\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} \usepackage{esvect} %\usepackage{pgf,tikz,tkz-tab} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=2cm, bottom=2.5cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Polynésie 5 mai 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{5 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat spécialité Polynésie 5 mai 2022}} \bigskip L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé \end{center} \medskip Le sujet propose 4 exercices Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et \textbf{ne doit traiter que ces 3 exercices} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, primitives, probabilités} \medskip %\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\ %Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ %Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ %Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\ %Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ par: \[f(x) = x \ln(x) - x + 1.\] La fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables. On a alors $f'(x)=1\ln(x)+x \times \dfrac{1}{x}-1=\ln(x)+1-1=\ln(x)$ soit la réponse a. \item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x^2[1 - \ln (x)]$. On peut écrire $g(x) = x^2[1 - \ln (x)]=x^2-x^2\ln(x)$. On a : $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\ln(x) = 0$ d'après une propriété du cours sur les croissances comparées. On aura donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = 0$ soit la réponse c. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 0,9x^2 -0,1x$. %Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$ est : %la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme. % %On a $f'(x)=3x^2-1,8x-0,1$. %l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions distinctes : $x_1=\dfrac{9-\sqrt{111}}{30}\approx -0,05$ et $x_2=\dfrac{9+\sqrt{111}}{30}\approx 0,65$. % %On a de plus $f(x_1) \approx 0,002$ et $f(x_2)\approx -0,17$ % %On a $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0} x^3) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0} x^3) = + \infty$ % %On peut donc construire le tableau de variation suivant : % % \begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit[lgt=2,espcl=4]{$x$/1,signe de $f'(x)$/1,variation de $f$/1}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$} %\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,} %\tkzTabVar{- /$-\infty$,+/$f(x_1)$,-/$f(x_2)$,+/$+\infty$} %\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{0} %\tkzTabVal[draw]{1}{4}{0.5}{$\beta$}{0} %\tkzTabVal[draw]{1}{4}{0.8}{$\gamma$}{0} %\end{tikzpicture} %\end{center} % %Comme $f$ est continue sur $\R$, en utilisant trois fois le théorème des valeurs sur les intervalles où la fonction $f$ est monotone, on peut affirmer que l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions soit la réponse d. $f(x) = x\left(x^2 - 0,9x - 0,1 \right)$, donc $f(x) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} x&=&0\\ x^2 - 0,9 x - 0,1&=&0 \end{array}\right.$ Pour l'équation du second degré $x^2 - 0,9 x - 0,1 = 0$, $\Delta = 0,81 + 0,4 = 1,21 = 1,1^2$. Cette équation a donc deux solutions distinctes $x_2 = \dfrac{0,9 + 1,1}{2} = 1$ et $x_3 = \dfrac{0,9 - 1,1}{2} = - 0,1$. Conclusion l'équation a trois solutions : $- 0,1\: ;\: 0\: ;\: 1$. Réponse d. \item Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\R$, et si $k$ est la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\R$ par : Pour montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, il suffit de la dériver. Soit $K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)$. $K$ est dérivable comme composée de fonction dérivable et $K'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2H'(2x)=k(x)$. car $H'(x)=h(x)$ car $H$ est une primitive de $h$. D'où la réponse c. \item L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$ est: $f$est une fonction dérivable comme produit de fonction dérivable. La tangente en $x=1$ aura alors comme équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$. $f(1)=\e$ et comme $f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x, \: \:f'(1) = 2\text{e}$. L'équation de la tangente est donc $y=2\e(x - 1) + e$ ou $y = 2\e x - 2\e + \e$ ou $y = 2\e x - \e$ soit la réponse b. \item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $(0,2)^n < 0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : Il faut résoudre l'inéquation : $(0,2)^n < 0,001 \iff n\ln(0,2)<\ln(0,001) \iff n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}$. Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)} \approx 4,29$. Le plus petit entier vérifiant $n > 4,29$ est 5 d'où la réponse d. