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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%RElecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 46}
\lfoot{\small 06327}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 46 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes \hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\renewcommand \arraystretch {1.8}



Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.
Cet exercice comprend 10 questions. Aucune justification n'est demandée.

\begin{tabular}{|c|m{7cm}|m{7cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline
\textbf{1.}& Écrire sous la forme d'une fraction irréductible: $\frac{2}{21}\times \frac{7}{4}$&\\\hline
\textbf{2.}& Écrire $\frac{43 \times 35}{12^3}$ sous la forme $3^n$ où $n\in \N$.&\\\hline
\textbf{3.}&Résoudre dans $\R$, l'équation : $5x^2 - 45 = 0$.&\\\hline
\textbf{4.}& Quel est le taux d'évolution correspondant à une hausse de
40\,\% suivie d'une baisse de 90\,\% ? & \\\hline
\textbf{5.}&Compléter le tableau de signes de

  $-3(x - 1)(x +4)$ & \begin{pspicture}(0,-0.9)(7.1,0.9)\psframe (0,-0.8)(7,0.8)\psline(0,0.1)(7,0.1)
\psline(2.4,-0.8)(2.4,0.8)\uput[dr](0,-0.1) {\footnotesize $- 3(x - 1)(x + 4)$}
\uput[d](1,0.6){$x$}\uput[dr](2.4,0.6){$-\infty$}\uput[d](4.2,0.6){$\dots$}\uput[d](5.1,0.6){$\dots$}\uput[dl](7,0.6){$+\infty$}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{6.}&Sur 60 personnes présentes à une
exposition, on distingue 3 groupes: 
\begin{itemize}
 \item  groupe A : 30 personnes
  \item  groupe B : 12 personnes , 
  \item  groupe C : les autres.
  \end{itemize}

Représenter ces données par un
diagramme circulaire des effectifs 
en fonction des groupes. & \begin{pspicture}(0,0)(7,4)
\pscircleOA(3,2)(5,1.8)
\psdot[dotscale=1.5,dotstyle=asterisk](3,2)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(5,2)
\psline[linestyle=dashed](1.38,0.82)(4.62,3.18)
%\psline[linestyle=dashed](1,2)(5,2)
\psline[linestyle=dashed](2.38,0.1)(3.62,3.9)
\psline[linestyle=dashed](2.38,3.9)(3.62,0.1)
\psline[linestyle=dashed](1.38,3.18)(4.62,0.82)

\end{pspicture} \\\hline
\end{tabular}

\newpage

Pour les questions 7 et 8 on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = x^3 + 5x + 4\]
et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\bigskip

\begin{tabular}{|c|m{7cm}|m{7cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline
\textbf{7.}&Calculer $f'(x)$.&\\\hline
\textbf{8.}&Calculer le coefficient directeur
 de la tangente à la courbe
représentative de $f$ au point
d'abscisse 1.&\\\hline
\end{tabular}

\medskip
Pour les questions 9 et 10, on donne ci-dessous la courbe représentative d'une
fonction 9 et sa tangente au point A d'abscisse 2.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-5)(4.5,8.2)
 \multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-5)(\n,8.2)}
% \multido{\n=1+2}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-0.5)(\n,24)}
 \multido{\n=-5+1}{14}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.7,\n)(4.4,\n)}
% \multido{\n=1+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(26,\n)}% \uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n0000}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,]{-}(0,0)(-0.7,-5)(4.4,8.4)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-0.1}{4.135}{x x x 2 neg mul 12 add mul 18 sub mul 6 add }
\psplot[linewidth=1pt,linestyle=dashed, plotpoints=500]{0.9}{3.1}{ x  6 mul 10 sub  }
\psdot[dotstyle=+,dotscale=2,dotangle=45](2,2)
\uput[ul](2,2){A}
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{tabular}{|c|m{10cm}|m{4cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline
\textbf{9 }&Déterminer graphiquement le coefficient directeur de
la tangente à la courbe représentative de $g$ au point A.&\\\hline
\textbf{10} &Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -2$.&\\\hline 
\end{tabular}


\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0,4~;~ 2]$ par 
\[f(x) = 4x + \dfrac{9}{x} . \]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout réel $x$ de $[0,4~;~2]$ :
\[f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2}\]
\item Construire le tableau de signes de $2x - 3$ sur $[0,4~;~ 2]$ et montrer qu'il est
identique à celui de $f'(x)$.
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0,4~;~2]$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Application économique}

\smallskip

Une entreprise artisanale de biscuits peut produire entre 0,4 tonne et 2 tonnes de
biscuits par jour. Le coût moyen de production, en centaines d'euros, d'une
tonne de biscuits pour $x$ tonnes produites est donné par $f(x)$, où $f$ est la fonction
définie plus haut.
\begin{enumerate}[resume]
\item  En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer le nombre de
tonnes de biscuits à produire pour que le coût moyen unitaire soit minimal.
\item Quelle est la valeur de ce coût minimal ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip
Sur un campus universitaire, une enquête a révélé que :
\begin{itemize}
\item  10\,\% des étudiants pratiquent un atelier musical ; 
\item parmi les étudiants pratiquant l'atelier musical, 80\,\% pratiquent la danse
contemporaine ;
\item parmi les étudiants ne pratiquant pas l'atelier musical, 40\,\% ne pratiquent pas la
danse contemporaine.
\end{itemize}

On choisit au hasard et de façon équiprobable un étudiant sur le campus et on note
les événements suivants:

\begin{description}
\item[]$M$ : \og l'étudiant pratique l'atelier musical\fg{} ;
\item[]$D$ : \og l'étudiant pratique la danse contemporaine \fg.
\end{description}

\begin{enumerate}
\item  À l'aide des données de l'énoncé, donner la probabilité $P(M)$ et montrer que

$P_{\overline{M}}(D) = 0,6$.
\item Construire un arbre de probabilités associé à cette situation.
\item Calculer $P(M \cap D)$ puis interpréter le résultat obtenu.
\item Calculer la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard pratique la danse
contemporaine.
\item On interroge au hasard un étudiant pratiquant la danse contemporaine.

Montrer que l'arrondi à $10^{-2}$ de la probabilité qu'il pratique l'atelier musical est
égal à 0,13.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une étude s'est intéressée au nombre de vélos électriques vendus par un gérant de
magasin de cycles entre 2016 et 2020.
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{6cm}|*{5}{c|}}\hline
\centering{Année} &2016& 2017& 2018& 2019& 2020\\\hline
Nombre de vélos électriques vendus &187& 206& 224& 247& 295\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer le taux annuel moyen d'évolution des ventes de vélos électriques de
2016 à 2020. On donnera l'arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\emph{Les questions suivantes sont indépendantes de la question\textbf{1.}}

On suppose qu'à partir de l'année 2020, la vente de vélos électriques de ce magasin
augmente de 12\,\% par an.

On modélise cette évolution par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$
représente le nombre de vélos électriques vendus durant l'année $(2020 + n)$.

On a donc $u_0 = 295$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.

Préciser sa raison et son terme initial.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Montrer que, selon cette modélisation, c'est en 2025 que le nombre de vélos
électriques vendus dans ce magasin dépassera pour la première fois 500 unités.
\item Soit $S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 + u_7 + u_8 + u_9$.

Calculer $S$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}