\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-bar,pst-func,pst-math,pstricks-add} \usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \makeatletter \def\hlinewd#1{% \noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 % \futurelet\reserved@a\@xhline} \makeatother \usepackage{babel} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies}, pdftitle = {Polynésie - 21 juin 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL spécialité Biotechnologies} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{21 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies ~\decofourright\\[5pt] Polynésie 21 juin 2018}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize \emph{Dans cet exercice, tous les résultats, sauf mention contraire, seront arrondis à $10^{-2}$.} \smallskip \textbf{On rendra les annexes 1 et 2 avec la copie.} \smallskip Le tableau ci-dessous donne la production d’eau potable d’origine souterraine dans un pays, en millions de m$^3$, entre 2004 et 2014 : \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \centering{Année}& 2004& 2006& 2008& 2010& 2012& 2014\\\hline Rang de l’année : $x_i$&0&2& 4& 6& 8& 10\\\hline Volume d’eau potable produit en millions de m$^3$ : $y_i$&7,5 &11,9& 14,5& 15,9& 17& 17,9\\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip On pose : $z_i =- 2 + \ln (y_i)$. } \begin{enumerate} \item En \textbf{annexe 1}, on donne une capture d'écran de tableur correspondant aux données ci-dessus. \begin{enumerate} \item Parmi les formules ci-dessous, indiquer sur la copie, la formule, à entrer dans la cellule B4, qui, recopiée vers la droite, complète la dernière ligne du tableau. \begin{description} \item[Formule 1 :] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= $-$2 + LN(\$B\$3)} \item[Formule 2 :] \psframebox{= $-$2 + LN(B3)} \item[Formule 3 :] \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ = $-$2 + LN(B2)} \end{description} \item Nous avons complété la ligne 4 du tableau de l’\textbf{annexe 1}. \end{enumerate} \item Le nuage de points $M_i (x_i~;~z_i)$ est représenté dans le repère du plan donné en \textbf{annexe 2} . \item Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et plaçons-le dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} 2}. Le point moyen est le point G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{z})$. \[\overline{x}_G=\dfrac{0+2+\dots+8+10}{6}=5 \quad \overline{z}_G=\dfrac{\np{0.02}+\np{0.48}+\dots+\np{0.83}+\np{0.88}}{6}\approx\np{0.61}\] G~(5~;~\np{0.61}) \item On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points par la droite D d’équation $z = ax + b$ , obtenue par la méthode des moindres carrés. \begin{enumerate} \item À l’aide de la calculatrice, les valeurs de $a$ et $b$ arrondies à $10^{-3}$ sont respectivement \np{0.079} et \np{0.214}. \end{enumerate} \emph{Pour la suite de l’exercice, on prendra $z = 0,08x + 0,21$ pour équation de la droite D}. \begin{enumerate}[resume] \item La droite D est tracée sur \textbf{l’annexe 2}. \item Déterminons avec ce modèle d’ajustement, l’année à partir de laquelle le volume d’eau potable d’origine souterraine produit atteindra 24 millions de m$^3$. Calculons la valeur de $z$ correspondant à un volume de 24 millions de m$^3$. $z=-2+\ln 24\approx \np{1.178}$. Déterminons l'abscisse du point de la droite d'ordonnée \np{1.178}. Résolvons $\np{1.178}=\np{0.08}x+\np{0.21}$. Il en résulte $x=\dfrac{\np{1.178}-\np{0.21}}{\np{0.08}}\approx \np{12.1}$. Nous pouvons estimer qu'à partir de 2017 (2004+13) le volume d’eau potable d’origine souterraine produit atteindra 24 millions de m$^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill5 points} \vspace{0.5cm} {\footnotesize \emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.