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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 52}
\lfoot{\small 06333}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 52 Terminale technologique ~\decofourright}}

\smallskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\smallskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

Dans cet exercice, il n'est pas demandé de justification. 

Répondre à chaque question dans la colonne de droite du tableau.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabular}{|c|m{8.68cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.}&Pour tout $x \in \R,\: f(x) = x^2 - 3 x + 1$&$f\left(- \dfrac12\right)$\\ \hline
\textbf{2.}&Résoudre l'équation d'inconnue $x,\: 2x + 1 = 5x - 1$.&\\ \hline
\textbf{3.}&Une augmentation de 20\,\% suivie d'une réduction de 30\,\% est équivalente à :&\\ \hline
\textbf{4.}&\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Calculer $\dfrac34 - \dfrac13 \times \dfrac12$ et donner le résultat
sous la forme d'une fraction irréductible.&\\ \hline
\textbf{5.}&Avant les soldes un téléphone portable coûtait $200$~\euro. Il coûte maintenant $150$~\euro.

Déterminer le taux d'évolution du prix de ce téléphone portable.&\\ \hline
\textbf{6.}&Compléter :&20\,\% de 50\,\% = \ldots \,\%\\ \hline
\textbf{7.}&Résoudre l'inéquation d'inconnue $x,\: 3x - 5 \leqslant 1$.&\\ \hline
\textbf{8.}&Convertir la vitesse 10 m/s en km/h.&\\ \hline
\textbf{9.}&$h(x)= x^3 - 0,5x^2 - 3x + 7$ sur $\R$.&Alors $h'(x) = $.\\ \hline
\textbf{10.}&Déterminer le tableau de signe de $(x+ 1)(2x - 3)$.&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée\\ Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise possède un stock de coques de smartphones.

Les coques ont été fabriquées par deux usines A et B.

55\,\% de ces coques ont été fabriquées dans l'usine A. Les autres coques ont été fabriquées dans l'usine B.

94\,\% des coques fabriquées dans l'usine A, ne possèdent aucun défaut de fabrication.

4\,\% des coques fabriquées dans l'usine B, possèdent un défaut de fabrication.

Une coque est prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : \og la coque prélevée provient de l'usine A \fg,
\item[$\bullet~~$]$B$ : \og la coque prélevée provient de l'usine B \fg,
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og la coque prélevée possède un défaut de fabrication \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P_B\left(\overline{D}\right)$ et donner l'interprétation de cette probabilité.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités modélisant cette situation et donné ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\naput{0,55}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$D$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que la coque prélevée provienne de l'usine B et ait au moins un défaut de fabrication.
\item Justifier que $P(D) = 0,051$.
\item Sachant que coque prélevée a au moins un défaut de fabrication, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'usine B. Donner le résultat à $0,01$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Estéban a créé une chaîne sur la plateforme ChessTV début 2014. Durant l'année 2016, sa chaine a généré \np{1200}~\euro{} de revenus. Depuis, il gagne des abonnés et les revenus de sa chaîne augmentent de 8\,\% par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le montant en euro des revenus que rapporte la chaîne d'Estéban durant l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = \np{1200}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$. Indiquer sa raison et son premier terme.
\item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_4$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer $u_0 + u_1 + \ldots + u_6$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Si les revenus de la chaîne ChessTV d'Estéban continuent d'augmenter de $8$\,\% par an, en
quelle année dépasseront-ils les \np{3000}~\euro{} ? Expliquer votre démarche.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

En début d'année, un parc de \np{1000} voitures est mis en circulation en même temps. On estime qu'en raison des accidents et des pannes, 6\,\% de ces voitures sont retirées de la circulation chaque année. Ce retrait a lieu de façon régulière au fil de l'année.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures de ce parc de \np{1000} voitures, seront toujours en circulation au bout d'un an ?
\item Soit $x$ un nombre entier naturel, expliquer pourquoi le nombre de voitures de ce parc qui sera en circulation après $x$ années est égale à $\np{1000} \times 0,94^x$.

On modélise le nombre de voitures de ce parc qui sera en circulation après $x$ années, par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \np{1000} \times 0,94^x.\]
\item Calculer $f(20)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Convertir $42$ mois en années, puis déterminer le nombre de voitures de ce parc en
circulation après $42$ mois. Arrondir à l'unité.
\item Déterminer par un calcul au bout de combien de mois il restera moins de $500$ voitures de
ce parc en circulation.
\end{enumerate}
\end{document}