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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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%\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%\lhead{\small Baccalauréat STL}
%\lfoot{\small{Polynésie}}
%\rfoot{\small{ 4 mai 2022}}
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%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]  Polynésie  -- 4 mai 2022}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 3 commun à tous les candidats\hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'énergie stockée dans la batterie d'un téléphone portable. Cette grandeur s'exprime en kW·h. Lorsque la batterie est totalement chargée, l'énergie stockée vaut 0,715 kW·h.

Lors du branchement de la batterie vide sur une borne de recharge, l'énergie stockée dans la batterie (en kW·h) en fonction du temps $t$ (en heure) est modélisée par une fonction $f$  définie sur $[0~;~+\infty[$ par:

\[f(t) = a\text{e}^{-t} + b \quad \text{où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer}\]

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0,715$, déterminer la valeur de $b$.
		
\vspace{0.3cm}		
		
	$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} a\text{e}^{-t} + b =  b$ car $ \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-t}=0 $
	 donc 	$ b= 0,715 $
		\item Sachant que $f(0) = 0$, déterminer la valeur de $a$.
		
\vspace{0.3cm}
$f(0) = a\text{e}^{0} + 0,715 = a +0,715 = 0$

donc $  a +0,715 =0 $
donc $  a = -0,715 $		
		
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\medskip
		
\textbf{Dans les questions suivantes, on admet que pour tout nombre réel} \boldmath$t \geqslant 0$\unboldmath

\[\boldmath f(t) = -0,715\text{e}^{-t} + 0,715\unboldmath\]



\smallskip

\textbf{Question 2 :}

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0,\: f(t) < 0,715$.
\end{enumerate}

\vspace{0.3cm}

pour tout nombre réel $t \geqslant 0, \text{e}^{-t}>0$

                   donc $-0,715\text{e}^{-t}<0$ on a multiplié par un nombre négatif
                   
                    donc $-0,715\text{e}^{-t}+0,715<0+0,715$
                    
                    soit pour tout nombre réel $t \geqslant 0,\: f(t) < 0,715$.

\vspace{0.3cm}

\textbf{Question 3 :}

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		
\vspace{0.3cm}

$ f(t) = -0,715\text{e}^{-t} + 0,715 $	

$ f'(t) = -0,715\times (-1)\text{e}^{-t}  $	

$ f'(t) = 0,715\text{e}^{-t}  $	

\vspace{0.3cm}

		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		
$0,715 >0 $ et $\text{e}^{-t}>0  $	donc $ f'(t)>0$ sur $[0~;~+\infty[$.

Donc $ f $ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.

		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour charger à 50\,\% une batterie qui était vide au départ. 

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la durée de demi-charge de la batterie de ce téléphone en minute et seconde, arrondie à la seconde.

on veut résoudre $ f(t) = 0,715/2$

$ \Longleftrightarrow -0,715\text{e}^{-t}+0,715 = 0,715/2  $
 
$ \Longleftrightarrow -0,715\text{e}^{-t} = 0,715/2 -0,715 $
 
$ \Longleftrightarrow -0,715\text{e}^{-t} = -0,3575 $
 
 $ \Longleftrightarrow \text{e}^{-t} = \dfrac{- 0,3575 }{-0,715} $
  
$  \Longleftrightarrow \text{e}^{-t} = 0,5 $
  
$  \Longleftrightarrow -t = \ln(0,5) $
  
$  \Longleftrightarrow t = - \ln(0,5) $
  
$  \Longleftrightarrow t \approx 0,693 $
 
$ 0,693\times60 = 41,58 $ et $ 0,58 \times 60 = 34,8 $ soit 41 minutes et 35 secondes

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Question 5 :}

\begin{enumerate}[resume]
\item On considère la fonction en langage Python suivante:

\begin{center}
\fbox{\begin{tabular}{l}
from math import exp\\
def temps(pourcentage) :\\
\quad t = 0\\
\quad y = 0\\
while y < pourcentage$*0.715$:\\
\qquad t = t+1/60\\
\qquad y = - 0.715*exp(-t)+0.715\\
return(t)
\end{tabular}
}
\end{center}

\smallskip

Que renvoie l'exécution de l'instruction temps(0.15) ? 

$0,15\times0,715=0,10725$ on cherche dans le menu table quand on dépasse $0,10725$

$t=\dfrac{1}{6}$


Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

$t=\dfrac{1}{6}$ soit $\dfrac{1}{6}$ d'heure soit 10 minutes, au bout de 10 minutes $15\%$ de la charge est effectuée.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6 :}

On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[F(t) = 0,715 t + 0,715\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		
\medskip 

Il faut dériver $ F(t) = 0,715 t + 0,715\text{e}^{-t}. $

$ F'(t) = 0,715  + 0,715\times(-1)\text{e}^{-t}=f(t) $		
	
	Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	

\medskip 
	
		\item On admet que l'énergie stockée moyenne de la batterie sur [0~;~3,5] est égale à :


\medskip 

\[m = \dfrac{1}{3,5} [F(3,5) - F(0)].\]

Cette énergie stockée moyenne est-elle égale à la moitié de l'énergie stockée maximale ? Justifier la réponse.

\medskip 

$ F(3,5)\simeq 2,524 $ et $  F(0)= 0,715 $

$ m=\dfrac{1}{3,5} (2,524 -0,715) \simeq 0,517  $

 et $ \dfrac{0,517}{0,715} \simeq 0,72$ soit $ 72\% $
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}