\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Denis Vergès %Corrigé : François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {G1SSMAT02654}, pdftitle = {e3c}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.3} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma %\frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Première série générale} \lfoot{\small{Amérique du Nord - Corrigé}} \rfoot{\small{2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat Première Amérique du Nord~\decofourright\\[6pt]série générale e3c \no 1 -- 2021 }} \end{center} \vspace{0,7cm} \textbf{ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - Première générale} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip %Ce QCM comprend 5 questions. % %\emph{Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. %Les questions sont indépendantes.\\ %Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au %brouillon pour aider à déterminer votre réponse.\\ %Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.} % %\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|X|X|X|}\hline \textbf{1.} &\multicolumn{4}{|l|}{Pour tout réel $x$,\, $\text{e}^{2x} + \text{e}^{4x}$ est égal à} \\ \hline &\textbf{a.} $\text{e}^{6x}$ &\textbf{b.} $\text{e}^{2x}\left(1 + \text{e}^{2}\right)$ &\textbf{c.} $\text{e}^{3x}\left(\text{e}^{x} + \text{e}^{-x} \right)$ &\textbf{d.} $\text{e}^{8x^2}$ \\ \hline \textbf{2.} &\multicolumn{4}{l|}{Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les }\\ & \multicolumn{4}{l|}{vecteurs $\vect{u}(-5~;~2)$ et $\vect{v}(4~;~10)$ et la droite $(d)$ d'équation : $5x + 2y + 3 = 0$.} \\ \hline &\textbf{a.} $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont\newline colinéaires&\textbf{b.} $\vect{u}$ est un\newline vecteur normal à la droite $(d)$ &\textbf{c.} $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont\newline orthogonaux&\textbf{d.} $\vect{u}$ est un\newline vecteur directeur de $(d)$\\ \hline \textbf{3.} & \multicolumn{4}{p{8cm}|}{La dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x - 1)\e^{-x}$ est :} \\ \hline &\textbf{a.} \small $2x\e^{-x}$ &\textbf{b.} \small $- 2\e^{-x}$ &\textbf{c.} \small $(- 2x + 3)\e^{- x}$ &\textbf{d.} \small $2\e^{-x} + (2x - 1)\e^{-x}$\\ \hline \textbf{4.} &\multicolumn{4}{l|}{Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi + x) =$}\\ \hline &\textbf{a.} $-\sin (x)$&\textbf{b.} $\cos (x)$ &\textbf{c.} $ \sin (x)$&\textbf{d.} $-\cos (x)$ \\ \hline \begin{pspicture*}(0,0)(0.4,5.25) \uput[r](-0.1,4.8){\textbf{5.}} \end{pspicture*} &\multicolumn{2}{p{5cm}|}{ \vspace{-4cm}Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-contre. La tangente à la courbe au point A est la droite $T$.}& \multicolumn{2}{|l|}{ \psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-1,-2.5)(6,4.5) \psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](-1,-3)(6,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.99,-3)(6,4) \psplot[plotpoints=500]{-0.2}{1.5}{3 x 5 mul sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{6}{0.9 x sub 3.3333 mul 2.71828 x 0.45 mul exp div} \uput[l](1,-2){$(T)$} \uput[u](3.5,-1.9){$\blue \mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} } \\ \hline &\textbf{a.} $f'(0) = 3$ &\textbf{b.} $f'(0) =\dfrac{1}{5}$\rule[-12pt]{0pt}{30pt} &\textbf{c.} $f'(0) = 5$ &\textbf{d.} $f'(0) = - 5$\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Solutions} \smallskip \textbf{1. c.} $\e^{3x}\left (\e^{x}+\e^{-x}\right ) = \e^{4x}+\e^{2x}$ \medskip \textbf{2. c.} $\vect{u}\cdot\vect{v} = -4\times 5 + 2\times 10 = -20+20=0$ donc $\vect u \perp \vect v$ \medskip \textbf{3. c.} $f(x) = (2x - 1)\e^{-x}$ donc $f'(x)= 2\times \e^{-x} + (2x-1) \times (-1)\e^{-x} = (2 - 2x +1)\e^{-x} = (-2x+3)\e^{-x}$ \medskip \textbf{4. a.} Les points correspondant à $x$ et $\pi+x$ sur le cercle trigonométrique sont diamétralement opposés donc $\sin(\pi+x) = - \sin(x)$. \medskip \textbf{5. d.} $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ qui passe par les points de coordonnées $(0~,~3)$ et $(1~,~-2)$; donc $f'(0) = \dfrac{-2-3}{1-0}=-5$. \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip La population d'une ville A augmente chaque année de 2\,\%. La ville A avait \np{4600} habitants en 2010. La population d'une ville B augmente de 110 habitants par année. La ville B avait \np{5100} habitants en 2010. Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l'année $2010 + n$. \medskip \begin{enumerate} \item% Calculer le nombre d'habitants de la ville A et le nombre d'habitants de la ville B à la fin de l'année 2011 \begin{list}{\textbullet}{À la fin de 2011:} \item Le nombre d'habitants de la ville A est: \\[5pt] $u_1=u_0 + u_0\times \dfrac{2}{100}= \np{4600} + \np{4600}\times \dfrac{2}{100}= \np{4692}$. \item Le nombre d'habitants de la ville B est: $v_1=v_0+110 = \np{5100}+110 = \np{5210}$. \end{list} \item% Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ? \begin{list}{\textbullet}{} \item Ajouter $2\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100}=1,02$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{4600}$. \item On passe de $v_n$ à $v_{n+1}$ en ajoutant $110$, donc la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=110$ et de premier terme $v_0=\np{5100}$. \end{list} \item %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d'habitants de la ville A en 2020. