de fluctuation à 95\% de la fréquence des balles envoyées à droite:
\begin{center}
\boxed{\left[0,5-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~0,5+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] = [0,402~;~0,598]}
\end{center}

La fréquence observée $\dfrac{42}{100}=0,42$ est bien dans cet intervalle. On n'a donc pas de raison de remettre en cause  l'affirmation du fabricant.
\medskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

%
%Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux
%balles lancées. Elles peuvent être soit \og liftées \fg{} soit \og coupées \fg. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie
%une balle à gauche.
%
%Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
%\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.
%\end{itemize}
%\medskip
%
%Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à
%droite ?


On note $L$ l’événement \og la balle est liftée \fg{} et $D$ l'événement \og la balle est envoyée à droite \fg.

À partir des données de l'énoncé, on a $P(L \cap D)= 0,24$ et $P\left(\overline{L} \cap \overline{D}\right) = 0,235$.

Ici, on cherche $P_{\overline{L}}(D)$. Commençons par calculer $P\left(\overline{L}\right)$ à l'aide de la formule des probabilités totales :

\[P\left(\overline{L}\right) = P\left(\overline{L} \cap D\right) + P\left(\overline{L} \cap \overline{D}\right)\]

Il nous faut ainsi déterminer $P\left(\overline{L} \cap D\right)$ mais on sait, toujours d'après la formule des probabilités totales, que $P(D) = P\left(\overline{L} \cap D\right) + P\left(L \cap D\right)$. On obtient ainsi:
\[P\left(\overline{L} \cap D\right)=P(D)-P(L \cap D) = 0,5-0,24=0,26\]

Ce qui donne donc :

\[P\left(\overline{L}\right) = 0,26 + 0,235 = 0,495\]

Et, finalement:
\begin{center}
\boxed{
P_{\overline{L}}(D) = \dfrac{P\left(\overline{L} \cap D\right)}{P\left(\overline{L}\right)} = \dfrac{0,26}{0,495} \simeq 0,525
}
\end{center}

\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par :
%\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.\]

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
%Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
On peut utiliser ici les fonctions associées en considérant la décomposition algorithmique suivante de la fonction $f$ :

\[x \mapsto 1 - x \mapsto \e^{1-x} \mapsto 1 + \e^{1-x} \mapsto \dfrac{1}{1 + \e^{1 - x}}\]

Quels que soient $u$ et $v$ de l'intervalle $[0;1]$ tels que $u < v$, on a 

\[0 \leqslant u < v \leqslant 1 \Rightarrow - 1 \leqslant - v  < - u \leqslant 0 \Rightarrow 0 \leqslant 1-v < 1-u \leqslant 1\]

Or la fonction exponentielle est strictement croissante donc

\[1 \leqslant \e^{1-v} < \e^{1-u} \leqslant \e^{1}\]

Et par suite

\[2 \leqslant 1 + \e^{1 - v} < 1+\e^{1 - u} \leqslant 1 + \e\]


Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;~+\infty[$, on en déduit:

\[\dfrac{1}{1+e} \leqslant \dfrac{1}{1+\e^{1-u}} < \dfrac{1}{1+\e^{1-v}} \leqslant \dfrac{1}{2} \text{, soit } \dfrac{1}{1+e} \leqslant f(u) < f(v) \leqslant \dfrac{1}{2}.\]

Ainsi, la fonction $f$ est strictement croissante.

Bien sûr, on pouvait aussi dériver $f$ pour prouver ce résultat !
\item 
%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$ (on rappelle que $\text{e} = \text{e}^1$).

On \og force \fg{} la factorisation par $\e^{-x}$ au dénominateur. Pour tout $x$ de $[0~;~1]$:

\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{\e^{-x}\left(\frac{1}{\e^{-x}}+\frac{\e^{1-x}}{\e^{-x}}\right)} \\
& = \dfrac{1}{\e^{-x}\left(\e^x+\e^{1-x+x}\right)} \\
& = \dfrac{\e^x}{\e^x+\e}
\end{align*}

\item 
%Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) +  1 - \ln (1 + \text{e})$.
L'écriture précédente permet de déterminer une primitive de $f$. 

