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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 2021}
\rfoot{\small \no 67}
\lfoot{\small 06354}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~e3C \no 67 Terminale technologique ~\decofourright}}

\medskip

\textbf{PARTIE I} \end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Automatismes (5 points)\hfill Sans calculatrice \hfill Durée : 20 minutes}

\medskip

Pour chaque question, indiquer la réponse dans la case correspondante.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}

\newcommand\Th{\rule{0pt}{2.6ex}} % Top strut 
\newcommand\Bb{\rule[-1.2ex]{0pt}{0pt}} % Bottom strut 
\begin{tabular}[t]{|c|m{9cm}|m{4cm}|}\hline
\textbf{1.}&Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 5.\]
Déterminer l'expression de $f'(x)$ où $f'$ désigne la
fonction dérivée de $f$.&\\ \hline
\textbf{2.}&Soit $g$ la fonction définie sur [0,5~;~9,5] par
$g(x) =3 +\dfrac 2x$. On note $g'$ sa fonction dérivée et $\mathcal{C}_g$
sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On donne $g'(x) = - \dfrac{2}{x^2}$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 2.&\\ \hline
\textbf{3.}&Dresser le tableau de signes sur $\R$ de l'expression 
\[(4 - 2x)(x + 1).\]&\\ \hline
\textbf{4.}&Développer et réduire l'expression ci-dessous:
\[(12x - 6)\left(3 + \dfrac x2\right).\]&\\ \hline
\textbf{5.}&Donner le résultat du calcul suivant sous forme
d'une fraction irréductible: 
\[\dfrac73 + \dfrac43 \times \dfrac{9}{20}.\]&\\ \hline
\textbf{6.}&Calculer 20\,\% de $150$~\euro.&\\ \hline
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}[t]{|c|m{9cm}|m{4cm}|}\hline
\textbf{7.}&Recopier la proposition qui permet de compéter correctement la phrase suivante :

\og Une quantité a été augmentée de 10\,\%. Pour revenir 
 à sa valeur initiale, il faut... \fg

\textbf{a.} \og multiplier la valeur augmentée par 1,1.\fg

\textbf{b.} \og multiplier la valeur augmentée par 0,9.\fg

\textbf{c.} \og diviser la valeur augmentée par 1,1.\fg

\textbf{d.} \og diviser la valeur augmentée par 0,9.\fg&\\ \hline
\multicolumn{3}{|l|}{\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Les questions 8., 9. et 10. portent sur la fonction f définie sur l'intervalle [-4; 5] et dont on donne ci-contre la représentation graphique.\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.65cm,arrowsize=2pt 3,algebraic}
\begin{pspicture}(-5,-8.1)(5,7.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-8)(5,7)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{5}{0.2*x*(x+3)*(4-x)}
\uput[r](3,3.6){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{minipage}}\\ \hline
\textbf{8.}&Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 2$.&\\ \hline
\textbf{9.}&Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-4~;~5]$,
où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.&\\ \hline
\textbf{10.}&Quel est le minimum de la fonction $f$ sur $[-4~;~5]$ ?&\\ \hline
\end{tabular}

\renewcommand\arraystretch{1}
\newpage

\textbf{\large Partie II}

\medskip

\textbf{Calculatrice autorisée}

\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une nouvelle association cherche à se faire connaître. Pour cela, elle décide de faire distribuer chaque dimanche des prospectus sur un marché pendant dix semaines.

La campagne de publicité prévoit une distribution de $600$ prospectus le premier dimanche, puis une diminution de $30$ prospectus chaque semaine.

On souhaite modéliser cette situation à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où $n \geqslant 1$. 

Plus précisément, tant que $u_n \geqslant 0,\: u_n$ est égal au nombre de prospectus distribués le $n$-ième dimanche. Ainsi $u_1 = 600$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera son premier terme et sa raison.
\item Montrer que pour tout $n \geqslant 1,\: u_n = 630 - 30n$.
\item Calculer $u_{10}$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item L'imprimeur, séduit par le projet de cette nouvelle association, lui imprime \np{1500}
~prospectus pour le même prix. 

En gardant ce mode distribution, combien de semaines la campagne de publicité de cette association peut-elle alors durer ?
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Dans le cadre d'une campagne de promotion, le directeur d'un parc d'attractions décide d'offrir des entrées gratuites pour sa prochaine journée de réouverture. 

Lors de leur journée, les visiteurs peuvent pique-niquer dans l'enceinte du parc ou déjeuner dans l'un des stands de restauration.

Le jour de la réouverture on estime que 40\,\% des visiteurs avaient une entrée gratuite, les autres ayant acheté leur billet d'entrée.

De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45\,\% ont effectué un achat dans un des stands de restauration. Parmi ceux ayant payé leur entrée, 65\,\%n'ont rien acheté dans ces stands.

On interroge un visiteur choisi au hasard parmi ceux venus au parc le jour de la réouverture et on note:

\begin{itemize}
\item $G$ l'évènement \og le visiteur a eu une entrée gratuite \fg{} ;
\item $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$ ;
\item $A$ l'évènement \og le visiteur a effectué un achat dans un des stands de restauration\fg{} ;
\item $\overline{A}$  l'évènement contraire de $A$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $G$ est réalisé, notée $p_G(A)$.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~~}\taput{}}
	{\TR{$A$}\taput{}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~~}\tbput{}}
	{\TR{$A$}\taput{}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le visiteur a payé son entrée et a effectué
un achat dans un stand \fg.
\item Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat dans un stand est égale à $0,39$.
\item Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat dans un stand. On arrondira au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

d'écran.

Soit $f$ la fonction définie sur [0,5~;~8] par:
\[f(x) = - x + 9 - \dfrac 4x.\]

On a tracé sa courbe représentative sur une calculatrice dont voici une copie d'écran.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(8,8)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8,6)
\psplot[plotpoints=20,linewidth=1.25pt]{0.5}{8}{9 x sub 4 x div sub}
\uput[r](0,7){$Y1 = -X + 9 - (4 \:\rput{-90}(0.2,0.2){\lnot}\: \quad X)$}
\rput(0.5,-1){$X=2$}\rput(5,-1){$Y=5$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linewidth=2pt](2,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles semblent être les variations de la fonction $f$ ?
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0,5~;~8], on a : 
		\[f'(x) = \dfrac{-x^2 + 4}{x^2}.\]
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur [0,5~;~8].
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0,5~;~8]. On précisera les
valeurs aux bornes, c'est-à-dire les valeurs $f(0,5)$ et $f(8)$.
		\item En déduire une interprétation des inscriptions \og X = 2 \fg{} et \og Y = 5 \fg{} présentes en
bas de la copie d'écran de calculatrice donnée ci-dessus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}