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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 57}
\lfoot{\small 06344}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 57 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Dans un village de $150$~foyers, les deux tiers possèdent un jardin.

Calculer le nombre de jardins.&\\ \hline
\textbf{2.} &Dans le village voisin, on compte $50$~jardins.

On sait qu'un quart des foyers possèdent un jardin. 

Calculer le nombre de foyers de ce village.&\\ \hline
\textbf{3.} &Donner le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $125$\,\%.&\\ \hline
\textbf{4.} &Après une baisse de 20\,\%, un pantalon est vendu $40$~\euro. 

Quel était son prix avant la réduction ?&\\ \hline
\textbf{5.} &Développer $A(x) = (2x - 1)(2x + 1)$.&\\ \hline
\textbf{6.} &Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 = 9$.&\\ \hline
\textbf{7.} &On donne deux points M$( -3~;~6)$ et P$(1~;~-2)$.

Déterminer le coefficient directeur de la droite (MP).&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Pour les questions 8 à 10, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~1]$
par sa représentation graphique donnée ci-contre.

Sur le même graphique on a représenté la tangente à la courbe au point A d'abscisse $-2$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5.1,-5)(2,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-4.9)(2,4)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{2}{x 4 add x mul}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{-2}{5}{x 4 add x mul}
\uput[d](-2,-4){A}\psdots(-2,-4)\uput[r](-4.8,3.8){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{9cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{8.}&Déterminer l'image de $-1$ par la fonction $f$.&\\ \hline
\textbf{9.}&Combien de solution(s) possède l'équation $f(x) = - 1$ ?&\\ \hline
\textbf{10.}&Déterminer l'équation de la tangente au point A d'abscisse $-2$.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large PARTIE II}\end{center}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée\\
Durée : 1~h~30\\ Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans une station de montagne l'office de tourisme organise des sorties pour aller observer la faune sauvage (chamois, marmottes...) et propose trois sites différents.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des personnes choisissent le premier site accessible en voiture. Sur ce site la probabilité d'observer des animaux est seulement de $0,2$.
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des personnes choisissent le second site, l'accès se fait en télécabine et la probabilité d'observer des animaux est de $0,4$.
\item[$\bullet~~$] Les autres choisissent le troisième site accessible uniquement à pied après une longue marche et la probabilité d'observer des animaux est égale à $0,8$.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard et on note:

\begin{description}
\item[ ] $V$ l'évènement \og La personne choisit le site accessible en voiture \fg,
\item[ ] $T$ l'évènement \og La personne choisit le site accessible en télécabine \fg,
\item[ ] $M$ l'évènement \og La personne choisit le site accessible après une longue marche \fg,
\item[ ] $O$ l'évènement \og La personne a observé des animaux\fg
\item[ ] et $\overline{O}$ l'évènement contraire de l'évènement $O$.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la personne se rendent sur le troisième site ?
		\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p( V \cap O)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
		\item Calculer $p(T \cap O)$ et $p(M \cap O)$. En déduire $p(O)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on admettra que $p(O) = 0,49$.

Pour augmenter ses chances d'observer des animaux une personne décide de faire deux sorties lors de son séjour. 

On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette personne n'observe aucun animal?
		\item Pour convaincre ses enfants de participer à deux sorties, un père de famille
leur affirme: \og Si on y va deux fois, on aura deux fois plus de chance de voir des animaux! \fg.

A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Le responsable d'une salle de sport a relevé le nombre d'adhérents au 1\up{er} janvier de chaque année depuis son ouverture en 2016 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2016&2017 	&2018 	&2019 		&2020\\ \hline
Nombre d'adhérents 	&586 &703 	&831 	&\np{1 030} &\np{1 215}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le taux d'évolution du nombre d'adhérents entre 2019 et 2020 ? On donnera le résultat en pourcentage et arrondi à l'unité.
		\item Justifier que le taux annuel moyen d'augmentation (en pourcentage et arrondi à l'unité) entre 2016 et 2020 est $20$\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
Le responsable veut observer l'évolution du nombre d'adhérents pour les années à venir et admet que celui-ci augmentera de $20$\,\% par an. Il modélise la situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$.

$u_n$ représente le nombre d'adhérents au 1\up{er} janvier de l'année $2020 + n$. On a donc $u_0 = \np{1215}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Quelle est la nature de cette suite ?
	\end{enumerate}	
\item Les bâtiments occupés ne peuvent accueillir plus de \np{3500}~adhérents.

Le gérant veut savoir en quelle année il dépassera \np{3500} adhérents pour envisager des travaux ou déménager assez tôt.

Pour cela il a créé cette fonction Python :
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
1&def u(seuil) :\\
2&u = ....\\
3&n = 2020 \\
4& while u < seuil:\\
5& u=u* .....\\
6& n=n+1\\
7& return ....\\
\end{tabular}
\end{center}

Recopier et compléter les lignes 2, 5 et 7 afin que $u(\np{3500})$ renvoie l'année recherchée par le gérant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise familiale produit chaque jour des cadres pour vélos. La production journalière est comprise entre 0 et 20 cadres. Tous les cadres produits sont vendus.

On considère la fonction $C$ définie par 
\[C(x) = x^2 + 30x + 144.\]

Sur l'intervalle [0~;~20], $C(x)$ représente le coût de production, en euros, pour $x$
cadres fabriqués.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production, en euros, pour 10 cadres produits ?
\item À chaque quantité $x$ produite ($x$ non nul), on associe le coût unitaire $\dfrac{C(x)}{x}$ qui 
correspond au coût rapporté à une unité produite.

On appelle $f$ cette fonction définie sur ]0~;~20], on a donc $f(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~20],
\[f(x) = x + 30 + \dfrac{144}{x}.\]
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~20],

\[f'(x)= \dfrac{(x - 12)(x + 12)}{x^2}.\]
.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~20]. 
		\item Préciser la quantité de cadres à produire par jour pour que le coût unitaire
soit minimal. Quel est ce coût minimal ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}