En effet, la dérivée de $x \mapsto \e^x+\e$ est $x \mapsto \e^x$ et on reconnaît donc que $f$ est la dérivée de $x \mapsto \ln\left(\e^x+\e\right)$. On a donc 
\begin{align*}
\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x & = \left[\ln\left(\e^x+\e\right)\right]_0^1 \\
 & = \ln\left(\e^1+\e\right)-\ln\left(1+\e\right) \\
 & = \ln(2\e)-\ln(1+\e) \\
 & = \ln(2) + \ln(\e) - \ln(1+\e) \text{ (d'après les propriétés du logarithme)} \\
 & = \ln(2)+1-\ln\left(1+\e\right)
\end{align*}
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip
%
%Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par:
%
%\[f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.\]
%
%On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
%
%On considère la suite de terme général
%
%\[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
%On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1
%à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
Un peu de calcul montre que $f_0$ est la fonction constante égale à $1$. On a tracé cette fonction en annexe.

\item 
%Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
Pour tout $x$ et pour tout entier naturel $n$, on a $1+n\e^{1-x} > 1$ car la fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives. En particulier les $f_n$ sont des fonctions strictement positives.

$u_n$ correspond donc à l'aire du domaine délimité par:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] la courbe $\mathcal{C}_n$
\item[$\bullet$] l'axe des abscisses
\item[$\bullet$] les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
\end{itemize}

\item 
%Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

Ces domaines semblent \og rétrécir \fg{} quand $n$ augmente. On conjecture donc que $u$ est décroissante.

%Démontrer cette conjecture.
Pour tout $n$ entier naturel et pour tout $x$, on vérifie $0 \leqslant n\e^{1-x} < (n+1)\e^{1-x}$ car $\e^{1 - x}$ est un nombre strictement positif. On obtient donc

$1 \leqslant 1 + n\e^{1 - x} < 1 + (n + 1)\e^{1 - x}$. Et comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0~;~+\infty[$, on en déduit :

\[f_n(x) > f_{n+1}(x)\]

En raison des propriétés de l'intégrale, on obtient bien:

\[\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x > \displaystyle\int_0^1 f_{n+1}(x)\:\text{d}x\]

Cela confirme la conjecture émise: $u$ est strictement décroissante.
\item 
%La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
La suite étant décroissante, elle admet forcément une limite: un nombre ou bien $-\infty$. 

Nous allons maintenant préciser qu'il s'agit d'un nombre.

Pour tout $n$, $u_n$ est positif car c'est l'intégrale d'une fonction positive sur $[0;~1]$. La suite $u$ étant à la fois minorée par $0$ et décroissante, le théorème de convergence monotone entraîne l'existence d'une limite finie pour la suite $u$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
%
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
%Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise
%en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.}
%
%\medskip

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 
%Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit
%comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=8cm,algebraic=true}
%\def\xmin {13.8}   \def\xmax {26}
%\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=2, Dy=0.1]%
%(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,0)
%\def\m{20}% moyenne 
%\def\s{1.5}% écart type
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\psplot{13.8}{26}{\f}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{\psplot{20}{21.6}{\f}
%\psline(21.6,0)(20,0)
%}
%\psline(20,0)(20,0.268)
%\rput(20.75,0.125){0,34}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\textbf{Affirmation 1 :} 
%La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l'intervalle $[23,2~;~ + \infty[$ vaut environ 0,046.

\medskip

Ici, on ne connaît pas l'écart-type $\sigma$. Il faut d'une manière ou d'une autre le déterminer.

On peut remarquer que $0,34$ est la moitié de $0,68$ et, ainsi, l'intervalle $[20;~21,6]$ correspond à $[\mu;~\mu+\sigma]$. On a donc $\sigma = 21,6-20 = 1,6$. La probabilité recherchée s'obtient à la calculatrice et vaut $P(X \geqslant 23,2) \simeq 0,0228$. 

L'affirmation est donc \textbf{fausse}.

