\documentclass[11pt,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06329} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small \no 48} \lfoot{\small 06329 } \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 48 Terminale technologique ~\decofourright}} \medskip \textbf{PARTIE I} \end{center} \medskip \textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justification. Répondre à chaque question dans la colonne de droite du tableau. \medskip \renewcommand \arraystretch {1.8} \begin{tabular}{|c|m{6cm}|m{8cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~} & Énoncé& Réponse\\ \hline \textbf{1.}& Dans un lycée technologique, 200 élèves se sont présentés au bac, 90\,\% ont été reçus. Combien d'élèves ont été reçus?&\\\hline \textbf{2.}& Un prix est passé de $120$~euros à $150$~euros. Quel est le pourcentage de hausse ?&\\\hline \textbf{3.}& Un article soumis à une taxe de 20\,\% coûte 60 \euro{} toutes taxes comprises. Déterminer le prix hors taxes.&\\\hline \textbf{4.}& Le prix d'un article a augmenté de 10\,\% durant chacun des deux derniers mois. Quel est le taux d'évolution global ?&\\\hline \end{tabular} \newpage $\zeta$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$. \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt} \begin{pspicture}(-2.3,-2.8)(4.5,4) \multido{\n=-2.5+0.5}{12}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=lightgray](\n,-2.5)(\n,4)} \multido{\n=-2.5+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=lightgray](-2.5,\n)(3,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{-}(0,0)(-2.5,-2.5)(3,4) \psplot[linewidth=1.15pt,plotpoints=5000]{-2}{3}{x x 1 sub mul 2 sub} \psline[linewidth=0.95pt](-2.5,-2.25)(3,-2.25) \uput[d](0.5,-2.45){\footnotesize A} \uput[u](-1,-2.15){$\scriptstyle\mathcal{T}$} \uput[ur](-2,3.15){$\scriptstyle\zeta$} \psdot[dotstyle=+,dotscale=2,dotangle=45](0.5,-2.25) \end{pspicture} \end{center} \ On répondra aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique. \begin{tabular}{|c|m{6cm}|m{8cm}|}%\cline{2-3} %\multicolumn{1}{c|}{~} &Énoncé& Réponse\\ \hline \textbf{5.}& Déterminer l'image de 3 par la fonction $f$.&\\\hline \textbf{6.}& Déterminer un antécédent de $-2$ par la fonction $f$.&\\\hline \textbf{7.}& Déterminer l'ensemble des solutions l'équation $f(x)=0$.&\\\hline \textbf{8.}& Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant 0$ &\\\hline \textbf{9.}& Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A.&\\\hline \textbf{10.}& La fonction $f'$ est la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x)\leqslant0 $.&\\\hline \end{tabular} \newpage \textbf{\large Partie II} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A.} \medskip Les stylos utilisés par une entreprise sont fabriqués par deux ateliers $A_1$ et $A_2$. L'atelier $A_1$ fabrique 60 \,\% des stylos de cette entreprise, et 5\,\% de ceux-ci possèdent un défaut de fabrication. De plus, 1\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier $A_2$. Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise. On considère les évènements : \begin{description} \item[]$A_1 $: \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier $A_1$ \fg. \item[]$A_2$ : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier $A_2$ \fg. \item[]$D $ : \og Le stylo possède un défaut de fabrication\fg. \end{description} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier $A_1$ et possède un défaut de fabrication. \item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de 0,04. \end{enumerate} \item On prélève un stylo au hasard dans l'atelier $A_2$. Quelle est la probabilité qu'il possède un défaut ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B.} \medskip Dans cette partie, on suppose que 4\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication. L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $10$ stylos. On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser les paramètres de cette loi binomiale \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 2 stylos possédant un défaut dans un paquet de $10$~stylos. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 5 points} \medskip Une compagnie d'assurance estime que la valeur marchande d'une machine achetée \np{2000} euros le 1\ier janvier 2019 baisse de 18\,\% par an. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur marchande de cette machine le 1\ier{} janvier 2020, le 1\ier{} janvier 2021. \item Démontrer que les valeurs marchandes successives sont les termes d'une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Déterminer la valeur marchande de la machine le 1\ier{} janvier 2030. \item On considère le script écrit ci-dessous en langage Python. \renewcommand \arraystretch {1} \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline def val():\\ \hspace{2em}u=2000\\ \hspace{2em}n=0\\ \hspace{2em}while u>500:\\ \hspace{3em}u=0.82*u\\ \hspace{3em}n=n+1\\ \hspace{2em}return n\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle valeur renvoie la fonction \og val \fg{} après son exécution? \item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A : Étude d'une fonction} \medskip Une entreprise fabrique des pièces pour des smartphones qu'elle propose ensuite à différentes marques. La production est comprise entre 1 et 36 pièces par jour. Le coût de production, exprimé en euros, de $x$ pièces fabriquées est donné par : \[C(x) = x^2 + 30x + 144,\] où $x$ est compris entre 1 et 36. Le coût moyen de production d'un objet est égal à $f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$; de sorte que \[f(x) = x + 30 + \frac{144}{x}.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$, Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~ ;~ 36] $ : \[f'(x)=\dfrac{(x - 12)(x + 12)}{x^2}\] \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[1~;~36]$ puis construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Application} \medskip L'entreprise vend chaque pièce $90$~euros. Par conséquent, le bénéfice réalisé après la fabrication et la vente de $x$ pièces a pour valeur : \[B(x) = 90x - C(x)\] où $x$ appartient à l'intervalle $[1~;~36]$. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~ ;~ 36]$, \[B(x) = -x^2 + 60x - 144.\] \item Calculer $B'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[1~;~36]$. \item En déduire le nombre de pièces à fabriquer et à vendre pour faire un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice maximal. \end{enumerate} \end{document}