} \medskip Une entreprise fabrique des lames de microscope. Une enquête permet d’estimer que la probabilité qu’une lame de microscope, prélevée au hasard dans la production, ne soit pas conforme au cahier des charges est égale à 0,05. \smallskip On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 200 lames de microscope dans la production, associe le nombre de lames de microscope qui ne sont pas conformes au cahier des charges. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler chaque prélèvement à un tirage avec remise. \smallskip On prélève au hasard 200 lames de microscope.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \label{normal} Il est prélevé de façon indépendante $200$ lames de microscope et la probabilité à chaque tirage d'avoir une lame non conforme est de $0,05$ : la variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,05$. %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculons l’espérance mathématique de $X$. $\mathbb{E}(X)=np$ d'où $\mathbb{E}(X)=200\times \np{0.05}=10$. Calculons maintenant l’écart type de $X$. $\sigma_{X}=\sqrt{np(1-p)}$ d'où $\sigma_X=\sqrt{200\times \np{0.05}\times (1-\np{0.05})}\approx\np{3.08}$. \item La probabilité de l’événement suivant : \og Exactement 6 lames de microscope parmi les 200 ne sont pas conformes au cahier des charges \fg est $P(X=6)$. À la calculatrice, nous trouvons, arrondi à $10^{-2}, \ P(X=6)\approx \np{0.06}$. \item L’entreprise ne peut pas garantir à ses clients qu’au maximum 1 lame de microscope parmi les 200 n’est pas conforme au cahier des charges. En calculant la probabilité que X soit inférieur à 1, nous trouvons $P(X\leqslant 1)\approx \np{4.04 E-4}$, donc une probabilité presque nulle c'est-à-dire la probabilité d'un événement quasi impossible. \end{enumerate} \item On décide d’approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance \textmu=10{} et d’écart type $\sigma= 3,08$ . \begin{enumerate} \item Les conditions $n\geqslant 30$, $np>5$ et $np(1-p)>5$ sont vérifiées, par conséquent la loi binomiale peut être approximée par la loi normale de paramètres \textmu $=np$ et $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$. Les valeurs choisies sont celles obtenues à la question \ref{normal}. %Justifier le choix des valeurs prises par \textmu{} et $\sigma$. \item Déterminons à la calculatrice, la probabilité $P(7 \leqslant Y \leqslant 10)$. Nous trouvons alors environ \np{0.67}. Le résultat obtenu est la probabilité que dans le lot prélevé, il y ait entre sept et dix lames non conformes. \end{enumerate} \item Le responsable de la chaîne de production annonce au directeur de l’entreprise que 5\,\% des lames de microscope produites ne sont pas conformes au cahier des charges. \begin{enumerate} \item L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des lames de microscope qui ne sont pas conformes pour un échantillon de 250 lames de microscope produites est \[\Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~;~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\] $\Bigg[\np{0.05} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.05} (1- \np{0.05} )}{250}}~ ;~ \np{0.05} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.05} (1- \np{0.05})}{250}}\Bigg]\approx \big[\np{0.049}~;~\np{0.051}\big]$ {\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$} \item Un contrôleur qualité de l’entreprise prélève un échantillon de 250 lames de microscope produites dans lequel il trouve 17 lames qui ne sont pas conformes. La fréquence de lames de microscopes qui ne sont pas conformes est $\dfrac{17}{250}=\np{0.07}$. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, nous pouvons dire, que la proportion de lames de microscopes qui ne sont pas conformes est significativement plus élevée que dans l'annonce du responsable de chaîne puisque la proportion n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. Cet échantillon remet en cause l’annonce du responsable de la chaîne de production. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 6 points} \vspace{0.5cm} {\footnotesize Un sportif fait le test suivant : il court à une vitesse de \np[km\cdot h^{-1}]{6} , on déclenche alors un chronomètre à $t =0$ minute, puis le sportif augmente sa vitesse de 10\,\% chaque minute, jusqu’à arrêt de l’effort. En parallèle, un dispositif permet d’évaluer sa production d’acide lactique après chaque minute d’effort. (\emph{L’acide lactique est un déchet qui se forme dans les cellules privées d’oxygène et qui limite les performances physiques.}) } \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la vitesse, en km$\cdot \mathrm{h}^{-1}$, de ce sportif, $n$ minutes après le déclenchement du chronomètre. On a : $v_0 = 6$. \begin{enumerate} \item À une augmentation de 10\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{10}{100}$ soit \np{1.1}. Passant d'un terme au suivant en le multipliant par \np{1.1}, la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.1} et de premier terme $v_0 = 6$. %Préciser les valeurs de son premier terme et de sa raison. \item La vitesse de ce sportif 5 minutes après le déclenchement du chronomètre est $v_5$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. Il en résulte : $v_5=6\times (\np{1.1})^5 \approx \np{9.663}$. La vitesse de ce sportif 5 minutes après le déclenchement du chronomètre, arrondie à \np[km\cdot h^{-1}]{0,1} est d'environ $\np[km\cdot h^{-1}]{9.7}$. \item On considère l’algorithme suivant : \medskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline $n\longleftarrow 0$\\ $v\longleftarrow 6$\\ Tant que $v \leqslant 12$\\ \hspace{2em}$n\longleftarrow n +1$\\ \hspace{2em}$v\longleftarrow 1,1\times v$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Donnons, dans un tableau, les valeurs successives prises par les variables $n$ et $v$ lors du déroulement de l’algorithme. %jusqu’à l’arrêt de celui-ci. Les valeurs prises par $v$ seront arrondies à $10^{-1}$. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.35cm}|*{10}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline $v$&6&\np{6.6}&\np{7.3}&\np{8.0}&\np{8.8}&\np{9.7}&\np{10.6}&\np{11.7}&\np{12.8}&\\\hline &vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&fausse&\\\hline \end{tabularx} \smallskip \item La valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme est 8. La vitesse de ce sportif huit minutes après le déclenchement du chronomètre, est supérieure à \np[km\cdot h^{-1}]{12}. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize On estime que la production d’acide lactique de ce coureur lors de l’effort est modélisée par une fonction $f$ définie sur $[0~;~13]$. Cette fonction qui au temps $t$, exprimé en minutes, associe la production d’acide lactique du coureur, exprimée en millimole par litre, à l’instant $t$, est une solution de l’équation différentielle (E) :$ y'-0,17y = 0 $ sur l’intervalle $[0~;~13]$.} \begin{enumerate} \item Résolvons l’équation différentielle (E) sur $[0~;~13]$. Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur $\R$ sont les fonctions $y$ définies par $y(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est une constante quelconque. $a=-\np{0.17} $ par conséquent sur $\R$ \emph{a fortiori} sur [0~;~13] $f(t)=C \e^{\np{0.17}t}$ où $C$ est une constante quelconque. \item Sachant que $f (0) = 2$, déterminons l'expression de $f (t)$ pour tout $t$ de $[0~;~13]$. $f(0)=C\e^{\np{0.17}\times 0}=2$ d'où $C=2$. \[t\in[0~;~13],\ f(t)=2\e^{\np{0.17}t}.