Une autre manière de retrouver $\sigma$ consistait à centrer-réduire $X$. En effet, on avait l'équivalence :

\[X \in [20;~21,6] \iff \dfrac{X - \mu}{\sigma} \in \left[0~;~\dfrac{1,6}{\sigma}\right]\]

Il fallait ensuite raisonner sur la loi normale centrée réduite et utiliser ses propriétés de symétrie pour retrouver $\sigma$ par inversion de la fonction de répartition.

%\item[$\bullet~~$] Soit $z$ un nombre complexe différent de 2. On pose :
%
%\[Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}.\]

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :} 
%L'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point A(1~;~0).

\medskip

On a $\abs{Z}=1 \iff \dfrac{\abs{iz}}{\abs{z-2}}=1 \iff \abs{z} = \abs{z-2}$. On reconnaît ici la condition d'appartenance à la médiatrice du segment $[OB]$ avec $B \, \coord{2}{0}$ le point d'affixe $2$. 

En particulier, $A$, qui est le milieu de $[OB]$, appartient bien à cette droite. 

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\bigskip

\textbf{Affirmation 3 :} 
%$Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.

\medskip

%On va raisonner par équivalence:
%
%\[z \text{ est un réel } \iff \text{ il existe un réel $a \neq 2$ tel que $z=a$} \iff Z = \im \left(\dfrac{a}{a-2}\right).\]
%
%Cette dernière proposition est bien équivalente à \og $Z$ est un imaginaire pur \fg{}.
%
%
Pour tout $z$, on pose $z=x+ \i y$ où $x$ et $y$ sont des réels. 

\smallskip

Pour $z \neq 2$, $Z=\dfrac{\i z}{z-2} = \dfrac{\i (x+ \i y)}{x + \i y - 2}
= \dfrac{\i (x+ \i y)}{x + \i y - 2}\times \dfrac{x - \i y - 2}{x - \i y - 2}
= \dfrac{(\i x - y)(x -  \i y - 2)}{(x+\i y - 2)(x-\i y - 2)}\\[7pt]
\phantom{\text{Pour }z \neq 2, \text{ } Z}
= \dfrac{\i x^2 + xy -2\i x - xy + \i y^2 + 2y}{(x-2)^2+y^2}
= \dfrac{2y}{(x-2)^2+y^2} + \i \dfrac{x^2-2x+y^2}{(x-2)^2+y^2}$

\smallskip

$Z$ imaginaire pur $\iff \dfrac{2y}{(x-2)^2+y^2}=0 \iff y=0 \iff z$ est un réel

\smallskip

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\newpage

\textbf{Affirmation 4 :} 
%L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$.

\medskip
Un raisonnement équivalent à celui mené au début de l'exercice 3 permet de prouver que $f$ est strictement croissante. De plus, elle est continue. Il suffit donc de calculer ses limites en $+\infty$ et $-\infty$ et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permettra de se prononcer au sujet de cette affirmation.

$\lim \limits_{x \to +\infty} \e^{-2x} = 0$ (par composition) et donc $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{3}{4}$ par produit, somme et quotient.

D'autre part, $\lim \limits_{x \to -\infty} \e^{-2x} = +\infty$ et donc $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

Comme $0,5 \in \left]0;~\dfrac{3}{4}\right[$, ce nombre possède bien un unique antécédent par $f$.

L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\bigskip

\textbf{Affirmation 5 :} 
%L' algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.

\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline
%Variables :		&$X$ et $Y$ sont des réels\\
%Initialisation :&$X$ prend la valeur 0\\
%				&$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$\\
%Traitement :	&Tant que $Y < 0,5$\\
%				&\hspace{0.4cm}$X$ prend la valeur $X + 0,01$\\
%				&\hspace{0.4cm}$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}}$\\
%				&Fin Tant que\\
%Sortie :		& Afficher $X$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\end{itemize}

On sort de la boucle dès que $f(X) \geqslant 0,5$ et on affiche la valeur de $X$ à ce moment là. 

Or on vérifie à la calculatrice que $f(0,54) < 0,5$. 

