\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : François Hache %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {STI2D}, pdftitle = {Polynésie 2022}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du Baccalauréat STI2D STL} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{4 mai 2022}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STI2D -- spécialité~\decofourright\\[10pt]Polynésie 4 mai 2022}} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques} \end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points\\ (mathématiques)} %\medskip % %\textbf{Dans cet exercice, seulement 4 questions au choix parmi les 6 questions %proposées sont à traiter} % %Toutes ces questions sont indépendantes les unes des autres. \vspace{1cm} \textbf{Question 1} \medskip Une entreprise réalise des bouchons par injection plastique. On modélise la température (en degré Celsius) d'un bouchon plastique à l'issue de sa fabrication, en fonction du temps $t$ (en seconde) par l'équation différentielle: \[y' = - 0,1y + 7.\] On veut montrer que la fonction $\theta$ définie par $\theta(t) = 80\e^{-0,1t} + 70$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ est solution de cette équation différentielle et qu'elle vérifie la condition initiale $\theta(0) = 150$. \medskip \begin{list}{\textbullet}{} \item $\theta(t) = 80\e^{-0,1t} + 70$ donc $\theta'(t)=80\times(-0,1)\e^{-0,1t} = -8\e^{-0,1t}$ Or $-0,1 \theta(t)+7 = -0,1\left (80\e^{-0,1t} + 70\right ) +7 = -8\e^{-0,1t}-7+7 = -8\e^{-0,1t}= \theta'(t)$ Donc la fonction $\theta$ est solution de l'équation différentielle $y' = - 0,1y + 7$. \item $\theta(0)=80\e^{0}+70 = 80+70=150$ \end{list} On peut donc dire que la fonction $\theta$ est solution de cette équation différentielle et qu'elle vérifie la condition initiale $\theta(0) = 150$. \vspace{1cm} \textbf{Question 2} \medskip Soit le nombre complexe $z = -1 + \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que $z = \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$. %$z = -1 + \text{i}$ \begin{list}{\textbullet}{} \item $\left |z\right | = \left |-1+\i\right | = \ds\sqrt{(-1)^2+1^2}=\ds\sqrt{2}$ \item Donc $z=\ds\sqrt{2}\left (-\dfrac{1}{\sqrt{2}} +\i \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right ) =\ds\sqrt{2}\left (-\dfrac{ \sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{ \sqrt{2}}{2}\right )$ Le nombre $z$ a pour argument le réel $\theta$ tel que $\cos \left (\theta\right ) = -\dfrac{ \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left (\theta\right ) = \dfrac{ \sqrt{2}}{2}$; donc on peut prendre $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$. \end{list} L'écriture exponentielle de $z$ est donc $\sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$. \item %Quelle est la partie imaginaire de $z^4$ ? Justifier. $z^4 = \left (\sqrt{2} \e^{\i\frac{3\pi}{4}}\right )^4 = \left (\sqrt{2} \right )^4 \times \e^{\i\frac{3\pi}{4}\times 4} = 4\times \e^{3\pi} = 4\times(-1) =-4$ Donc la partie imaginaire de $z^4$ est 0. \end{enumerate} \newpage \textbf{Question 3} \medskip Une voiture électrique, dont l'accumulateur est totalement déchargé, est branchée à une borne de rechargement. L'énergie emmagasinée par l'accumulateur (en kilowattheure), notée $E$, peut être modélisée en fonction du temps $t$ écoulé (en heure) par la fonction $E$ définie pour $t \in [0~;~ +\infty[$ par : \[E(t) = 18\left(1 - \e^{-0,45t}\right).\] On admet que cette voiture a une énergie de stockage limitée à 18 kWh. On veut déterminer l'instant $t_0$, arrondi à la minute, à partir duquel la moitié de cette énergie de stockage limite a été emmagasinée, c'est-à-dire tel que $E(t_0)=9$. On résout cette équation. $E(t_0)=9 \iff 18\left(1 - \e^{-0,45t_0}\right)=9 \iff 1 - \e^{-0,45t_0} = 0,5 \iff 0,5 = \e^{-0,45t_0}\\ \phantom{E(t_0)=9} \iff \ln(0,5) = -0,45 t_0 \iff -\dfrac{\ln(0,5)}{0,45} = t_0$ Donc $t_0\approx 1,54$; or $\dfrac{54}{100}=\dfrac{32,4}{60}$ donc le temps cherché est d'environ 1 heure 32 minutes. \vspace{1cm} \textbf{Question 4} \medskip On considère une fonction $f$ dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ dont la fonction dérivée $f'$ est, donnée, pour tout $x \in ]0~;~ +\infty[$ , par $f'(x) = \dfrac{-3x+2}{x}$. On étudie le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$ en étudiant le signe de $f'(x)$. \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{3cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 0 & \esp & \frac{2}{3} & \esp & +\infty \\ \hline -3x+2 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline %x+1 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ %\hline x & 0 \hfill{} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline \dfrac{-3x+2}{x} \rule[-10pt]{0pt}{30pt} & \vline\,\,\vline\hfill{} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\ \hline \end{array}$ } \end{center} Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left ]0\,; \frac{2}{3}\right ]$, et strictement décroissante sur $\left [ \frac{2}{3}\,; +\infty \right [$ \vspace{1cm} \textbf{Question 5} \medskip On considère l'équation : \hfill$3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5),$\hfill{} où $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On cherche, parmi les quatre propositions suivantes, la solution de cette équation. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~}$\text{e}^{-5}$&\textbf{c.~~} 10&\textbf{d.~~} 20 \end{tabularx} \end{center} $3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5) \iff \ln\left (x^3\right ) - \ln\left (x+30\right ) = \ln\left (5^2\right ) \iff \ln \dfrac{x^3}{x+30}=\ln(25)\\ \phantom{3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5)} \iff \dfrac{x^3}{x+30}= 25$ \medskip Pour $x=10$, $\dfrac{x^3}{x+30}=\dfrac{\np{1000}}{40}=25$.\hfill\textbf{Réponse c.} \vspace{1cm} \textbf{Question 6} \medskip Une société de peinture utilise, dans le cadre de son activité, une nacelle élévatrice (dite \og nacelle à ciseaux\fg). On note $h(t)$ la hauteur (en mètre) de la nacelle à l'instant $t$ (en seconde) suivant la mise en route. On suppose que $h$ est la fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ d'expression \[h(t) = - 15\e^{-0,2t} +18.\] %\hfill D'après: \emph{https://www.haulotte.fr/produitlh18-sx} \begin{enumerate} \item La hauteur initiale de la nacelle est, en mètre: $h(0)=-15\e^{0}+18 = -15+18=3$. \item % Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. On sait que $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$. Or $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,2t= -\infty$. Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,2t}=0$. On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} h(t)=18$. La nacelle ne peut donc pas dépasser la hauteur de 18 mètres. \end{enumerate} \end{document}