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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 66}
\lfoot{\small 06347}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 66 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les questions de cet exercice sont indépendantes.\\Aucune justification n'est attendue.}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{1.} &Lors d'une élection un sondage est réalisé auprès de \np{2000} électeurs.

$820$ électeurs ont affirmé vouloir voter pour le candidat A.

Quel est le pourcentage d'électeurs qui ont affirmé vouloir voter pour ce candidat ?&\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{2.} &La proportion des électeurs déclarant voter pour le candidat B est $\dfrac58$.

Combien d'électeurs ont déclaré voter pour le candidat B ?&\\ \hline
\textbf{3.} &Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x + 6 < 0$&\\ \hline
\textbf{4.} &Factoriser $2x(x + 4) - (x + 4)^2$.&\\ \hline
\textbf{5.} & $f(x) = (x + 5)(x - 5)$

Calculer l'image de $\sqrt 3$ par cette fonction.&\\ \hline
\textbf{6.} &Calculer la dérivée de la fonction polynôme
définie sur $\R$ par
\[f(x) = 3x^2 - 5x + 8.\]&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{8cm}|X|}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Énoncé}&\textbf{Réponse}\\ \hline
\textbf{7.} &1 Ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ ainsi que sa tangente $T$ au point A d'abscisse 2. Donner $f'(2)$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,algebraic}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(4.1,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-2)(4,5)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{3}{2*x*x-5*x+3}
\psplotTangent[linewidth=1.25pt]{2}{5}{2*x*x-5*x+3}
\uput[l](1.2,-1.5){$T$}\uput[r](2,1){A}\uput[l](-0.3,4.5){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*} \end{center}&\\ \hline
\textbf{8.} &$u$ est une suite géométrique de raison $q = 2 $telle que $u_3 = 1,5$. Calculer $u_5$.&\\ \hline
\textbf{9.} &Donner la formule permettant de calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$ où $n$ est un entier naturel.&\\ \hline
\textbf{10.} &Donner les coordonnées du point d'intersection de la droite d'équation $y = 5 x + 3$ avec l'axe des abscisses.&\\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textbf{\Large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée selon la réglementation en vigueur}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $u$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 5$ et de raison $r = 2,5$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
\item Donner l'expression du terme général u n en fonction de $u_1$ et $r$. 
\item Calculer $u_{10}$ et $u_{50}$.
\item Calculer la somme des termes consécutifs $S = u_{10} + u_{11} + u_{12} + \ldots + u_{50}$.
\item Sans calculer les termes $u_{80}$ et $u_{82}$, déterminer la moyenne arithmétique de ces deux termes.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
Ci-contre le dessin d'un verre à pied dans un repère orthonormé.

Les deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont les représentations graphiques de deux fonctions.

L'unité est le centimètre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-1)(4,9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{2.81}{2.1 x exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.81}{3}{1 2.1 x exp div}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-3,0.1)(-3,0)(3,0)(3,0.1)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par 
\begin{center}$f(x) = 2,1^x$ \quad et $g(x) = \left(\dfrac{1}{2,1}\right)^x$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $0$ par la fonction $f$ et par la fonction $g$.

En déduire que les deux courbes coupent l'axe des ordonnées en un même point.
\item Donner, en le justifiant le sens de variation des fonctions $f$ et $g$.

Associer alors chacune des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ à sa fonction correspondante $f$ ou $g$.
\item Calculer l'image de 3 avec la fonction représentée par $\mathcal{C}_2$ et en déduire l'épaisseur du verre à la périphérie du pied à $0,01$ centimètre près.
\item Les points $M (x~;~f(x))$ et $N(- x~;~g(-x))$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées si $f(x) = g(-x)$.

Montrer que les fonctions $f$ et $g$ données ci-dessus vérifient cette égalité.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 8$. Donner une valeur approchée de la solution à 0,1 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

La figure 1 représente en perspective parallèle une maison dont l'habitation est le pavé droit ABCDEFGH. Sa base ABCD est un carré posé sur le plan horizontal et la face ABFE est dans un plan frontal.

