\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} %\usepackage{slashbox} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont,cancel} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Jean Claude Souque \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %\setlength{\textheight}{23,5cm} %\setlength{\voffset}{-1,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Baccalauréat STG CGRH} \lfoot{\small{Polynésie}\hspace{3mm} correction} \rfoot{\small{13 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG CGRH Polynésie~\decofourright\\13 septembre 2012\hspace{3mm} Correction}} \vspace{1cm} La calculatrice est autorisée. \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip Les résultats d'une étude sur l'énergie éolienne en France de 2000 à 2010 sont donnés dans le tableau ci-dessous. La \og capacité en MW \fg{} est la quantité annuelle d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, exprimée en mégawatts et arrondie à l'unité. Le \og pourcentage d'évolution \fg{} est le taux d'évolution de la capacité par rapport à celle de l'année précédente. \medskip {\small \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &Capacité en MW& Pourcentage d'évolution\\ \hline 2000 &68&\\ \hline 2001 &95 &+ 39,71\,\% \\ \hline 2002 &148 &+ 55,79\,\%\\ \hline 2003 &248 &\\ \hline 2004 &386 &+ 55,65\,\% \\ \hline 2005 &757 &+ 96,11\,\%\\ \hline 2006 & & + 107,00\,\% \\ \hline 2007 &\np{2455} &+ 56,67\,\%\\ \hline 2008 &\np{3404} &+ 38,66\,\%\\ \hline 2009 &\np{4492} &+ 31,96\,\% \\ \hline 2010 &\np{5660} &+ 26,00\,\%\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\emph{Source : www.thewindpower.net}}\\ \end{tabularx} \end{center} } \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie, les résultats donnés en pourcentage seront arrondis au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage. Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$ $t=\dfrac{248-148}{148}\approx \np{0.6757}$ Le taux d'évolution de la capacité de 2002 à 2003, exprimé en pourcentage est environ $\np{67.57}~\%$. \item Calculons la capacité en MW de l'année 2006, arrondie à l'unité. \` A un taux d'évolution de 107~\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{2.07}. La capacité en 2005 est de 757~MW. $757\times \np{2.07}=\np{1566.99}$. La capacité en 2006 à l'unité près est de 1567~MW. \end{enumerate} \item Calculons le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage. Appelons-le T.\[T=\dfrac{\np{5660}-\np{2455}}{\np{2455}}\approx\np{1.3055}.\] le taux d'évolution global de la capacité de 2007 à 2010, exprimé en pourcentage est d'environ 130,55\,\%. Parmi les équations proposées, celle qui permet de déterminer le taux d'évolution moyen annuel $t$ de 2007 à 2010 est la première car le coefficient multiplicateur global est $1+T$ et la capacité a subi 3 évolutions successives donc $1+T=(1+t)^3$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X} \textbf{a.~~}$(1 + t)^3 = \np{2,3055}$&\textbf{b.~~}\cancel{ $(1 + t)^4 = \np{2,3055}$}&\textbf{c.~~} \cancel{$(1 + t)^3 = \np{1,3055}$}\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose qu'à partir de 2010 le taux d'évolution de la capacité reste égal à 26\,\% par an. \begin{enumerate} \item Pour visualiser l'évolution de la quantité d'électricité fournie par l'ensemble du parc éolien, on utilise la feuille de calcul ci-dessous. \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 \\ \hline 2 &Capacité en MW &\np{5660}&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} } \medskip \begin{enumerate} \item Calculons la capacité en MW en 2011, à l'unité près. \` A un taux d'évolution de 26~\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.26}. La capacité en 2010 est de \np{5660}~MW. $\np{5660}\times \np{1.26}=\np{7131.6}$. La capacité en 2011, à l'unité près est de \np{7132}~MW. \item La formule saisie dans la cellule C2, permettant par recopie vers la droite de compléter les cellules de D2 à H2 peut être =B2*1,26 ou =B\$2*1,26. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie comme suit : $U_{0} = \np{5660}$\: et, pour tout entier naturel $n,\: U_{n}$ est la capacité en MW de l'année\: $2010 + n$. \begin{enumerate} \item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, à savoir 1,26, la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,26} et de premier terme $U_0 =\np{5660}$. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$, par conséquent $U_{n}=\np{5660}\times(\np{1.26})^{n}$ pour tout entier naturel $n$. \item Calculons la capacité fournie en 2016. En 2016, $n=6 \quad U_6=\np{5660}\times (\np{1.26})^6 \approx \np{22648.513}$. La capacité fournie en 2016, à l'unité près est de \np{22649}~MW. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Dans l'un des ateliers d'une usine chimique, la production journalière d'une certaine substance est comprise entre $0$ et $90$ kilogrammes. Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~90], on note $f(x)$ le coût de production, en euros, de $x$ kilogrammes de cette substance. La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~90]. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La courbe $\mathcal{C}$, représentative dans un repère orthogonal de la fonction coût de production $f$, est donnée dans l'annexe. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, \begin{enumerate} \item La production de $40$~kg de la substance coûte à l'usine 300~\euro{}, celle de 80~kg côute 720~\euro{}. \item La production correspondant à un coût de 480~\euro{} est de 60~kg. \item La production maximale pour laquelle le coût n'excède pas 340~\euro{} est de 45~kg. \end{enumerate} \item Un kilogramme de la substance produite est vendu $9$~\euro. La fonction $g$, exprimant la recette en euros pour $x$ kilogrammes vendus, est donc définie sur l'intervalle [0~;~90] par $g(x) = 9x$. Toute la production est vendue et l'entreprise souhaite optimiser son bénéfice. \begin{enumerate} \item La droite d'équation $y=9x$, représentation graphique de la fonction $g$ est tracée sur l'annexe. \item Graphiquement la quantité minimale que l'atelier doit produire et vendre pour qu'il y ait bénéfice est de 20~kg, et la quantité maximale est de 80~kg. Nous lisons les abscisses des points d'intersection de la courbe des recettes et de la courbe des coûts. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la suite, on admet que la fonction coût de production journalier $f$ est définie par : $f(x) = 0,075x^2 + 1,5x + 120$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~90].$ \begin{enumerate} \item Montrons que le bénéfice $B(x)$ réalisé par l'atelier pour la production et la vente journalières de $x$ kilogrammes est donné par : $B(x) = - 0,075x^2 + 7,5x - 120\: \text{pour tout réel }\: x\: \text{de l'intervalle }\: [0~;~90].$ Sachant que le bénéfice est égal à la différence entre les recettes et les coûts, $B(x)=9x-(\np{0,075}x^2+\np{1,5}x+120)$. Par conséquent, $B(x)=-\np{0,075}x^2+\np{7,5}x-120$. Nous avons bien trouvé ce qui était demandé. \begin{enumerate} \item On note $B^{\prime}$ la dérivée de la fonction $B$. $B^{\prime}(x)=-\np{0.15}x+\np{7.5}\: \text{pour tout réel}\: x\: \text{de l'intervalle}\: [0~;~90].$ \item Sur $\R,\: -\np{0.15}x+\np{7.5}>0 \iff x<\np{50}$. Par conséquent $B^\prime(x)>0 \: \text{si }\: x\in[0~;~50[ $ et $B^\prime(x)<0 \: \text{si }\: x\in]50~;~90]$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)\geqslant 0$ alors $f$ est croissante sur $I$. $B^\prime(x)\geqslant 0$ si $x\in[0~;~50]$ donc B est croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \,f'(x)\leqslant 0 $ alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$. $B^\prime(x)\leqslant 0$ si $x\in[50~;~90]$ donc B est décroissante sur cet intervalle. \newpage Dressons le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~90]. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45){$50$}\uput[u](7.75,2.45){$90$} \uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$} \uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.45,0.51){$- 120$}\uput[u](4.5,1.5){$67,5$}\uput[d](7.2,0.55){$-52,5 $} \psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item En lisant le tableau de variations, la quantité de substance que l'atelier doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal est de 50~kg. Le montant de ce bénéfice maximal est de \np{67.5}~\euro{}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Une épidémie due à une bactérie s'est développée dans une grande ville. Afin de lutter contre cette épidémie en distribuant de façon raisonnée un antibiotique adapté, un organisme de santé a mis au point un test de dépistage. On admet que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 15\,\% de la population est contaminée par cette bactérie \item[$\bullet~~$] le test est positif dans $99,6$\,\% des cas pour une personne contaminée par cette bactérie \item[$\bullet~~$] le test est négatif dans $97,6$\,\% des cas pour une personne non contaminée par cette bactérie. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une personne est choisie au hasard dans cette ville. On admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. On considère les événements suivants : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $B$ : \og La personne choisie est contaminée par la bactérie \fg \item $T$ : \og Pour la personne choisie, le test est positif \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \emph{Dans chaque question, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale exacte.} \medskip \begin{enumerate} \item Complétons l'arbre de probabilité correspondant à la situation : \begin{center} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree{\Tdot*~[tnpos=a]{$B$}\taput{$0,15$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\np{0,996}} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\np{0,004}} } \pstree{\Tdot*~[tnpos=b]{$\overline{B}$}\tbput{\np{0,85}}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\np{0,024}} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\np{0,976}} } } \end{center} \item La probabilité que le test soit négatif sachant que la personne choisie est contaminée par la bactérie est notée $p_{B}(\overline{T})$. L'événement contraire est: \og le test est positif sachant que la personne choisie est contaminée par la bactérie\fg {}. \[p_{B}\left(\overline{T}\right)=1-p_{B}(T)=1-\np{0,996}=\np{0,004}.\] \item La probabilité que la personne choisie soit contaminée par la bactérie, et que pour elle le test soit positif est notée $p(B\cap T)$. \[p(B\cap T)=\np{0,15}\times \np{0,996}=\np{0,1494}.\] \item La probabilité que, pour la personne choisie, le test soit positif est notée $p(T)$.\[p(T)=p(B \cap T)+ p\left(\overline{B}\cap T\right)= \np{0,1494}+\np{0,85}\times \np{0,024}=\np{0,1698}\] \item %Dans cette question, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte. Calculons la probabilité que le test donne un résultat faux. Le résultat est faux lorsque la personne choisie est contaminée et le test négatif $\left(B\cap\overline{T}\right)$ ou lorsque la personne n'est pas contaminée et le test est positif $\left(\overline{B}\cap T\right)$. \[p\left(B\cap\overline{T}\right) + p\left(\overline{B}\cap T\right) = \np{0,15}\times\np{0,004} + \np{0,85}\times \np{0,024} = \np{0,021}\] \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe de l'exercice 2\\À compléter et à rendre avec la copie}} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0225cm,arrowscale=2} \begin{pspicture}(-5,-0)(100,900) \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,900)} \multido{\n=0+20}{46}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(100,900) \def\Func{x dup mul 0.075 mul 1.5 x mul add 120 add} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{90}{x dup mul 0.075 mul 1.5 x mul add 120 add} \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 40 def \Func)(!40 /x 40 def \Func)(40,0) \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 60 def \Func)(!60 /x 60 def \Func)(60,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 80 def \Func)(!80 /x 80 def \Func)(80,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red, linewidth=0.95 pt,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 20 def \Func)(!20 /x 20 def \Func)(20,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=green,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 45 def \Func)(!45 /x 45 def \Func)(45,0) \psline[linecolor=red](0,0)(90,810) \rput(-5.8,480){480}\rput(-5.8,180){\color{red}{180}}\rput(-5.8,340){\color{green}{340}}\rput(-5.8,720){\color{red}{720}}\rput(45,-18.8){\color{green}{45}} \end{pspicture} \end{center} \end{document}