L'affirmation est donc \textbf{fausse}.

\bigskip

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
%Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise
%en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] On considère le système $\left\{\begin{array}{l c l}
%n &\equiv & 1 \quad [5]\\
%n &\equiv & 3 \quad[4]
%\end{array}\right.$ d'inconnue $n$ entier relatif.

\textbf{Affirmation 1 :} 
%Si $n$ est solution de ce système alors $n - 11$ est divisible par 4 et par 5.

\medskip

On vérifie que $11 \equiv 1 \quad [5]$ et $11 \equiv 3 \quad [4]$.

En particulier, si $n$ est solution du système, on a $n-11 \equiv 0 \quad [5]$ et $n-11 \equiv 0 \quad [4]$. L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :} 
%Pour tout entier relatif $k$, l'entier $11 + 20k$ est solution du système.

\medskip
On a $20 \equiv 0 \quad [5]$ et $20 \equiv 0 \quad [4]$ donc, pour tout entier $k$, $20k \equiv 0 \quad [5]$ et $20k \equiv 0 \quad [4]$.

En particulier, $20k+11 \equiv 1 \quad [5]$ et $20k+11 \equiv 3 \quad [4]$. L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

\bigskip

\textbf{Affirmation 3 :} 
%Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.

\medskip

On reprend la première affirmation. On sait que $n-11$ est divisible par $4$ et $5$ qui sont premiers entre eux.

Donc $n-11$ est divisible par $20$. L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

%\item[$\bullet~~$] Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. 
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate
%se trouve dans l'état A après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans
%l'état B après $n$ secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3.1)
%\cnodeput(1,2){A}{A}
%\cnodeput(6,2){B}{B}
%\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,3}
%\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,2}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,7}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,8}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On considère l'algorithme suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline
%Variables:		&$a$ et $b$ sont des réels\\
%Initialisation:	& $a$ prend la valeur 0\\
%				&$b$ prend la valeur 1\\
%Traitement:		&Pour $k$ allant de 1 à 10\\
%				&\hspace{0.4cm}$a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$\\
%				&\hspace{0.4cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
%				&Fin Pour\\
%Sortie:			&Afficher $a$\\
%				&Afficher $b$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} 
%En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$.

\medskip

L'algorithme initialise bien les variables à partir des données du problème. En effet, au départ, $P(B)= 1$ soit $b_0=1$.

En revanche, l'affectation de $a$ dans la boucle pose problème. En effet, la lecture du graphe permet d'affirmer que $a_{n+1} = 0,3a_n+0,8b_n$ et ce qui est proposé correspond plutôt à $a_{n+1} = 0,8a_n+0,3b_n$.

L'affirmation est donc \textbf{fausse}.

\bigskip

\textbf{Affirmation 5 :} 
%Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état $A$ que d'être dans l'état $B$.

\medskip

On va utiliser ici les matrices de transition. 

On pose $X_n = \coord{a_n}{b_n}$ et 
$M = \begin{pmatrix}
0,3 & 0,8 \\ 
0,7 & 0,2
\end{pmatrix}$, de sorte que, pour tout $n$, $X_{n+1} = MX_n$.

On doit calculer $X_4 = M^4 X_0$ avec $X_0 = \coord{0}{1}$. 

Une application numérique donne $X_4 = \coord{0,5}{0,5}$. L'affirmation est donc \textbf{vraie}.

%\end{itemize}

%\vspace{0,5cm}
\bigskip

\newpage

\subsection*{Exercice 5 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
%
%On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%z_0		& =& 0\\
%z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
%\end{array}\right.\]
%
%Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.
%
%On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.
%
%\medskip
\begin{enumerate}
\item 
%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$
%.
	\begin{enumerate}
		\item 
%		Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.
Pour tout $n$:
\begin{align*}
u_{n+1} & = z_{n+1}-z_a \\
& = \dfrac{1}{2} \im \times z_n+5 -(4 +2 \im) \\
& = \dfrac{1}{2} \im \times z_n+1-2 \im \\
& = \dfrac{1}{2} \im \left(z_n+\dfrac{1-2\im}{\frac{1}{2}\im}\right) \\
& = \dfrac{1}{2} \im \left(z_n+\dfrac{\im(2-4\im)}{\im^2}\right) \\
& = \dfrac{1}{2} \im \left(z_n-\left(2\im+4\right)\right) \\
& = \dfrac{1}{2} \im \left(z_n-z_A\right) \\
& = \dfrac{1}{2} \im u_n
\end{align*}