La toiture SEFGH est une pyramide régulière dont la hauteur est égale à la hauteur de l'habitation ; SK = AE.

Contre le mur BCGF le propriétaire a construit un garage, représenté ici par le pavé 

BLMCFONG, dont la largeur est égale à la moitié de celle de l'habitation : BL $= \dfrac12$AB.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11.6,9.2)
%\psgrid[gridwidth=0.2pt]
\psframe(0.2,0.2)(9.2,3.9)%ALOE
\psline(6,0.2)(6,3.9)%BF
\psline(9.2,0.2)(11.4,2.4)(11.4,6.1)(9.2,3.9)%LMNO
\psline(11.4,6.1)(8.2,6.1)(6,3.9)%NGF
\psline(0.2,3.9)(4.2,8.6)(6,3.9)(8.2,6.1)(4.2,8.6)%ESF
\psline[linestyle=dashed](6,0.2)(8.2,2.4)(2.4,2.4)(0.2,0.2)%BCDA
\psline[linestyle=dashed](8.2,6.1)(2.4,6.1)(0.2,3.9)%GHE
\psline[linestyle=dashed](2.4,2.4)(2.4,6.1)%DH
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.9)(8.2,6.1)(8.2,2.4)%EGC
\psline[linestyle=dashed](6,3.9)(2.4,6.1)(4.2,8.6)%FHS
\psline[linestyle=dashed](11.4,2.4)(8.4,2.4)%MC
\psline[linestyle=dashed](4.2,5)(4.2,8.6)%KS
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[d](6,0.2){B} \uput[ur](8.2,2.4){C} \uput[ur](2.4,2.4){D}
\uput[l](0.2,3.9){E} \uput[dr](6,3.9){F} \uput[ur](8.2,6.1){G} \uput[dr](2.4,6.1){H}
\uput[d](4.2,5){K} \uput[d](9.2,0.2){L} \uput[r](11.4,2.4){M} \uput[ur](11.4,6.1){N}
\uput[dr](9.2,3.9){O} \uput[u](4.2,8.6){S}
\rput(8.5,8.5){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

Les constructions seront faites sur la figure 2 de l'annexe jointe à rendre avec la copie.

Les traits de construction seront laissés apparents.

La représentation finale sera repassée en gras ou en couleur afin d'en améliorer la lisibilité.

On utilisera une lettre majuscule pour désigner un point de l'espace et une lettre minuscule pour désigner une représentation plane de ce point.

Par exemple, le point a de la figure 2 représente le point A de la figure 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La figure 2 représente le dessin en perspective centrale de l'habitation ABCDEFGH.

On appelle $(\omega)$ le point de fuite principal de cette représentation en perspective centrale. Construire le point $(\omega)$.
\item Construire le premier point de distance D$_1$ situé à gauche de $(\omega)$ puis tracer la ligne d'horizon.
\item Le point K désigne le centre de la face EFGH et on nommera J le centre de la face ABCD.

Construire les points k et j représentants les points K et J.
\item Construire la hauteur sk sur la figure 2 puis terminer le dessin de la toiture. 
\item Compléter la figure 2 avec le dessin en perspective centrale du garage.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{{\large Annexe à rendre avec la copie}\\[3cm]
Exercice 4 Figure 2}

\vspace{3cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6)
\psframe(0.2,0.2)(5.5,3.5)
\psline(5.5,0.2)(7.3,3)(7.3,5.3)(5.5,3.5)%BHGF
\psline(7.3,5.3)(3.4,5.3)(0.2,3.5)%GCE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(3.4,3)(7.3,3)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.4,3)(3.4,5.3)%DC
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](5.5,0.2){B} \uput[u](3.4,5.3){C} \uput[ur](3.4,3){D}
\uput[l](0.2,3.5){E} \uput[dr](5.5,3.5){F} \uput[ur](7.3,5.3){G} \uput[r](7.3,3){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}