\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06328} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small \no 47} \lfoot{\small 06328 } \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 47 Terminale technologique ~\decofourright}} \medskip \textbf{PARTIE I} \end{center} \medskip \textbf{Automatismes \hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1 \hfill 5 points} \medskip \renewcommand \arraystretch {1.4} Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante. Cet exercice comprend 10 questions. Aucune justification n'est demandée. \begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{5cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline \textbf{1.}& Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par: \[ f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7.\] Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse $-1$ de la courbe représentative de $f$ ?&\\\hline \textbf{2.}& Écrire $\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 +1$ sous la forme d'une fraction irréductible&\\\hline \textbf{3.}& Soit la fonction $f$ définie sur [0 ; 10] par: \[f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x + 7.\] Déterminer $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de $f$,&\\\hline \textbf{4.}& Soit la fonction $g$ définie sur [0 ; 20] par: \[g(x) = 4x^2 + 7x + 8.\] Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 2 ?&\\\hline \end{tabular} \newpage \begin{tabular}{|c|m{9cm}|m{5cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline \textbf{5.}& Pour $x$ dans $[-5 ; 5]$, construire le tableau de signes de : \[(x -1)(x + 3)\] & \\ \hline \textbf{6.}& On donne $y = 3x + z$. Exprimer $x$ en fonction de $y$ et $z$.&\\\hline \textbf{7.}& Lequel de ces pourcentages vaut $\dfrac{18}{60}$ : $30\,\%,\qquad 40\,\%\quad \text{ou } \quad 60\,\% $? &\\\hline \textbf{8.}& Dans un repère, on considère les points A(0 ; 5) et B (2 ; $-1$). Donner l'équation réduite de la droite (AB).&\\\hline \textbf{9.}& Quel est le taux d'évolution équivalent à une baisse de 10\,\% suivie d'une baisse de 20\,\% ?&\\\hline \textbf{10.}& Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = x^2 + 3x.\] Parmi les 3 nombres ci-dessous, lequel est le plus proche de $f(\np{1002})$ ? $10^5\qquad 10^6\qquad 10^7$&\\\hline \end{tabular} \newpage \textbf{\large Partie II} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points} Le tableau ci-dessous donne la taille moyenne des Français entre 1900 et 1980. \begin{center} \begin{tabular}{|m{4cm}|*{5}{c|}}\hline Année &1900 &1920& 1940 &1960 &1980\\\hline Rang de l'année $x_i$&0 &20& 40& 60& 80\\\hline Taille en cm $y_i$ &165,8 &167,4& 170& 172,6 &174,9\\\hline \end{tabular} \end{center} Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au dixième. \begin{enumerate} \item On pose $z_i = 100 \log (y_i)$. Compléter le tableau de l'\textbf{annexe (page \pageref{annexe} )}. \item En utilisant le repère de l'\textbf{annexe}, représenter le nuage de points $M_i ( x_i ; z_i)$ Qu'observe-t-on ? \item Un ajustement de ce nuage de points est donné par la droite $\mathcal{D}$ d'équation : \[z = 0,03x + 222.\] Compléter le graphique précédent en traçant cette droite $\mathcal{D}$. Justifier la construction. \item \begin{enumerate} \item Sachant que $z_i = 100 \log(y_i)$, exprimer $y_i$ en fonction de $z_i$. \item Estimer quelle serait, selon cet ajustement, la taille moyenne des Français en 2025. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill(5 points)} \medskip Deux restaurateurs décident d'acheter le même modèle de fourneau. Comme ils ne disposent pas immédiatement de la somme nécessaire, le vendeur leur propose des facilités de paiement. \begin{enumerate} \item \textbf{Pour le premier restaurateur} La facilité de paiement prévoit une première mensualité de 168~\euro{} tandis que les mensualités suivantes sont toutes égales à 200~\euro. On modélise cette situation en utilisant la suite $\left(U_n\right)$ où, pour tout entier non nul $n$, $U_n$ est la somme totale versée en euros après le paiement de la $n$-ième mensualité. On a donc $U_1 = 168$. \begin{enumerate} \item Montrer que $U_3 = 568$ puis donner la nature de la suite $\left(U_n\right)$. \item En déduire l'expression de $U_n$ en fonction de l'entier non nul $n$. \end{enumerate} \item \textbf{Pour le deuxième restaurateur} La facilité de paiement prévoit une première mensualité de 150~\euro{} tandis que les mensualités suivantes augmentent d'un mois sur l'autre de 4\,\%. On modélise cette situation en utilisant la suite $\left(V_n\right)$ où, pour tout entier non nul $n$, $V_n$ est le montant en euros de la $n$-ième mensualité. On a donc $V_1 = 150$. \begin{enumerate} \item Montrer que $V_3 = 162,24$ puis donner la nature de la suite $\left(V_n\right)$. \item En déduire, pour tout entier non nul $n$, l'expression de $V_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \textbf{Comparaison} Le vendeur propose à chaque restaurateur un paiement en 11 mensualités. Quel est celui des deux restaurateurs qui dépensera le plus pour l'achat de son fourneau? \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill(5 points)} \medskip Dans un restaurant, le coût de production unitaire d'un repas, en euros, si l'on en produit $x$, est modélisé par la fonction $P$ définie sur $[5~;~65]$ par: \[P(x) = 0,1 x + 3 + \dfrac{8,1}{x}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que si on produit 10 repas, le coût unitaire d'un repas est de 4,81~\euro. \item Justifier que pour tout réel de $[5~;~65]$, on a $P'(x) = \dfrac{0,1(x - 9)(x + 9)}{x^2}$ où $P'$ désigne la fonction dérivée de $P$. \item Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle $[5~;~65]$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $P$ sur l'intervalle $[5~;~65]$. \item Déterminer le nombre de repas que doivent produire les cuisiniers pour que le coût de production unitaire d'un repas soit minimal. Indiquer ce coût. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \textbf{à rendre avec la copie.} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice}~2 question 1} \renewcommand \arraystretch {2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.85cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $x_i$&0 &20 &40 &60 &80\\\hline $y_i$& & & & &\\\hline \end{tabularx} \label{annexe} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2 question 2} \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false} \begin{pspicture}(-1,-1)(150,7.5) \multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.1)(\n,7.2)} \multido{\n=0+5}{30}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.1)(\n,7.2)} \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,](-5,\n)(150,\n)} \multido{\n=0+0.2}{37}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray,](-5,\n)(150,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=20,Oy=219,Dy=1]{->}(0,0)(-0.9,-0.1)(150,7.5) \uput[l](-2,0){\scriptsize $219$}\uput[d](0,-0.1){$\scriptstyle 0$} \uput[l](-2,7.7){ $z$}\uput[d](150,-0.1){$x$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}