\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {e3c}, %pdftitle = {06351} %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 2021} \rfoot{\small \no 64} \lfoot{\small 06351} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 64 Terminale technologique ~\decofourright}} \smallskip \textbf{PARTIE I} \end{center} \smallskip \textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes} \smallskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \emph{Les questions de cet exercice sont indépendantes.\\ Aucune justification n'est attendue.} \bigskip \begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{1.} &Résoudre dans $\R$ l'inéquation $2x - 5 > 4x +3$.&\\ \hline \textbf{2.} &Résoudre dans $\R$ l'équation : $x^2 = 81$.&\\ \hline \textbf{3.} &Donner la forme développée et réduite de l'expression : \[A = (2x + 1)(3x - 2) + 5x - 4.\]&\\ \hline \textbf{4.} &Écrire le nombre $1,024$ sous forme de fraction irréductible:&\\ \hline \textbf{5.} &On passe de l'indice $120$ à l'indice $180$. Déterminer le taux d'évolution sous forme de pourcentage.&\\ \hline \textbf{6.} &À quelle évolution globale correspond une augmentation de30\,\%suivie d'une diminution de 20\,\% ?&\\ \hline \textbf{7.} &Soit une courbe $C$ d'équation $y = - x^3 + 3x^2 - 2$. Calculer l'ordonnée du point A d'abscisse 2 appartenant à la courbe $C$.&\\ \hline \end{tabular} \newpage \begin{tabular}{|c|p{9cm}|m{4.2cm}|}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline \textbf{8.} &Les courbes respectives de la fonction $f$ et de la fonction $g$ définies sur $[-2~;~3]$ sont représentées ci-dessous. Par lecture graphique, répondre aux questions a, b et c. \begin{center} \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3,-5)(4,4) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-5)(4,4) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2,-2)(-1,-3)(0,-3.5)(1,-3)(1.525,-2)(2,0)(2.4,2)(3,3)\uput[l](2.4,2.5){$\red \mathcal{C}_f$} \psline[linewidth=1.25pt](-2,-4)(3,1)\uput[dr](-1.9,-3.9){$\mathcal{C}_g$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{a.~} Résoudre graphiquement $f(x) \leqslant g(x)$.&\\ \hline &\textbf{b.~} Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. \phantom{\frame(1.5,1.5)} \vspace*{2cm}&\vspace*{4cm}\\ \hline &\textbf{c.~} La courbe représentative de la fonction $g$ est la droite. Déterminer l'expression de $g(x)$.&\\ \hline \end{tabular} \newpage \begin{center}\textbf{\large Mathématiques: PARTIE II}\end{center} \medskip \textbf{Calculatrice autorisée} \textbf{Durée : 1 h 30} \textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants} \medskip \textbf{Exercice 2 : \hfill 5 points} \medskip Une entreprise produit quotidiennement entre une et vingt tonnes de peinture. Le coût total de production, en milliers d'euros, de $x$ tonnes de peinture est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par : \[C(x) = 0,05x^2 - 0,1x + 2,45.\] Pour une production de $x$ tonnes de peinture, on appelle coût unitaire, $f(x)$, le coût de production, en milliers d'euros, d'une tonne de peinture. Ainsi, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~20] : \[f(x) = \dfrac{C(x)}{ x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout réel $x$ de [1~;~20], \[f(x) = 0,05x - 0,1 + \dfrac{2,45}{x}.\] \item Soit $f'$ la fonction dérivée de fonction $f$. Calculer $f'(x)$ puis démontrer que pout tout réel $x$ de [1~; 20]: \[f'(x) = 0,05\left(x^2 - 49\right).\] \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~20]. En déduire le coût unitaire minimal et la quantité de peinture pour lequel il est atteint. L'entreprise fixe le prix de vente d'une tonne de peinture à $670$~\euro. \item On définit la fonction bénéfice $B$ (exprimé en milliers d'euros) comme différence entre la recette obtenue en milliers d'euros pour $x$ tonnes de peinture et le montant des coûts générés en milliers d'euros par la fabrication de ces $x$ tonnes de peinture. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ tonnes de peinture produites et vendues est donné par la fonction $B$ définie sur [1~;~20] par \[B(x) = -0,05x^2 + 0,77x - 2,45.\] \item Calculer $B'(x)$ et en déduire le tableau de variation de $B$. Pour quelle quantité de peinture produite et vendue le bénéfice est-il maximal ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points} \medskip Une entreprise familiale fabrique de la confiture de fraises biologiques. Elle achète ses fruits auprès de deux fournisseurs locaux A et B. 25\,\% des fruits proviennent du fournisseur A et les autres du fournisseur B. 95\,\% des fruits provenant du fournisseur A sont retenus pour la fabrication de la confiture. 80\,\% des fruits provenant du fournisseur B sont retenus pour la fabrication de la confiture. On choisit un pot de confiture au hasard dans la production. On note $A, B$ et $C$ les évènements: \begin{description} \item[ ] $A$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur A \fg \item[ ] $B$ : \og les fruits utilisés proviennent du fournisseur B \fg \item[ ] $C$ : \og les fruits sont retenus pour la fabrication de la confiture\fg \end{description} Les résultats seront arrondis au centième près. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre de probabilité décrivant la situation sur l'annexe qui est à rendre avec la copie. \item Définir par une phrase l'évènement $A \cap C$, puis calculer $p(A \cap C)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité $p(C)$, arrondie au centième, est égale à $0,84$. \item Les évènements $A$ et $C$ sont-ils indépendants? \end{enumerate} Justifier la réponse. \item Calculer $p_C(A)$. Interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points} \medskip Depuis sa création au 1\up{er} janvier 2019, une start-up a vu son chiffre d'affaires augmenter de 5\,\% par mois sachant que ce chiffre d'affaires était de \np{32000}~\euro{} pour le mois de janvier 2019. On fait l'hypothèse que cette évolution va se poursuivre dans les mois à venir. Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $C_n$ le chiffre d'affaires en euros du $n$-ième mois après la création de la start-up. On a ainsi $C_0 = \np{32000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$. \item Quel sera le chiffre d'affaires de la start-up pour toute l'année 2019 ? \item L'entreprise pourra s'agrandir et embaucher de nouveaux collaborateurs si son chiffre d'affaires mensuel dépasse \np{70000}~\euro. Le programme écrit en langage Python ci-dessous détermine le rang $n_0$ du mois à partir duquel cet agrandissement est possible. Compléter ce programme sur l'annexe qui est à rendre avec la copie afin qu'il renvoie le rang du mois à partir duquel cet agrandissement est possible. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline def CA( ) :\\ \qquad n=0\\ \qquad C = \np{3200}\\ \qquad while \ldots\\ \qquad \qquad n= n+1\\ \qquad \qquad C= \ldots\\ \qquad return (n)\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Après exécution de ce programme, on obtient l'affichage suivant : >>> 17. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 3 - question 1} \vspace{2cm} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$~~}\naput{$\ldots\ldots$}} { \TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$} } \pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$~~}\nbput{$\ldots\ldots$}} { \TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{$\ldots\ldots$} } } \end{center} \vspace{2cm} \textbf{Exercice 4 - question 4} \bigskip \begin{tabular}{|l|}\hline def CA( ) :\\ \qquad n=0\\ \qquad C = \np{3200}\\ \qquad while \ldots\\ \qquad \qquad n= n+1\\ \qquad \qquad C= \ldots\\ \qquad return (n)\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}