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 7 points\hfill Thèmes : probabilités} \medskip Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 20\,\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ; \item[$\bullet~~$] 2\,\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ; \item[$\bullet~~$] 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants: \setlength\parindent{10mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $C$: \og le casque est contrefait \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $D$: \og le casque présente un défaut de conception \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $\overline{C}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $C$ et $D$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. Soit l'arbre pondéré suivant : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt,treesep=1cm,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$C$~}\taput{$0,2$}} {\TR{$D$}\taput{$0,1$} \TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,9$} } \pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{$0,8$}} {\TR{$D$}\taput{$0,02$} \TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,98$} } } \end{center} On a $P(C \cap D)= P(C) \times P_C(D) = 0,2\times 0,1 = 0,02$. \item Démontrer que $P(D) = 0,036$. $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers, d'après les probabilités totales, $P(D) = p(C \cap D) +P\left(\overline{C} \cap D\right) = 0,2 \times 0,1 + 0,8\times 0,02 = 0,02 + 0,016 = 0,036$. \item Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ? On cherche $P_D(C)=\dfrac{P(D \cap C)}{P(D)}=\dfrac{0,02}{0,036}=\dfrac{5}{9} \approx 0,556$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, $n = 35$. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,~p)$ où $n = 35$ et $p = 0,036$. Comme l'expérience est assimilé à un tirage avec remise, on peut considérer que les 35 tirages sont indépendants. Le succès est le casque a un défaut de conception, soit la probabilité $p = 0,036$. On a bien une loi binomiale de paramètre $n=35$ et $p=0,06$ \item Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception. On cherche $P(X = 1)=\binom{35}{1}0,036^1\times (1 - 0,036)^{35}\approx 0,362$ \item Calculer $P(X \leqslant 1)$. $P(X \leqslant 1)= P(X = 0) + P(X = 1) = (1,036)^{35}+\binom{35}{1}0,036^1\times (1-0,036)^{35} \approx 0,639$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n$ n'est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieur à $0,99$ ? On veut $P(Y\geq 1)> 0,99 \iff 1-P(Y=0) >0,99 \iff (1-0,036)^n<0,01 \iff n\ln(0,964)<\ln(0,01) \iff n > \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \iff n >125,6$ donc il faut commander au moins 126 casques. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 7 points\hfill Thèmes : suites, fonctions} \medskip Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait $40$ individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&40\\u_{n+}&=&0,008u_n\left(200 - u_n\right) \end{array}\right.\] où $u_n$ désigne le nombre d'individus au début de l'année $(2021+n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022. On calcule $u_1 = 0,008u_0(200- u_0) = 51,2$ car le rang 1 correspond à la population d'oiseaux pour l'année 2022. On peut donc estimer qu'il y aura 51 animaux au début de 2022. \end{enumerate} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par $f(x) = 0,008x(200 - x)$. \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~100] l'équation $f(x) = x$. \begin{align*} f(x) = x &\iff 0,008x(200-x) = x \\ &\iff x(0,008(200-x)-1)=0 \\ &\iff x(0,6-0,008x)=0 \\ &\iff x=0 \text{~ou~} x=75 \end{align*} $S = \left\{0~;~75 \right\}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~100] et dresser son tableau de variations. La fonction $f$ est dérivable comme produit et sommes de fonctions dérivables sur $[0~;~100]$. $f'(x)=0,008(200 - x) - 0,008x = -0,016x + 1,6$, d'où $f'(x) > 0 \iff 1,6 > 0,016x \iff x < 100$. On a donc $f'(x) > 0$ sur [0~;~100] : la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle. %d'où le tableau de variations sur $[0~;~100]$ : Sur l'intervalle [0~;~100], la fonction $f$ croît de $f(0) = 0$ à $f(100) = 80$. % \begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[lgt=2,espcl=4]{$x$/1,signe de $f'(x)$/1,variation de $f$/2}{$0$,$100$} % \tkzTabLine{,+,} % \tkzTabVar{-/$0$,+/$80$} % \end{tikzpicture} % \end{center} \item En remarquant que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : Soit $P_n$ la relation \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100.\] \emph{Initialisation} : On a vu que $u_0 = 40$ ; $u_1\approx 51$, on a donc $0\leqslant 40 \leqslant 51,2 \leqslant 100$ ; $P_0$ est donc vraie. \emph{Hérédité }: Soit $n \in \N$. Supposons $P_n$ vraie, soit $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 100$ Par croissance de la fonction $f$ sur $[0~;~100]$on a donc $f(0) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f(100)$. Comme $f(0) = 0$ et $f(100) = 80$, on a donc $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 80 < 100$ et enfin $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 100$ $P_{n+1}$ est donc vraie. Conclusion : La propriété $P_n$ est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle est vraie au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. La suite est croissante est majorée par 100 : elle est donc convergente vers une limite $\ell \leqslant 100$. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. La fonction $f$ est continue sur $[0~;~100]$ car elle est dérivable. Comme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, la limite $l$ de la suite est donc solution de l'équation $f(\ell)=\ell$ sur l'intervalle $[0~;~100]$. D'après la question 2., $\ell = 0$ ce qui n'est pas possible puisque $u_0 = 40$, ou alors $\ell = 75$. À long terme le nombre d'oiseaux plafonnera à 75. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \fbox{\begin{tabular}{l} def seuil(p) :\\ \qquad n=0\\ \qquad u = 40\\ \qquad while u < p :\\ \quad \qquad n =n+1\\ \quad \qquad u = 0.008*u*(200-u)\\ \qquad return(n+2021)\\ \end{tabular}} \end{center} L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3. Comme la limite de la suite est 75, toutes les valeurs de $u_n$ seront inférieure à 75 et par conséquent à 100, l'exécution de seuil(100) \og tournera \fg{} indéfiniment. La boucle while est donc infinie. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 7 points\hfill Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace} \medskip On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;\, \vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$. Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG]. \begin{center} \psset{unit=0.9cm,radius=0pt} \begin{pspicture}(0,-1)(9,7) %\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] %%%%%%%%%%%%%%%%% \Cnode*(0.5,0.4){A} \Cnode*(5.5,0){B} \Cnode*(7.5,1.4){C} \Cnode*(2.5,1.8){D} \Cnode*(0.5,5.4){E} \Cnode*(5.5,5){F} \Cnode*(7.5,6.4){G} \Cnode*(2.5,6.8){H} \Cnode*[radius=2pt](3,5.2){I}% milieu de [EF] \Cnode*[radius=2pt](1.5,3.6){K}% milieu de [ED] \Cnode*[radius=2pt](4,3.4){O}% centre du cube %%%%%%%%%%%%%%% \uput[dl](A){A} \uput[dr](B){B} \uput[r](C){C} \uput[ur](D){D} \uput[ul](E){E} \uput[u](F){F} \uput[ur](G){G} \uput[u](H){H} \uput[u](I){I} \uput[dr](O){O} \uput[l](K){K} %%%%%%%%%%%%%%% \pspolygon(A)(B)(F)(E) \psline(B)(C)(G)(F) \psline(G)(H)(E) \psline(A)(I)(G) \psline[linestyle=dashed](A)(G) \psline[linestyle=dashed](A)(D)(H) \psline[linestyle=dashed](D)(C) \end{pspicture} \end{center} \emph{Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).} \bigskip \textbf{Partie 1. Première méthode} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G. $\text{A}(0~;~0~;~0)$ ; $\text{B}(1~;~0~;~0)$ et $\text{G}(1~;~1~;~1)$ On admet que les points I et K ont pour coordonnées I$\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ et K$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$. \item Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG). $\vect{\text{BK}}\begin{pmatrix} -1 \\ \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} \end{pmatrix} $ ; $\vect{\text{AI}}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0\\1 \end{pmatrix} $ et $\vect{\text{AG}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}$. Les vecteurs $\vect{\text{AI}}$ et $\vect{\text{AG}}$ ne sont pas colinéaires, le point G n'est pas un point de la droite (AI). Les points (AIG) forment donc un plan. on a de plus $\vect{\text{BK}}\cdot \vect{\text{AI}}= -1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1 =0$ et $\vect{\text{BK}}.\vect{\text{AG}}=-1\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1 =0$ Le vecteur $\vect{\text{BK}}$ est donc un vecteur normal du plan (AIG) \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est : $2x - y - z = 0$. Comme $\vect{\text{BK}}$, le vecteur $2\vect{\text{BK}}$ est un vecteur normal au plan (AIG). Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de ce plan, $\vect{\text{AM}}\begin{pmatrix} x \\ y\\z \end{pmatrix} $ sera donc orthogonal à $2\vect{\text{BK}}$ et donc $2\vect{\text{BK}}.\vect{\text{AM}}=0 \iff 2x - y - z = 0$ \item Donner une représentation paramétrique de la droite (BK). Soit, $M(x~;~y~;~z)$ un point de la droite (BK). $M(x~;~y~;~z) \in (\text{BK}) \iff \vect{\text{BM}}=t\vect{\text{BK}}$ ; $t \in \R$ d'où $\begin{cases} x=1+2t\\y=\phantom{1}-t\\z=\phantom{1}-t\end{cases} \quad ,t\in \R $ \item En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées L$\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$. Montrons que le point L appartient à (BK) et à (AIG) : $2\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ donc L appartient à (AIG). En prenant $t=-\dfrac{1}{3}$ dans l'équation paramétrique de la droite (BK), on retrouve les coordonnées de L, qui est donc un point de (BK). Comme (BK)$\bot$(AIG), L est le projeté orthogonal de B sur (AIG). \item Déterminer la distance du point B au plan (AIG). $\vect{\text{BL}}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} $ et BL $=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2. Deuxième méthode} \medskip \emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur associée à cette base.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %ustifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB. ABCDEFGH est un cube. L’arête [FG] est perpendiculaire au plan (ABF) Le point I est un point de ce plan. Donc, dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB \item En déduire le volume du tétraèdre ABIG. $\mathscr{A}_{AIB}=\dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$ et GF$=1$ \end{enumerate} \item On admet que AI = IG $= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que AG $= \sqrt 3$. Le triangle AIG est isocèle en A, soit O le milieu du coté [AG] ; on aura $\text{AO}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le triangle AIO est rectangle en I, donc d'après le théorème de Pythagore, on aura : $\text{IO}^2=\text{AI}^2-\text{IO}^2\iff \text{IO}^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2} \iff \text{OI}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ L'aire du triangle AIG est donc égale à $\mathscr{A}=\dfrac{\text{OI} \times \text{AG}}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ \item En déduire la distance du point B au plan (AIG). Le volume du tétraèdre AIBG est égale à $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{\text{AIB}}\times h=\dfrac{1}{6}$ avec $h$ la longueur de la hauteur issue de B dans le tétraèdre AIBG. On a alors $h=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ \end{enumerate} \end{document}