\] \item Pour la suite de l’exercice, on prend pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0~;~13]$, $ f (t )= 2\e^{0,17t}$ . \begin{enumerate} \item $f'(t)=2\times(\np{0.17})\,\e^{\np{0.17}t}=\np{0.34}\e^{\np{0.17}t}$. Étudions le signe de $f'(t)$. $f'(t)>0$ comme produit de nombres réels strictement positifs. Si pour tout $x\in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$ Sur $[0~;~13], \ f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. % En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~13]$. \item La courbe représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous. % sur papier millimétré, dans un repère % orthonormé d’unités \np[cm]{1} pour 1 minute sur l’axe des abscisses et \np[cm]{1} pour 1 millimole % par litre sur l’axe des ordonnées. \begin{center} \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13.5,20) \multido{\n=0+0.1}{190}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(13,\n)} \multido{\n=0+0.1}{130}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,19)} \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,19)} \multido{\n=0+1}{20}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(13.7,19) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{13}{ 2.71828 x 0.17 mul exp 2 mul} \uput[u](13.5,0){$t$ en min}\uput[ur](0,19){$y$ en millimole/$\ell$}\uput[dl](0,0){O} \psset{arrowscale=2} \def\Func{2.71828 x 0.17 mul exp 2 mul} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 11.852 def \Func)(!11.852 /x 11.852 def \Func)(11.852,0) \end{pspicture}} \end{center} \item On estime que le sportif arrête son effort lorsque le taux d’acide lactique dépasse 15 millimoles par litre. Afin de déterminer au bout de combien de minutes ce sportif arrêtera son effort, résolvons $f(t)\geqslant 15$. \begin{minipage}[]{6cm} \begin{align*} 2\,\e^{\np{0.17}t}&\geqslant 15\\ \e^{\np{0.17}t}&\geqslant \np{7.5}\\ \ln(\e^{0.17t})&\geqslant \ln(\np{7.5})\\\end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}[]{6cm} \begin{align*} \np{0.17}t&\geqslant \ln(\np{7.5})\\ t&\geqslant\dfrac{\ln(\np{7.5})}{\np{0.17}}\\ \end{align*} \end{minipage} $\dfrac{\ln(\np{7.5})}{\np{0.17}}\approx\np{11.852}$ Au bout de douze minutes, ce sportif arrêtera son effort. Il courrait alors à la vitesse de \np[km\cdot h^{-1}]{18.8} $\left(6\times \np{1.1}^{12}\right)$. %On donnera ce résultat à la minute supérieure et on évaluera alors la vitesse obtenue à \end{enumerate} \item Un autre sportif, produisant moins d’acide lactique, est soumis au même test. Son taux d’acide lactique est donné par la fonction $g$ définie sur $[0~;~13]$ par $g(t) = 2\e^{kt}$ où $k$ est un réel positif. En comparant cette situation avec la précédente, nous pouvons dire que le coefficient $k$ est inférieur à \np{0.17}. Pour tout $t$, $g(t)\leqslant f(t)$ donc $2\e^{kt}\leqslant 2\e^{\np{0.17}t}$ soit encore $kt\leqslant \np{0.17}t$. Cela justifie l'affirmation donnée. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill 4 points} \vspace{0.5cm} {\footnotesize Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~3]$ par $f( x)=x\e^ {-x^2}$, $f'$ sa fonction dérivée. On nomme $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d’origine $O$. Soit le point $B(0,5~;~0,5)$. La droite $(OB)$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $O$. On nomme $I$ l’aire située entre la courbe $(\mathcal{C})$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x =1$. Ci-dessous, on a représenté la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(OB)$ : \begin{center} \psset{xunit=2.8cm,yunit=9.2cm,comma=true} \definecolor{cosmiclatte}{rgb}{1.0, 0.97, 0.91} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(4,0.8) \psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.8,-0.05)(3.5,0.7) \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{3}{ 2.71828 x 2 exp neg exp x mul} \psplot[linewidth=0.65pt,linecolor=cyan,plotpoints=2000]{-0.05}{0.63}{x } \uput[ur](0.5,0.5){B}\uput[u](1.4,0.22){$\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){$O$} \psdot[dotstyle=+,dotscale=1.6, dotangle=45](0.5,0.