		\item 
%		Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
%		
%\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
Cette égalité rappelle les formules explicites de suites géométriques. Comme ce résultat concernant les complexes n'est pas au programme de terminale S, nous allons le démontrer par récurrence.

Vérifions l'initialisation. On sait que $u_0 = z_0 - z_A = - z_A$ et d'autre part $\left(\dfrac{1}{2} \im \right)^0 (- 4 - 2 \im) = - z_A$. La propriété est donc initialisée.

Supposons que, pour tout entier $p$, on ait $u_p= \left(\dfrac{1}{2} \im \right)^p (-4-2 \im)$. 

Au rang $p+1$, il vient:

\[u_{p+1} = \dfrac{1}{2} \im u_n = \left(\dfrac{1}{2} \im\right) \times \left(\dfrac{1}{2} \im \right)^p (-4-2 \im) = \left(\dfrac{1}{2} \im \right)^{p+1} (-4-2 \im).\]

La propriété est donc également héréditaire. 

La propriété est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $p$, elle est vraie au rang $p+1$, donc d'après le principe de récurrence, elle est vérifiée pour tout entier.
	\end{enumerate}
\item 
%Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.

On utilise le critère de colinéarité dans le plan complexe. Il s'agit de prouver que $\dfrac{z_{n+4} - z_A}{z_n  - z_A}$ est un réel, ce qui équivaut à vérifier que $\dfrac{u_{n+4}}{u_n}$ est un réel.

Or, on démontre assez rapidement que $\dfrac{u_{n+4}}{u_n} = \left(\dfrac{1}{2} \im \right)^4 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \times \im^4 = \dfrac{1}{2^4}$ car $\im^4 = \left(\im^2\right)^2 = 1$.

Ici, on a même prouvé que $\vect{\text{AM$_{n+4}$}} = \dfrac{1}{2^4} \times \vect{\text{AM$_{n}$}}$, ce qui donne des informations supplémentaires concernant les positions relatives de ces points.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(12,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%EC
\psdots(5,0.65)(0,6.7)%I
\psdots[linecolor=gray,dotstyle=x](3.35,0) \uput[ul](3.35,0){\gray{N}}%N
\psdots[linecolor=gray,dotstyle=x](4.15,-1.35) \uput[dr](4.15,-1.35){\gray{M}}%M
\psdots[linecolor=gray,dotstyle=x](4.96728972,1.3) \uput[ur](4.96728972,1.3){\gray{P}}%P
\psdots[linecolor=gray,dotstyle=x](3.32849364,-2.662795) \uput[dl](3.32849364,-2.662795){\gray{Q}}%Q
\psline[linecolor=gray](5,5.35)(3.35,0)(3.32849364,-2.662795)% ligne ENQ
\psline[linecolor=gray,linestyle=dashed](3.32849364,-2.662795)(4.15,-1.35)(4.96728972,1.3)(5,5.35)% ligne QMPE
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=red,linestyle=dashed](3.35,0)(5,5.35)(4.96728972,1.3)(4.15,-1.35)(3.32849364,-2.662795)%NEPMQ
\psline(5,5.35)(3.35,0)(3.32849364,-2.662795)%ENQ
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](6.7,0){B} \uput[r](10,1.3){C} 
\uput[ul](3.3,1.3){D} \uput[u](5,5.35){E} \uput[d](5,-4){F} \uput[u](5,0.65){I} 
\uput[l](0,6.7){K}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\bigskip

\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,griddots=5,gridwidth=1.5pt](0,0)(1.2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{0}{1}{1}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}\uput[r](1,1){\gray{$\mathcal{C}_0$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}