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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 45}
\lfoot{\small 06326}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 45 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip
Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Cet exercice comprend 10 questions. Aucune justification n'est demandée.
\medskip

\renewcommand \arraystretch {1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}&Écrire $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3$ sous la forme d'une fraction irréductible &\\ \hline
\textbf{2.}& Calculer 30\,\% de 600.&\\\hline
\textbf{3.}&Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

$f(x) = 2x^3 - x^2 + x + 3$
%f(x) = 3 + 2x - 4x^2 - x^3.
 Donner $f'(x)$ pour $x \in\R$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.&\\\hline
\textbf{4.}& Donner les solutions dans $\R$ 

de l'équation : $x^2 + 2 = 6.$&\\\hline
\textbf{5.}& Développer et réduire $3(x + 5)(x - 1)$.&\\\hline
\textbf{6.}&  Calculer $\frac{1}{4}$ de $\frac{1}{2}$ .& \\\hline
\textbf{7.}&Le temps mis pour fabriquer un objet est passé de 10 h à 7 h.
 Donner le taux d'évolution, en pourcentage, de la durée de
 fabrication.&\\\hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5.8cm}|X|} 
\textbf{8.}& \begin{minipage}{5.5cm}Pour $x$ dans [-4 ; 6], dresser le tableau de
 signes de  $-2(x + 3)(x - 5)$ \mbox{\rule[14pt]{0pt}{13pt}}\end{minipage}&\\[3pt]\hline
\end{tabularx}
\newpage
Pour les questions 9 et 10, on utilisera le graphique ci-dessous.

Il représente la courbe représentative d'une fonction $g$ et sa tangente au point de
coordonnées (2~;~3).

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture*}(-6,-4.5)(7,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,linecolor=lightgray](-5.3,-4.3)(6.3,5.3)
\psaxes[linewidth=1pt,](0,0)(-5.3,-4.4)(6.4,5.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt](-5,4)(-4,0)(-3,-3)(-2,-4)(0,-2)(1,0)(2,3)(3,4.4)(4,5)(5,4.6)(6,3)(6.4,2)
\uput[dr](-4.5,3){$\mathcal{C}_g$}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1pt,plotpoints=1000]{-2}{3}{x 2 mul 1 sub}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1pt,plotpoints=2000,linecolor=red]{-5}{6.5}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 8 x mul sub 0.2 neg mul 2 sub }
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\renewcommand \arraystretch {1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{9.}&Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentative de $g$ au point d'abscisse 2 : $g'(2)$ &.\\ \hline

\textbf{10.}&Donner les solutions de l'équation $g(x) = 0$. &\\ \hline

\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

Une entreprise se lance dans la fabrication de systèmes d'alarme.

Elle compte produire \np{5000} unités en janvier 2022 et envisage ensuite une
augmentation de 3\,\% de sa production chaque mois.

On modélise cette situation par la suite $(P_n)$ où :
\begin{itemize}
\item[\textbullet]  pour tout entier naturel non nul $n$, $P_n$ désigne le nombre de milliers d'unités
produites durant le $n\up{ième}$ mois à compter de janvier 2022 ;
\item[\textbullet]  $P_1 = 5$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $P_2 = 5,15$.
\item Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique et préciser sa raison.
\item Montrer que, selon cette modélisation, cette entreprise produira plus de \np{6000}
unités durant le mois d'août 2022.
\item Soit la somme S définie par: $S = P_1 + P_2 + P_3 + \dots + P_{11} + P_{12}$.
\begin{enumerate}
\item  Que représente S dans le contexte de l'exercice ?
Calculer la valeur de S.
\item Recopier et compléter les pointillés des lignes 6 et 7 de la fonction ProdT
écrite ci-dessous en langage Python, de telle sorte que ProdT(12) renvoie
la valeur de S.

\medskip
\renewcommand \arraystretch {1}
\begin{tabular}[]{cm{3cm}}
l &def  ProdT(n):\\
2 &\phantom{def }S=0\\
3 &\phantom{def }p=5\\
4 &\phantom{def }i=l\\
5 &\phantom{def }while i<=12:\\
6 &\phantom{def whil}S=5+ $\dots$\\
7 &\phantom{def whil}p=p* $\dots$\\
8 &\phantom{def whil}i=i+1\\
9 &\phantom{def }return S \\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise souhaite recruter de nouveaux commerciaux, avec ou sans
expérience.

Suite à une petite annonce, elle reçoit un très grand nombre de curriculum vit\ae

(noté cv dans la suite).

Pour cette entreprise, on estime que les cv correspondant à des personnes avec
expérience représentent 20\,\% de l'ensemble des cv reçus.

\smallskip

Le directeur des ressources humaines choisit au hasard 10 cv et les examine.

On modélise cette expérience aléatoire par une succession de 10 épreuves
aléatoires indépendantes.

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de cv correspondant à des
personnes avec expérience parmi les 10 cv choisis.

\emph{Pour les questions qui suivent, les probabilités demandées seront arrondies au
centième.}
\begin{enumerate}
\item  Interpréter l'événement \{X=10\} puis calculer sa probabilité.
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X.
Quels sont ses deux paramètres ?
\item Déterminer la probabilité qu'exactement 6 cv sur les 10 cv choisis
correspondent à des personnes avec expérience.
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 1 cv parmi les 10 cv choisis
corresponde à des personnes avec expérience.
\item Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat dans le
contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}
\medskip

Une entreprise fabrique des cartes postales qu'elle souhaite vendre à un prix compris
entre 2 et 8 euros.

L'entreprise a conscience que le nombre de cartes postales vendues dépendra de
leur prix de vente.

Une étude de marché conduit à modéliser ce lien de dépendance par la fonction $f$
définie sur $[2~;~8]$ par $f(x) = 3 \times 0,9^{x}$, où $f(x)$ représente le nombre de milliers de
cartes postales vendues au prix de $x$ euros.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le nombre de cartes postales vendues selon cette modélisation au
prix unitaire de 3 \euro.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[ 2~;~ 8]$.
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $[ 2~;~8]$, l'inéquation : $3 \times 0,9^{x} \leqslant 2$.
\item Que peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de $[2~;~8]$, on a : $\dfrac{f(x+1)}{f(x)} = 0,9^{\frac{f(x + 1)}{f(x)}}$.

Que peut-on en déduire?
\end{enumerate}
\end{document}