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{4600}$ donc, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=u_0\times q^n = \np{4600}\times 1,02^n$. Le nombre d'habitants dans la ville A en 2020 est: $u_{10}=\np{4600}\times 1,02^{10}\approx \np{5607}$. \item %Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d'habitants de la ville B en 2020. La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=110$ et de premier terme $v_0=\np{5100}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=u_0 + n\times r = \np{5100} + 110n$. Le nombre d'habitants dans la ville B en 2020 est: $v_{10}= \np{5100}+110\times 10 = \np{6200}$. \item On complète l'algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d'années la population de la ville A dépasse celle de la ville B. \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \fbox{ \begin{tabular}{l} def année () : \hspace*{3cm}\\ \quad $u =\np{4600}$\\ \quad $v =\np{5100}$\\ \quad $n = 0$\\ \quad while $\blue u \leqslant v$\\ \qquad $u = \blue u \times 1,02$\\ \qquad $u = \blue v + 110$\\ \qquad $n = \blue n+1$\\ \quad return $n$\\ \end{tabular} } \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 5 points} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~26] par $h(x) = - x^3 + 30x^2 - 108x - 490.$ \smallskip \begin{enumerate} \item %Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$. $h'(x) = -3 x^2 +30 \times 2x - 108 = -3x^2 +60 x - 108$ \item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ et $\mathcal{C}'$ celle de $h'$. \begin{enumerate} \item %Identifier $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ proposées. La courbe $\mathcal C$ représentant la fonction $h$ est la courbe $\mathcal{C}_2$. La courbe $\mathcal{C}'$ représentant la fonction $h'$ est la courbe $\mathcal{C}_1$. \item% Justifier le choix pour $\mathcal{C}'$. $h(0)=-490$ donc la courbe $\mathcal{C}_2$ représente la fonction $h$; on peut donc voir que la fonction $h$ est décroissante, puis croissante, puis décroissante. La fonction dérivée $h'$ sera donc négative, puis positive, puis négative. Elle est donc représentée par la courbe $\mathcal{C}_1$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.003cm} \begin{pspicture*}(-8,-600)(28,1500) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=200]{->}(0,0)(-7.99,-599)(28,1500) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-8}{28}{x dup mul 30 mul x 3 exp sub 108 x mul sub 490 sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-8}{28}{60 x mul x dup mul 3 mul sub 108 sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-8}{28}{60 x mul x dup mul 3 mul sub 108 sub neg} \uput[ul](12,806){$\red \mathcal{C}_2$} \uput[ur](14,144){$\blue \mathcal{C}_1$} \uput[d](12,-200){$\mathcal{C}_3$} \end{pspicture*} \end{center} \item Soit $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. %Déterminer son équation réduite. La droite $(T)$ a pour équation réduite: $y= h'(0)\left (x-0\right ) + h(0)$. $h(0)= -490$ et $h'(0) = -108$ La droite $(T)$ a donc pour équation réduite: $y= -108x - 490$. \item %Étudier le signe de $h'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur [0~;~26]. $h'(x) = -3x^2+60x-108$ est un polynôme de degré 2 dont le discriminant est\\ $\Delta = b^2-4ac = 60^2 - 4\times (-3)\times (-108) = \np{2304}=48^2$ Ce polynôme admet donc deux racines:\\ $x'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-60+48}{-6}=2$ et $x''=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-60-48}{-6}=18$ On en déduit le signe de $h'(x)$ puis le sens de variation de $h$. $h(0)=-490$, $h(2)=-594$, $h(18)=1454$ et $h(26)=-594$ \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & 0 & \esp & 2 & \esp & 18 & \esp & 26 \\ \hline h'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \Rnode{max1}{-490} & & & & \Rnode{max2}{\np{1454}} & & \\ h(x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min1}{-594} & & & & \Rnode{min2}{-594} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{max2}{min2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \medskip Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l'autre quart. Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que : \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 2\,\% des aiguilles du site A sont défectueuses ; \item[$\bullet~~$] 4\,\% des aiguilles du site B sont défectueuses. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots. On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les évènements suivants: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : l'aiguille provient du site A ; \item[$\bullet~~$]$B$ : l'aiguille provient du site B ; \item[$\bullet~~$]$D$ : l'aiguille présente un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} L'évènement contraire de $D$ est noté $\overline{D}$. \medskip \begin{enumerate} \item% D'après les données de l'énoncé, donner la valeur de la probabilité de l'évènement $A$ que l'on notera $P(A)$. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles donc $P(A)=0,75$. \item On complète l'arbre de probabilités ci-dessous: \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3.5cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,75$}} {\TR{$D$}\naput{$0,02$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,98$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,25$}} {\TR{$D$}\naput{$0,04$} \TR{$\overline{D}$}\nbput{$0,96$} } } \end{center} \item La probabilité que l'aiguille ait un défaut et provienne du site A est:\\ $P(A\cap D) = 0,75\times 0,02 = 0,015$. \item D'après la formule des probabilités totales:\\ $P(D) = P(A \cap D) + P\left (\overline{A}\cap D\right ) = 0,75\times 0,02 + 0,25\times 0,04 =0,025$. \item Après inspection, l'aiguille choisie se révèle défectueuse. La probabilité qu'elle ait été produite sur le site A est:\\ $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,015}{0,025} = 0,6$. \end{enumerate} \end{document}