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cosmiclatte]{ \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{ 2.71828 x 2 exp neg exp x mul} \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cosmiclatte](1,0.367879)(1,0) } \multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,-0.05)(\n,0.65)} \multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](-0.85,\n)(3.4,\n)} \end{pspicture} \end{center} On donne les résultats suivants sur la fonction $f$ (il n’est pas demandé de justifier ces résultats) : \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline \raisebox{3ex}{} Dérivée de $f$ sur $[0~;~3]$ :\\ \hspace{2em}$f'(x)=(1-2x^2)\e^{-x^2}$\\ Primitives $F$ de $f$ sur $[0~;~3]$ :\\ \hspace{2em} $F(x)=-\dfrac{\e^{-x^2}}{2}+k, \quad k\in R$\\ \raisebox{-0.5ex}{}\\ \hline \end{tabular} \end{center} Ci-dessous, on donne quatre affirmations concernant cette fonction $f$. Indiquer sur la copie si l’affirmation proposée est vraie ou fausse. \textbf{Toute réponse sera justifiée.} } \begin{description} \item[Affirmation 1 :] $f'(0)=1$.\\ Affirmation vraie : $f'(0)=(1-2\times 0^2)\e^{-0^2}=1$ {\footnotesize \emph{Remarque:} le coefficient directeur de la droite (OB) est 1 $(\frac{\np{0.5}}{\np{0.5}}=1)$. C'est le nombre dérivé en 0.} \item[Affirmation 2 :] pour tout $x$ appartenant à $[0~;~3]$, $f'(x)\geqslant 0$. Affirmation fausse : la fonction est décroissante sur [1~;~2] par conséquent la dérivée est négative sur cet intervalle. {\footnotesize \emph{Remarque :} Il n'est pas nécessaire de définir le plus grand intervalle sur lequel la fonction est décroissante. } \item [Affirmation 3 :] l’aire $I$ est supérieure à 0,15 unité d'aire. Affirmation vraie : La fonction $f$ étant positive sur [0~;~1] l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$ est $\displaystyle \int_0^1f(t)\mathrm{d}t$. $I=\left[-\dfrac{\e^{-x^2}}{2}\right]_0^1 = F(1)-F(0)=-\dfrac{\e^{-1^2}}{2}-\left(-\dfrac{\e^{-0^2}}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\e^{-1}}{2}\approx \np{0.316}$. {\footnotesize \emph{Remarque :} Nous aurions pu compter les rectangles sous la courbe. L'aire d'un rectangle est 0,05 unité d'aire, il en fallait au moins 3.} \item[Affirmation 4 :] la primitive $G$ de la fonction $f$ qui s’annule en 0 est définie pour tout $x$ de $[0~;~3]$ par $G(x)=-\dfrac{\e^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}$. Affirmation vraie : Déterminons $k$ tel que $F(0)=0$. $-\dfrac{\e^{-0^2}}{2}+k=0$ soit $-\dfrac{1}{2}+k=0$ d'où $k=\dfrac{1}{2}$ La primitive $G$ de $f$ qui s'annule en 0 est définie par $x\mapsto -\dfrac{\e^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}$. \end{description} \newpage \textbf{ANNEXE 1} \medskip \renewcommand\arraystretch{1.6} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &\centering{A} &\cellcolor{yellow}B&C&D&E&F&G\\\hline 1&Année &2004&2006 &2008&2010&2012&2014\\\hline 2&rang de l'année: $x_i$&0 &2 &4 & 6 & 8 & 10\\\hline 3&Volume d'eau potable produit en millions de m$^3$ : $y_i$ &\np{7.5}&\np{11.9}&\np{14.5}&\np{15.9}&\np{17}&\np{17.9}\\\hline 4&\centering{$z_i$} &\np{0.01}&\np{0.48}&\np{0.67}&\np{0.77}&\np{0.83}&\np{0.88}\\\hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{ANNEXE 2} \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=6cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-0.15)(21,2.2) \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,2)} \multido{\n=0.0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.9,-0.09)(20,2) \uput[ul](20,0){$x$}\uput[dr](0,2){$z$}\uput[dl](0,0){O} \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.8,dotangle=45](0,0.02)(2,0.48)(4,0.67)(6,0.77)(8,0.83)(10,0.88) \psdot[dotstyle=square,dotscale =1.8,dotangle=45,fillcolor=red](5,0.608) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 0.08 mul 0.21 add} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 0.08 mul 0.21 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 12.1 def \Func)(!12.1 /x 12.1 def \Func)(12.1,0) \end{pspicture} \end{center} \end{document}