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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STI2D --  spécialité~\decofourright\\[10pt]Polynésie 4 mai 2022}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3 commun à tous les candidats \hfill 4 points\\
(mathématiques)}

%\medskip
%
%\textbf{Dans cet exercice, seulement 4 questions au choix parmi les 6 questions
%proposées sont à traiter}
%
%Toutes ces questions sont indépendantes les unes des autres.

\vspace{1cm}

\textbf{Question 1}

\medskip

Une entreprise réalise des bouchons par injection plastique. On modélise la température (en degré Celsius) d'un bouchon plastique à l'issue de sa fabrication, en fonction du temps $t$ (en seconde) par l'équation différentielle:

\[y' = - 0,1y + 7.\]

On veut montrer que la fonction $\theta$ définie par $\theta(t) = 80\e^{-0,1t} + 70$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ est solution de cette équation différentielle et qu'elle vérifie la condition initiale $\theta(0) = 150$.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\theta(t) = 80\e^{-0,1t} + 70$ donc $\theta'(t)=80\times(-0,1)\e^{-0,1t} = -8\e^{-0,1t}$

Or $-0,1 \theta(t)+7 = -0,1\left (80\e^{-0,1t} + 70\right ) +7
= -8\e^{-0,1t}-7+7 = -8\e^{-0,1t}= \theta'(t)$

Donc la fonction $\theta$ est solution de l'équation différentielle $y' = - 0,1y + 7$.

\item $\theta(0)=80\e^{0}+70 = 80+70=150$
\end{list}

On peut donc dire que la fonction $\theta$ est solution de cette équation différentielle et qu'elle vérifie la condition initiale $\theta(0) = 150$.

\vspace{1cm}

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit le nombre complexe $z = -1 + \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $z = \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$.
%$z = -1 + \text{i}$
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\left |z\right | = \left |-1+\i\right | = \ds\sqrt{(-1)^2+1^2}=\ds\sqrt{2}$

\item Donc $z=\ds\sqrt{2}\left (-\dfrac{1}{\sqrt{2}} +\i \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )
=\ds\sqrt{2}\left (-\dfrac{ \sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{ \sqrt{2}}{2}\right )$

Le nombre $z$ a pour argument le réel $\theta$ tel que $\cos \left (\theta\right ) = -\dfrac{ \sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left (\theta\right ) = \dfrac{ \sqrt{2}}{2}$; donc on peut prendre $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$.
\end{list}

L'écriture exponentielle de $z$ est donc $\sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$.

\item %Quelle est la partie imaginaire de $z^4$ ? Justifier.
$z^4 = \left (\sqrt{2} \e^{\i\frac{3\pi}{4}}\right )^4
= \left (\sqrt{2} \right )^4 \times \e^{\i\frac{3\pi}{4}\times 4}
= 4\times \e^{3\pi}
= 4\times(-1)
=-4$

Donc  la partie imaginaire de $z^4$ est 0.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Question 3}

\medskip

Une voiture électrique, dont l'accumulateur est totalement déchargé, est branchée à une borne de rechargement. L'énergie emmagasinée par l'accumulateur (en kilowattheure), notée $E$, peut être modélisée en fonction du temps $t$ écoulé (en heure) par la fonction $E$ définie pour 

$t \in [0~;~ +\infty[$ par :

\[E(t) = 18\left(1 - \e^{-0,45t}\right).\]

On admet que cette voiture a une énergie de stockage limitée à 18 kWh.

On veut déterminer l'instant $t_0$, arrondi à la minute, à partir duquel la moitié de cette énergie de stockage limite a été emmagasinée, c'est-à-dire tel que $E(t_0)=9$.

On résout cette équation.

$E(t_0)=9
\iff
18\left(1 - \e^{-0,45t_0}\right)=9
\iff
1 - \e^{-0,45t_0} = 0,5
\iff
0,5 = \e^{-0,45t_0}\\
\phantom{E(t_0)=9}
\iff
\ln(0,5) = -0,45 t_0
\iff
-\dfrac{\ln(0,5)}{0,45} = t_0$

Donc $t_0\approx 1,54$; or $\dfrac{54}{100}=\dfrac{32,4}{60}$ donc le temps cherché est d'environ 1 heure 32 minutes.

\vspace{1cm}

\textbf{Question 4}

\medskip

On considère une fonction $f$ dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ dont la fonction dérivée $f'$ est, donnée, pour tout $x \in ]0~;~ +\infty[$ , par $f'(x) = \dfrac{-3x+2}{x}$. 

On étudie le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$ en étudiant le signe de $f'(x)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & \frac{2}{3} & \esp  & +\infty \\
\hline
-3x+2 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
%x+1 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
%\hline
x & 0 \hfill{} & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline 
\dfrac{-3x+2}{x} \rule[-10pt]{0pt}{30pt} &  \vline\,\,\vline\hfill{} & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left ]0\,; \frac{2}{3}\right ]$, et strictement décroissante sur $\left [ \frac{2}{3}\,; +\infty \right [$

\vspace{1cm}

\textbf{Question 5}

\medskip

On considère l'équation : 
\hfill$3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5),$\hfill{}

où $x$ appartient à l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On cherche, parmi les quatre propositions suivantes, la solution de cette équation.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~}$\text{e}^{-5}$&\textbf{c.~~} 10&\textbf{d.~~} 20
\end{tabularx}
\end{center}

$3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5)
\iff
\ln\left (x^3\right ) - \ln\left (x+30\right ) = \ln\left (5^2\right )
\iff
\ln \dfrac{x^3}{x+30}=\ln(25)\\
\phantom{3 \ln(x) - \ln (x + 30) = 2\ln (5)}
\iff
\dfrac{x^3}{x+30}= 25$

\medskip

Pour $x=10$, $\dfrac{x^3}{x+30}=\dfrac{\np{1000}}{40}=25$.\hfill\textbf{Réponse c.}

\vspace{1cm}

\textbf{Question 6}

\medskip

Une société de peinture utilise, dans le cadre de son activité, une nacelle élévatrice (dite \og nacelle à ciseaux\fg).

On note $h(t)$ la hauteur (en mètre) de la nacelle à l'instant $t$ (en seconde) suivant la mise en route.

On suppose que $h$ est la fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ d'expression 

\[h(t) = - 15\e^{-0,2t} +18.\]

%\hfill D'après: \emph{https://www.haulotte.fr/produitlh18-sx}

\begin{enumerate}
\item La hauteur initiale de la nacelle est, en mètre:
$h(0)=-15\e^{0}+18 = -15+18=3$.

\item % Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
On sait que $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$.
Or $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,2t= -\infty$.
Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,2t}=0$.

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} h(t)=18$.

La nacelle ne peut donc pas dépasser la hauteur de 18 mètres.



\end{enumerate}
\end{document}