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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small STD2A \no 1}
\lfoot{\small 06308}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 1 Terminale technologique STD2A~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Indiquer les réponses dans la colonne de droite du tableau. Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{11cm}|X|}\hline
			&Questions			&Réponses\\ \hline
\textbf{1.}&Sur \np{4000} sièges, $250$ sièges sont déjà réservés.

Déterminer la proportion, en fraction irréductible, représentant les sièges déjà réservés.&\\ \hline
\textbf{2.}&Compléter la phrase :

\og Augmenter de 40\,\% c'est multiplier par \ldots \fg&\\ \hline
\textbf{3.}&Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur 
$[-5~;~4]$ :&\\
&\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5.5,-3.5)(4.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.5,-3.5)(4.5,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{4}{x 3 exp x dup mul 3 mul add 13 x mul sub 15 sub 2 mul 15 div}
\uput[u](4.25,0){$x$}\uput[r](0,3.75){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}&\\
&Répondre aux questions 3. a, 3. b, 3. c et 3. d avec la précision permise par le graphique:&\\ \hline
&\textbf{a.}~Déterminer $f( -3)$.&\\ \hline
&\textbf{b.} Déterminer le nombre d'antécédents de 1 par la fonction $f$.&\\ \hline

&\textbf{c.} Étudier le signe de $f$ sur $[-5~;~ 4]$.&\\ \hline
&\textbf{d.} Déterminer l'entier le plus proche du nombre dérivé $f'(3)$.&\\ \hline
\textbf{4.}&Déterminer le taux d'évolution correspondant à une hausse de 40\,\% suivie d'une hausse de 20\,\% ?&
\\ \hline

\textbf{5.}&Une voiture coûte \np{12000}~\euro{} hors taxes et le taux de la TVA est de 20\,\%.

Quel est le prix TIC, en euro, de cette voiture ?&\\ \hline

\textbf{6.}&Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $- 4x + 7 \leqslant - 2x$&\\ \hline
\textbf{7.}&Résoudre dans $\R$ l'équation : $3x^2 + 7 = 13$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage
\begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center}
\bigskip

\textbf{La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur.\\[7pt]
Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un site internet de vente de produits multimédias propose une vente exceptionnelle d'ordinateurs, de smartphones et de tablettes. 

Deux tiers des articles sont fabriqués en France, le reste est fabriqué à l'étranger.

On choisit au hasard un des articles en vente sur ce site. 

On note les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$F$ : \og l'article est fabriqué en France \fg 
\item[$\bullet~~$]$E$ : \og l'article est fabriqué à l'étranger \fg
\item[$\bullet~~$]$E$: \og l'article est un ordinateur \fg
\item[$\bullet~~$]$O$: \og l'article est un smartphone \fg
\item[$\bullet~~$]$T$ : \og l'article est une tablette \fg
\end{itemize}

\medskip

L'arbre pondéré ci-dessous modélise cette situation:

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1,labelsep=0.1pt,levelsep=2.5cm}

\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~~}\taput{$\frac23$}}
	{
	\TR{$O$}\taput{0,45}
	\TR{$S$}\tbput{\ldots}
	\TR{$T$}\tbput{0,1}
	}
\pstree{\TR{$E$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$O$}\taput{\ldots}
	\TR{$S$}\tbput{0,1}
	\TR{$T$}\tbput{0,3}
	}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $P_F(O)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Recopier et compléter l'arbre sur votre copie.
\item Calculer la probabilité que l'article soit un ordinateur fabriqué en France.
\item Calculer la probabilité que l'article soit une tablette.
\item Les évènements $F$ et $T$ sont-ils indépendants? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle [0,1~;~9] par : 
\[f(x) = 5 + x + \dfrac 9x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout réel $x$ de [0,1~;~9], le nombre dérivé $f'(x)$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de [0,1~;~9], $f'(x)$ est égal à $(x + 3)(x - 3)$.
\item Justifier que pour tout réel $x$ de [0,1~;~9], le signe de $f'(x)$ est le même que le signe
de $x - 3$.
\item En déduire les variations de $f$ sur [0,1~;~9].
\item Voici une proposition :

\og Pour tout réel $x$ de [0,1~;~9], on a : $f(x) \geqslant 10$.\fg

Cette proposition est-elle vraie ? Vous justifierez votre réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Le directeur d'un cinéma de centre-ville a vu le nombre d'entrées diminuer de 5\,\% par an depuis l'ouverture en 2000, année au cours de laquelle il avait comptabilisé \np{200000} entrées.
Pour tout entier naturel $n$, on modélise par $u_n$ le nombre d'entrées dans ce cinéma l'année $2000 + n$. On définit ainsi la suite $u$ sur $\N$. On a : $u_0 = \np{200000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $u$ ? Justifier et donner la valeur de la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, où $n$ est un entier naturel.
\item Selon ce modèle, combien d'entrées le directeur a-t-il comptabilisé entre 2000 et 2010 ? Arrondir le résultat à l'unité.
\item On cherche à déterminer au bout de combien d'années, le nombre d'entrées dans ce cinéma aura été divisé par deux par rapport à celui de l'année d'ouverture du cinéma.

Pour cela, on programme une fonction, en langage Python, appelée cinéma et sans argument:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def cinema() :\\
\qquad N = 0\\
\qquad U = \np{200000}\\
\qquad while U $>$ \ldots :\\
\qquad \qquad N =\ldots\\
\qquad \qquad U = \ldots\\
\qquad return N\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier ce programme et compléter les instructions manquantes afin de répondre au problème posé.
		\item Le programme renvoie la valeur 14. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}