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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 43}
\lfoot{\small 06324}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C 43 Terminale technologique \decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I- Exercice 1} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\quad Sans calculatrice \quad Durée : 20 minutes}

\medskip

Les 10 questions suivantes sont indépendantes. Seules les réponses sont demandées, on n'attend pas de justifications.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|X|}\hline
&Énoncé&Réponse\\ \hline
\textbf{1.}&Calculer et donner le résultat sous forme de fraction
 irréductible : $\dfrac25 - \dfrac13 \times 4$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}&\\ \hline
\textbf{2.}&$\dfrac13$ des 240 élèves d'un collège ne pratiquent pas d'activité sportive. Combien d'élèves pratiquent une activité sportive ?&\\ \hline
\textbf{3.}&Un article subit une baisse de 20\,\% suivie d'une baisse de 10\,\%. 

Quel est le pourcentage de baisse équivalent à ces deux baisses successives ?&\\ \hline
\textbf{4.}&Soient $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = 5x^2 - 1\]
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Le point B$(-2~;~-21)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ?&\\ \hline
\textbf{5.}&Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
\[g(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 7.\]
On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. 

Calculer $g'(x)$.&\\ \hline
\textbf{6.}&Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 = 49$.&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On considère une fonction dont on donne la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ et la tangente au point A d'abscisse $-1$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.9)(2.1,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-2)(2,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{2}{x dup mul}
\psplotTangent[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1}{3}{x dup mul}
\uput[r](1.3,2.){\red $\mathcal{C}_f$}\uput[ur](-1,1){A}
\end{pspicture*}
\end{center}\\ 
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{7cm}|X|}\hline
\textbf{7.}&Donner $f( -1)$.&\\ \hline
\textbf{8.}&Déterminer graphiquement le coefficient directeur de la
tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.&\\ \hline
\textbf{9.}&Tracer sur le graphique ci-dessus la droite d'équation
$y = x+ 1$.&\\ \hline
\textbf{10.}&Une autre fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4~;~5]$ est
représentée par la courbe ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.45cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5,-7.8)(5.9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-8)(6,7)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{6}{x 3 exp x dup mul sub 12 x mul sub 6 div neg}
\uput[ur](3,3){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Déterminer le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[- 4~;~5]$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Partie II}\end{center}

Cette partie est constituée de 3 exercices indépendants.

La calculatrice est autorisée selon la règlementation en vigueur.

\medskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Léa veut s'acheter un scooter. Elle décide d'épargner chaque mois une somme d'argent pour financer cet achat.

Au mois de janvier 2019, elle met sur un compte $120$~\euro.

Chaque mois, elle dépose sur son compte $15$~\euro{} de plus que le mois précédent. Ainsi, elle dépose $135$~\euro{} en février 2019.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ le montant en euros déposé par Léa sur son compte au cours du $n$-ième mois après janvier 2019. On a ainsi $u_0 = 120$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item Quelle est l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$ ?
\item Calculer $u_0 + u_1 +\ldots + u_{11}$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Le scooter que Léa veut acheter coûte \np{1300}~\euro.

On donne l'algorithme ci-contre. Quelle est la valeur affichée par cet algorithme à la fin de son exécution ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$k \gets 0$\\
$u \gets 120$\\
$S \gets 120$\\
Tant que $S < \np{1300}$\\
\qquad $k \gets k+1$\\
\qquad $u \gets u+15$\\
\qquad $S \gets S+u$\\
Fin Tant que\\
Afficher $k$\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise produit des appareils électroniques.

Le coût de production de $x$ appareils est donné en euros par 
\[C(x) = 4x^2 + 60x + 324\quad \text{pour~~} 2 \leqslant x \leqslant 50.\]

 Le coût de production d'un appareil lorsque $x$ appareils sont produits est égal à
$f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$, pour $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~50].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x) = 4x + 60 + \dfrac{324}{x}$ pour $x$ appartenant à [2~;~50].
\item La fonction $f'$ est la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~50].

Montrer que $f'(x) = \dfrac{4(x - 9)(x + 9)}{x^2}$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [2~;~50].
\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle [2~;~50] et dresser le tableau de
variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~50].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ le coût de production d'un appareil est-il minimal ?
		\item Préciser la valeur minimale du coût de production d'un appareil.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Un spam est un courrier électronique indésirable.

Pour repérer un spam, on s'intéresse à la présence de certains mots dans le message.

On considère que 80\,\% des messages reçus sur une boite de messagerie sont des spams.

Le mot \og gratuit \fg{} apparait dans 35\,\% des spams et dans 1\,\% des non-spams.

On choisit un message au hasard dans la boite de messagerie.

On considère les évènements suivants:

$S$ : \og Le message est un spam. \fg

$G$ : \og Le message contient le mot \og gratuit \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~~}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$G$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G$}\taput{$\np{0.01}$}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Définir par une phrase l'évènement $S \cap G$ puis calculer sa probabilité $P(S \cap G)$.
\item Justifier que la probabilité $P(G)$ est égale à $0,282$.
\item Calculer $P_G(S)$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}