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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 49}
\lfoot{\small 06330}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 49 Terminale technologique ~\decofourright}}

\smallskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\smallskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justification. 

Répondre à chaque question dans la colonne de droite du tableau.

\medskip
%\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabular}{|c|m{8.68cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{\phantom{\textbf{1.}}}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|m{14.05cm}|}
On étudie une série statistique représentée par le diagramme suivant:
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=38,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle,origin=false](0,0)(0,0)(7,10)
\psframe(0.8,0)(1.2,7)\uput[d](1,7){7}\psframe(1.8,0)(2.2,2)\uput[d](2,2){2}\psframe(2.8,0)(3.2,9)\uput[d](3,9){9}
\psframe(3.8,0)(4.2,4)\uput[d](4,4){4}
\psframe(4.8,0)(5.2,5)\uput[d](5,5){5}\psframe(5.8,0)(6.2,2)\uput[d](6,2){2}
\uput[d](3.5,-1){Pointure}\rput{90}(-1.1,5){Effectif}
\end{pspicture}
\end{center}\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|m{8.68cm}|m{4.2cm}|}\hline
\textbf{1.} &Donner l'effectif total de la série représentée.&\\ \hline
\textbf{2.} &Écrire le calcul permettant de trouver la moyenne de cette série.&\\ \hline
\textbf{3.} &Le prix d'un article subit une hausse de 10\,\% puis une baisse de 20\,\%.

Donner le taux d'évolution global du prix de cet article.&\\ \hline
\textbf{4.} &L'indice de référence des loyers a été fixé à 100 en 1998. Il est égal à $128,45$ en 2018.

Quel a été le pourcentage d'augmentation d'un loyer calculé à partir de cet indice entre 1998 et 2018 ?&\\ \hline
\textbf{5.} &Développer et réduire l'expression suivante: \vspace*{-0.4cm}\[(2x- 1)(x + 2).\]\vspace*{-0.4cm}&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{|m{14.25cm}|}\hline
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 2~;~4]$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2.5,-4.5)(4.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-4.5)(4.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{x 1 sub dup mul 4 sub}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt,arrows=<->]{1}{1}{x 1 sub dup mul 4 sub}
\uput[dr](1,-4){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.\\ \hline
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|m{8.68cm}|m{4.2cm}|}
\textbf{6.} &Donner l'image de 4 par la fonction $f$ :&\\ \hline
\textbf{7.} &Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A :&\\ \hline
\textbf{8.} &Donner l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$&\\ \hline
\textbf{9.} &Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation 
$f(x) < 0$.&\\ \hline
\textbf{10.} &$f'$ étant la fonction dérivée de la fonction $f$ sur 
l'intervalle $[- 2~;~4]$, donner l'ensemble des
solutions de l'inéquation $f'(x) > 0$&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{La calculatrice est autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\medskip

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une unité de production fabrique un certain type de matériel pour les cuisines des restaurants.

En 2019, la production annuelle a été de \np{5000}~unités.

On admet que la production augmente de 4\,\% chaque année.

Tous les résultats de production seront arrondis à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la production en 2020 et 2021.
\item On note $P_0 = \np{5000}$. 

Dans la suite, on modélise à l'aide de la suite $\left(P_n\right)$ la
production de l'année $2019 + n$,\: $n$ étant un entier naturel. 

Quelle est la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ? Justifier.
\item Exprimer $P_n$ en fonction de $n$ .

Déterminer la production en 2025.
\item Déterminer le nombre total d'unités qu'aura produites l'usine entre début 2019 et fin 2030.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires d'un camping de 2015 à 2019.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2015 	&2016 	&2017 	&2018 	&2019\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
C.A. en milliers 
d'euros: $y_i$			&92 	&99 	&103 	&107 	&112\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère. On prendra pour unités: 1 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 10 en ordonnée.
\item On décide d'effectuer un ajustement affine de ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 5x + 88$.

Tracer la droite $D$ dans le repère de la question 1.
\item En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires en 2021.
\item Calculer une estimation du chiffre d'affaires en 2024.
\item On estime qu'il faudra embaucher du personnel quand le chiffre d'affaires dépassera les $140$ milliers d'euros.

En utilisant l'ajustement affine précédent, déterminer en quelle année cette embauche pourra avoir lieu.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 5 points}

\medskip

Dans cet exercice, la température est donnée en degré Celsius $\degres$C et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS (graphite sphéroïdal) qui sont utilisées dans l'industrie automobile. La fonte GS possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers.

Les pièces de fonte GS sont coulées dans des moules de sable et ont une température de \np{1400}$~\degres$C à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de $30~\degres$C.

Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à $650~\degres$C.

La température d'une pièce de fonte est une fonction du temps $t$ écoulé depuis sa sortie du four.

On admet que cette fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(t) = \np{1370} \text{e}^{-0,065t} + 30.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Étudier le sens de variation de f sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
	\end{enumerate}
\item La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée $5$~heures dans le local?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être démoulée.
		\item Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint $325~\degres$C.

Cette pièce pourra-t-elle être démoulée sans fragiliser la fonte si elle est entreposée une journée dans le local?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}